解三角形（新）.doc

2014届高三数学二轮复习教学案-专题三：三角函数与平面向量班级： 姓名： 日期： 第3讲 解三角形【目标引领】1、掌握三角函数两角和差公式、倍角公式，能够解决化简求值、恒等变形问题2、掌握正弦定理、余弦定理，能够探求三角形的边角关系和解三角形【主干知识梳理】4、正弦定理： 5、余弦定理：6、面积公式：7、三角形中的常用结论（1） (2) (3) 【自学探究】1、(2013湖南卷改编)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin Bb，则角A等于_2、在锐角ABC中，BC1，B2A，则_3、(2013辽宁)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B等于_4、(2013福建卷)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_【典型问题研究】例1、在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项(1) 求B； (2) 若ac，b2，求ABC的面积例2、 (2013重庆)在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2b2c2bc.(1) 求A；(2) 设a，S为ABC的面积，求S3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值【变式1】已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且asinAcsinCasinCbsinB.(1) 求B；(2) 若A75，b2，求a、c.【变式2】(2013山东卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B. (1)求a，c的值； (2)求sin(AB)的值【变式3】设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且b2ac.(1) 求证：cosB； (2) 若cos(AC)cosB1，求B的大小例3、设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2bc)cos Aacos C.(1)求角A的大小；(2)若角B，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积三角变换与解三角形作业1、在ABC中，已知sinAsinBsinC234，则cosC_2、若，且sin2cos2，则tan_3、若ABC的三边长分别为a、b、c，且a1，B45，SABC2，则b_4、已知是第三象限角，且sin2sincos2cos20，则sin2_5、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，B45，SABC2，则b等于_6、设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于_7、已知tan，且0，则_.8、在ABC中，A，B，C为内角，且sin Acos Asin Bcos B，则ABC是_三角形9、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于_10、已知tan ，sin()，其中，(0，)，则sin 的值为_11、在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin A，求b_.12、(2013苏北四市模拟)在ABC中，AD为BC边上的高线，ADBC，角A，B，C的对边为a，b，c，则的取值范围是_13、(2012陕西)在ABC中，A、B、C所对边长分别为a、b、c.若a2b22c2，则C的最大值为_14、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.(1) 若cossinA，求A的值； (2) 若cosA，4bc，求sinB的值15、在ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c.已知cos2A3cos(BC)1.(1) 求角A的大小；(2) 若ABC的面积S5，b5，求sinBsinC的值16、(2013福建)如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上，(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值1、(2013四川)设sin 2sin ，则tan 2的值是_2、(2013广东)已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值； (2)若cos ，求f3、(2012江苏)设为锐角，若cos，则sin的值为_1、sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0,2cos 10即cos ，sin ，tan ，tan 2.2、(1)fcoscoscos 1.(2)fcoscoscos 2sin 2，又cos ，sin ，sin 22sin cos ，cos 22cos2 1，fcos 2sin 2.3、为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.考点二、解三角形1、(2013课标全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值2、设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2bc)cos Aacos C.(1)求角A的大小；(2)若角B，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积1、解(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B，又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.2、解(1)(2bc)cos Aacos C，(2sin Bsin C)cos Asin Acos C.即2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Asin B.sin B0，cos A，0A，A.(2)由(1)知AB，所以ACBC，C，设ACx，则MCx.又AM，在AMC中，由余弦定理得AC2MC22ACMCcos CAM2，即x222xcos 120()2，解得x2，故SABCx2sin .考点三、正、余弦定理的实际应用1、(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？2、在南沙某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？1、解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内2、解由题意，得轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟又船始终匀速前进，所以BC4EB.设EBx，则BC4x.由已知，得BAE30，EAC150.在AEC中，由正弦定理，得，所以sin C.在ABC中，由正弦定理，得，AB.在ABE中，由余弦定理，得BE2AB2AE22ABAEcos 302525，故BE.所以船速v(km/h)所以该船的速度为 km/h.【总结、探究、提高】：第2讲、三角变换与解三角形作业一、填空题1 设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于_答案解析根据、都是锐角，且cos ，sin2cos21，得sin ，又sin()，cos().又cos cos()cos()cos sin()sin .2 已知cossin ，则sin的值是_答案解析cossin ，cos sin ，sin，sin，sinsin.3 锐角三角形ABC中，若C2B，则的范围是_答案(，)解析设ABC三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，则有2cos B.又C2B，B.又A(BC)3B，即B，cos B，2cos B.4 已知ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B，则tan B等于_答案2解析由题意得，|cos Baccos B，即cos B，由余弦定理，得cos Ba2c2b21，所以tan B2.5 (2013重庆改编)计算：4cos 50tan 40_.答案解析4cos 50tan 40.6 (2013福建)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_答案解析sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3)232233，即BD23，BD.7 已知tan，且0，则_.答案解析由tan，得tan .又0，可得sin .故2sin .8 在ABC中，C60，AB，AB边上的高为，则ACBC_.答案解析依题意，利用三角形面积相等有：ABhACBCsin 60，ACBCsin 60，ACBC.利用余弦定理可知cos 60，cos 60，解得：AC2BC2.又因(ACBC)2AC2BC22ACBC11，ACBC.二、解答题9已知函数f(x)sin(2x)2cos2x1(xR)(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)，2abc，bc18，求a的值解(1)f(x)sin(2x)2cos2x1sin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即f(x)的单调递增区间为k，k(kZ)(2)由f(A)，得sin(2A).2A2，2A.A.由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc.又2abc，bc18，a24a2318，即a218，a3.10(2013四川)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0Ab，则AB，故B，根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.11(2013福建)如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上，(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值解(1)在OMP中，OPM45，OM，OP2，由余弦定理得，OM2OP2MP22OPMPcos 45，得MP24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以OM，同理ON.故SOMNOMONsinMON.因为060，30230150，所以当30时，sin(230)取最大值1，此时OMN的面积取到最小值，即POM30时，OMN的面积的最小值为84答案解析由条件得sin Bcos Csin Bcos A，依正