高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修22.ppt

2 1变化的快慢与变化率 1 函数的平均变化率函数y f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率 1 条件 已知函数y f x 自变量x从x1变为x2 函数值从f x1 变为f x2 记 x x2 x1 y f x2 f x1 3 实质 函数值的改变量与自变量的改变量之比 4 作用 刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 名师点拨对平均变化率的理解 1 y f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率是曲线y f x 在区间 x1 x2 上陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 2 平均变化率的绝对值越大 曲线y f x 在区间 x1 x2 上越 陡峭 反之亦然 3 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s s t 在时间段 t1 t2 上的平均速度 即 4 改变量并不一定都是正值 也可以是负值 函数值的改变量还可以是0 比如常数函数 其函数值的改变量就是0 5 注意变量的对应 若 x x2 x1 则 y f x2 f x1 而不是 y f x1 f x2 做一做1 函数f x x2在区间 1 3 上的平均变化率是 答案 b 2 瞬时变化率及瞬时速度对于一般的函数y f x 在自变量x从x0变到x1的过程中 若设 x x1 x0 y f x1 f x0 则函数的平均变化率是 而当 x趋于0时 平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率 瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢 名师点拨1 瞬时变化率是刻画函数值在x0点处变化的快慢 而平均变化率刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 2 瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率 做一做2 如果某物体作运动方程为s 2 1 t2 的直线运动 s的单位 m t的单位 s 那么 物体在1 2s末的瞬时速度为 a 4 8m sb 0 8m sc 0 88m sd 4 8m s 即t 1 2s时的瞬时速度为 4 8m s 答案 a 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 对于常数函数y a a是常数 它的平均变化率为0 2 若函数f x 在区间 x1 x2 内的平均变化率为0 则说明函数f x 在区间 x1 x2 上没有发生变化 3 在平均变化率的定义中 自变量x在区间 x1 x2 上的改变量 x为任意实数 4 函数y f x 当自变量x由x0改变到x0 x时 函数值的改变量 y是f x0 x f x0 5 瞬时速度是平均速度的极限值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平均变化率 例1 求函数y 3x2 2在下列区间上的平均变化率 1 2 2 1 2 2 2 x 分析 可以先求自变量的增量和函数值的增量 再代入公式求解 解 1 函数y 3x2 2在区间 2 2 1 上的平均变化率为 2 函数y 3x2 2在区间 2 2 x 上的平均变化率为 反思感悟求函数平均变化率的步骤第一步 求自变量的改变量 x x2 x1 第二步 求函数值的改变量 y f x2 f x1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1一质点运动的方程为s 5 3t2 则在一段时间 1 1 t 内相应的平均速度为 a 3 t 6b 3 t 6c 3 t 6d 3 t 6 解析 质点在 1 1 t 内的平均变化率 答案 a 探究一 探究二 探究三 思维辨析 瞬时变化率 例2 已知s t gt2 其中g 10m s2 1 求t从3s到3 1s的平均速度 2 求t从3s到3 01s的平均速度 3 求t在t 3s时的瞬时速度 分析 函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度 解 1 t 3 1 3 0 1 s t指时间改变量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 t 3 01 3 0 01 s t指时间改变量 3 由瞬时速度的定义可知 当t 3s时的瞬时速度为30m s 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟根据条件求瞬时速度的步骤 1 探究非匀速直线运动的规律s s t 2 由时间改变量 t确定位移改变量 s s t0 t s t0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2以初速度v0 v0 0 垂直上抛的物体 t秒时的高度为s t v0t gt2 求物体在时刻t0处的瞬时速度 因此物体在时刻t0的瞬时速度为v0 gt0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平均变化率的应用 例3 求函数y x2在x0到x0 x之间的平均变化率 并结合图像探讨当 x取定值后 随x0取值不同 该函数的平均变化率的变化特点及其含义 分析 由题目可获取以下主要信息 已知函数的解析式 求该函数的平均变化率并指出变化率的变化特点及含义 解答本题时可数形结合 根据定义求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 则函数图像越陡峭 反思感悟函数的平均变化率反映了函数图像上两点连线的斜率 函数平均变化率的绝对值越大 斜率的绝对值越大 图像也越陡峭 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3一质点作直线运动 其位移s与时间t的关系为s t2 1 该质点在 2 2 t t 0 上的平均速度不大于5 则 t的取值范围是 解析 质点在 2 2 t 上的平均速度 又 t 0 t的取值范围是 0 1 答案 0 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因错用平均变化率公式而致误 典例 已知曲线y 2x3 2和这条曲线上的两个点p 1 0 q 2 14 求该曲线在pq段的平均变化率 易错分析 在函数的平均变化率的求法公式中 y必须对应 x 即若 x x2 x1 则 y f x2 f x1 若 x x1 x2 则 y f x1 f x2 解 x1 1 y1 0 x2 2 y2 14 x x2 x1 2 1 1 y y2 y1 14 0 14 纠错心得在平均变化率的定义中 增量 x的形式是多种多样的 但不论 x是哪种形式 y必须选择相对应的形式 如 x x0 x0 x 则 y f x0 f x0 x x x0 h x0 h 则 y f x0 h f x0 h 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 请计算t 0 0 5 时的平均速度及t 1 2 时的平均速度 解 当t 0 0 5 时 t 0 5 0 0 5 s h 4 9 0 52 6 5 0 5 10 4 9 02 6 5 0 10 2 025 m 当t 1 2 时 t 2 1 1 s h 4 9 22 6 5 2 10 4 9 6 5 10 8 2 m 1234 1 设函数f x x2 1 当自变量x由1变化到1 1时 函数的平均变化率为 a 2 1b 1 1c 2d 0 答案 a 1234 2 一物体的运动曲线为s 2t3 则其在第t 3秒时的瞬时速度是 a 6b 18c 54d 81 解析 由瞬时速度的定义可知 s 2 t t 3 2t3 2 3 t 3 2 33 54