高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 习题课3 直线与圆锥曲线的综合问题课件 北师大版选修21.ppt

习题课 直线与圆锥曲线的综合问题 一 二 三 一 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种 相交 相切 相离 对应交点个数有两个 一个 无交点 特别注意有一个交点的情况 对于封闭曲线椭圆来说 相切时就只有一个交点 对于双曲线 与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点 对于抛物线 与对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点 一 二 三 二 与弦有关的问题圆锥曲线中 与弦有关的题目最常见 问题主要有 1 已知直线 圆锥曲线方程 求弦长 2 已知弦长 求圆锥曲线方程或参数 3 由弦的性质求参数 4 中点弦所在的直线方程等 解题方法一般为设直线方程 并与曲线方程联立得方程组 化为一元二次方程后 从根与系数的关系 判别式等方面入手求解 一 二 三 分析 由直线ab过焦点f 倾斜角为 可求出直线方程 再由弦长公式即可求出 解 如图 不妨取椭圆的一个焦点为f 1 0 代入椭圆方程并整理得19x2 30 x 5 0 设a x1 y1 b x2 y2 一 二 三 一 二 三 三 综合问题由于解析几何是通过代数运算来解决几何问题 而圆锥曲线又以其独特的性质成为研究的重点 这就使圆锥曲线的性质与函数 不等式 数列 三角变换 平面向量等知识联系密切 以圆锥曲线为载体来研究数学问题就成了数学中综合性最强 能力要求最高的高考考点之一 一 二 三 做一做2 已知定点f 0 1 和直线l1 y 1 过定点f与直线l1相切的动圆的圆心为点c 1 求动点c的轨迹方程 2 过点f的直线l2交轨迹于p q两点 交直线l1于点r 求的最小值 解 1 由题意 知点c到点f的距离等于它到直线l1的距离 点c的轨迹是以f为焦点 l1为准线的抛物线 动点c的轨迹方程为x2 4y 2 由题意 知直线l2的方程可设为y kx 1 k 0 与抛物线方程联立消去y 得x2 4kx 4 0 设点p x1 y1 q x2 y2 则x1 x2 4k x1x2 4 一 二 三 探究一 探究二 与弦有关的问题1 由弦长求曲线方程 例1 椭圆ax2 by2 1与直线x y 1 0相交于a b两点 c是ab 思维点拨 利用直线与椭圆的方程联立后的一元二次方程 表示出弦长公式及中点坐标 可得到关于a b的方程组 消去y得 a b x2 2bx b 1 0 因为由题意知a b 0 探究一 探究二 设ab的中点为c x0 y0 探究一 探究二 反思感悟利用韦达定理表示出弦长公式 是此类问题的常规解法 探究一 探究二 1 求椭圆e的离心率 2 如图 ab是圆m x 2 2 y 1 2 的一条直径 若椭圆e经过a b两点 求椭圆e的方程 探究一 探究二 解 1 过点 c 0 0 b 的直线方程为bx cy bc 0 2 由 1 知 椭圆e的方程为x2 4y2 4b2 易知 ab与x轴不垂直 设其方程为y k x 2 1 代入 得 1 4k2 x2 8k 2k 1 x 4 2k 1 2 4b2 0 设a x1 y1 b x2 y2 探究一 探究二 探究一 探究二 2 由弦的性质求参数值 例2 设双曲线c y2 1 a 0 与直线l x y 1相交于两个不同的点a b 1 求双曲线c的离心率e的取值范围 思维点拨 由于直线与双曲线交于两点 所以联立后二次方程中 0 可得a的取值范围 从而求得e的范围 利用向量的坐标 转化为二次方程根的问题 求得a的值 探究一 探究二 解 1 由双曲线c与直线l相交于两个不同的点 探究一 探究二 2 设a x1 y1 b x2 y2 p 0 1 反思感悟解决此类问题时应注意运算能力的培养 以及综合应用知识分析和解决问题的能力及数形结合思想 探究一 探究二 1 求此椭圆的方程 2 设直线l y x m 若l与此椭圆相交于p q两点 且 pq 等于椭圆的短轴长 求m的值 探究一 探究二 探究一 探究二 3 中点弦问题 例3 求以 1 1 为中点的抛物线y2 8x的弦所在直线的方程 思维点拨 要求过点 1 1 的弦所在的直线方程 只需求出斜率即可 用 点差法 求直线的斜率 探究一 探究二 解 设弦的两端点分别为a x1 y1 b x2 y2 弦所在直线的方程为y 1 4 x 1 即4x y 3 0 探究一 探究二 反思感悟圆锥曲线中的中点弦问题 利用点差法是简单而有效的方法 探究一 探究二 变式训练3已知抛物线y2 2x 过点q 2 1 作一条直线交抛物线于a b两点 试求弦ab的中点的轨迹方程 解 设a x1 y1 b x2 y2 弦ab的中点为m x y 则y1 y2 2y 当直线ab的斜率不存在 即ab x轴时 ab的中点为 2 0 适合上式 探究一 探究二 综合问题 例4 如图 已知a 3p 0 p 0 b c两点分别在y轴和x轴上运动 并且满足 1 求动点q的轨迹方程 2 设过点a的直线与点q的轨迹交于e f两点 且已知a 3p 0 求直线a e a f的斜率之和 探究一 探究二 轨迹方程 2 设出过a点的直线方程 与点q的轨迹方程联立 用一元二次方程根与系数的关系求解 解 1 设q x y b 0 y0 c x0 0 探究一 探究二 2 设过点a的直线方程为y k x 3p k 0 e x1 y1 f x2 y2 由y1y2 12p2 得ka e ka f 0 即直线a e a f的斜率之和为0 反思感悟向量与圆锥曲线有着密切的联系 常用向量的关系表示曲线的几何性质 并用向量的坐标运算求解 已成为高考考查的热点 探究一 探究二 1 点p的轨迹是什么曲线 思维点拨 向量用坐标表示 把两向量的夹角转化为两直线所成的角 用数形结合法解题 解 1 设点p x y 由m 1 0 n 1 0 探究一 探究二 点p的轨迹是以原点为圆心 为半径的右半圆 不含端点 探究一 探究二 2 点p的坐标为 x0 y0 12345 1 设f为抛物线c y2 3x的焦点 过f且倾斜角为30 的直线交抛物线c于a b两点 则 ab 答案 c 12345 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f作倾斜角为60 的直线l交抛物线于a b两点 且 af bf 则的值为 答案 a 12345 3 已知双曲线e的中心为原点 f 3 0 是e的焦点 过f的直线l与e相交于a b两点 且ab的中点为n 12 15 则e的方程为 答案 b 12345 4 过抛物线y2 4x的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 o为坐标原点 若 af 3