高考数学二轮复习 第三篇 攻坚克难 压轴大题多得分 第32练 导数的综合应用课件 文.ppt

第32练导数的综合应用 第三篇攻坚克难压轴大题多得分 明考情导数部分在高考中的应用一般综合性较强 以压轴题形式呈现 导数和函数零点 方程根及不等式相结合是高考命题的热点 高档难度 知考向1 导数与函数零点 2 导数与不等式 3 导数与其他知识的交汇问题 研透考点核心考点突破练 栏目索引 规范解答模板答题规范练 研透考点核心考点突破练 考点一导数与函数零点 方法技巧研究函数零点或两函数图象的交点 可以通过导数研究函数的单调性 极值和最值 确定函数图象的变化趋势 画出函数草图 确定函数图象与x轴的交点或两函数图象的交点 解函数f x 的定义域为 0 1 求函数f x 的单调区间 1 2 3 4 解答 2 当m 1时 讨论函数f x 与g x 图象的交点个数 1 2 3 4 解答 问题等价于求函数f x 的零点个数 当m 1时 f x 0 函数f x 为减函数 所以f x 有唯一零点 当m 1时 若0 x 1或x m 则f x 0 若1 x m 则f x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 所以函数f x 在 0 1 和 m 上单调递减 在 1 m 上单调递增 所以f x 有唯一零点 综上 函数f x 有唯一零点 即两函数图象总有一个交点 1 当m e e为自然对数的底数 时 求f x 的极小值 当x 0 e 时 f x 0 f x 在 e 上单调递增 f x 的极小值为2 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 解答 则 x x2 1 x 1 x 1 当x 0 1 时 x 0 x 在 0 1 上单调递增 当x 1 时 x 0 x 在 1 上单调递减 x 1是 x 的唯一极值点 且是极大值点 因此x 1也是 x 的最大值点 1 2 3 4 又 0 0 结合y x 的图象 如图 可知 当m 0时 函数g x 有且只有一个零点 1 2 3 4 1 2 3 4 解答 3 已知函数f x 2lnx x2 ax a r 1 当a 2时 求f x 的图象在x 1处的切线方程 解当a 2时 f x 2lnx x2 2x 切线的斜率k f 1 2 所以切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 1 2 3 4 解答 解g x 2lnx x2 m 当1 x e时 g x 0 所以g x 在x 1处取得极大值g 1 m 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 解答 4 2017 全国 已知函数f x ae2x a 2 ex x 1 讨论f x 的单调性 解f x 的定义域为 f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 i 若a 0 则f x 0 则由f x 0 得x lna 当x lna 时 f x 0 所以f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 1 2 3 4 解答 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解 i 若a 0 由 1 知 f x 至多有一个零点 ii 若a 0 由 1 知 当x lna时 f x 取得最小值 当a 1时 由于f lna 0 故f x 只有一个零点 即f lna 0 故f x 没有零点 又f 2 ae 4 a 2 e 2 2 2e 2 2 0 故f x 在 lna 上有一个零点 1 2 3 4 因此f x 在 lna 上有一个零点 综上 a的取值范围为 0 1 1 2 3 4 则f n0 a a 2 n0 n0 n0 0 考点二导数与不等式 方法技巧导数与不等式问题相结合有两个方面 一是由不等式恒成立 或有解 求解参数取值范围 二是证明不等式或与自然数有关的不等式 解决这两类问题的核心是 函数的最值 5 2017 保定模拟 已知函数f x ex 2x 1 求函数f x 的极值 5 6 7 8 解答 解 f x ex 2 令f x 0 得x ln2 令f x 0 得x ln2 f x 在 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 当x ln2时 f x 有极小值f ln2 2 2ln2 无极大值 2 当a 2 ln4且x 0时 试比较f x 与x2 a 2 x 1的大小 5 6 7 8 解答 解令g x f x x2 a 2 x 1 ex x2 ax 1 g x ex 2x a f x a g x min f x min a 2 2ln2 a a 2 ln4 g x 0 g x 在 0 上单调递增 g x g 0 0 即f x x2 a 2 x 1 5 6 7 8 6 已知函数f x lnx x 3 1 求函数f x 的单调区间 解答 令f x 0 得x 1 令f x 0 得x 0 1 f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 5 6 7 8 2 证明 在 1 上 f x 2 0 证明 证明f x lnx x 3 所以f 1 2 由 1 知 f x lnx x 3在 1 上单调递增 所以当x 1 时 f x f 1 即f x 2 所以f x 2 0 证明由 1 可知 当x 1 时 f x f 1 即 lnx x 1 0 所以0 lnx x 1对一切x 1 恒成立 因为n 2 n n 则有0 lnn n 1 5 6 7 8 证明 5 6 7 8 解答 1 当x 1 e 时 求f x 的最小值 若a 1 当x 1 e 时 f x 0 则f x 在 1 e 上为增函数 f x min f 1 1 a 若1 a e 当x 1 a 时 f x 0 f x 为减函数 当x a e 时 f x 0 f x 为增函数 所以f x min f a a a 1 lna 1 若a e 当x 1 e 时 f x 0 f x 在 1 e 上为减函数 5 6 7 8 5 6 7 8 综上 当a 1时 f x min 1 a 当1 a e时 f x min a a 1 lna 1 5 6 7 8 2 当a 1时 若存在x1 e e2 使得对任意的x2 2 0 f x1 g x2 恒成立 求a的取值范围 解答 解由题意知 f x x e e2 的最小值小于g x x 2 0 的最小值 由 1 知 f x 在 e e2 上单调递增 g x 1 ex x 当x 2 0 时 g x 0 g x 为减函数 g x min g 0 1 5 6 7 8 1 求函数f x 的单调区间 5 6 7 8 解答 当a 0时 若0 x 1 则f x 0 若x 1 则f x 0 故此时函数f x 的单调递减区间是 0 1 单调递增区间是 1 当0 a 1时 f x f x 随x的变化情况如下表 所以函数f x 的单调递增区间是 0 a 1 单调递减区间是 a 1 5 6 7 8 所以函数f x 的单调递增区间是 0 当a 1时 同0 a 1时的解法 可得函数f x 的单调递增区间是 0 1 a 单调递减区间是 1 a 5 6 7 8 2 若f x 0对定义域的任意x恒成立 求实数a的取值范围 此时f x 0对定义域内的任意x不是恒成立的 此时只要f 1 0即可 5 6 7 8 解答 5 6 7 8 证明 当且仅当x 1时等号成立 即lnx x2 x 在上面不等式中分别令x m 1 m 2 m n m n n 将所得各式相加 得 5 6 7 8 考点三导数与其他知识的交汇问题 方法技巧解决导数与不等式 数列等知识的交汇问题 可以通过构造函数 利用导数研究函数的单调性及函数值的变化趋势 透析函数图象的基本特征 结合转化与化归 分类与整合等数学思想方法进行求解 9 已知函数f x x2 2ax 2 ex 1 函数f x 在x 0处的切线方程为2x y b 0 求a b的值 9 10 11 12 解f x x2 2ax 2 ex f 0 2e0 2 2 b 0 解得b 2 f x x2 2ax 2 2x 2a ex x2 2 2a x 2 2a ex f 0 2 2a 2 得a 2 a 2 b 2 解答 9 10 11 12 解答 2 当a 0时 若曲线y f x 上存在三条斜率为k的切线 求实数k的取值范围 解f x x2 2 2a x 2 2a ex 令h x f x 依题意知 存在k使h x k有三个不同的实数根 h x x2 2ax 2 2x 2a 2x 2a 2 ex x2 4 2a x 4 4a ex 令h x x2 4 2a x 4 4a ex 0 得x1 2 x2 2a 2 由a 0知 x1 x2 则f x 在 2 2a 2 上单调递增 在 2 2a 2 上单调递减 当x 时 f x 0 当x 时 f x 9 10 11 12 f x 的极大值为f 2 e 2 2a 2 f x 的极小值为f 2a 2 e2a 2 2 2a 当f 2a 2 0 即a 1时 0 k e 2 2a 2 当f 2a 2 0 即0 a 1时 e2a 2 2 2a k e 2 2a 2 9 10 11 12 10 已知函数f x ex e x 2x 1 讨论f x 的单调性 9 10 11 12 解f x ex e x 2 0 当且仅当x 0时 等号成立 所以f x 在 上单调递增 解答 2 设g x f 2x 4bf x 当x 0时 g x 0 求b的最大值 9 10 11 12 解答 解因为g x f 2x 4bf x e2x e 2x 4b ex e x 8b 4 x g x 2 e2x e 2x 2b ex e x 4b 2 2 ex e x 2 ex e x 2b 2 当b 2时 g x 0 当且仅当x 0时 等号成立 所以g x 在 上单调递增 而g 0 0 所以对任意x 0 g x 0 当b 2时 若x满足2 ex e x 2b 2 而g 0 0 综上 b的最大值为2 9 10 11 12 所以ln2的近似值为0 693 9 10 11 12 解答 9 10 11 12 证明 设f x 的图象与x轴相切于点 x0 0 解得a x0 1 9 10 11 12 当00 h x 单调递增 当x 1时 h x 0 h x 单调递减 所以h x h 1 0 即lnx x 1 9 10 11 12 证明 9 10 11 12 从而有m x 0 所以m x 单调递增 9 10 11 12 9 10 11 12 12 2017 泸州冲刺 设函数f x ex sinx e为自然对数的底数 g x ax f x f x g x 1 若x 0是f x 的极值点 且直线x t t 0 分别与函数f x 和g x 的图象交于p q 求p q两点间的最短距离 9 10 11 12 解答 解因为f x ex sinx ax 所以f x ex cosx a 因为x 0是f x 的极值点 所以f 0 1 1 a 0 解得a 2 又当a 2时 若x 0 f x ex cosx a 1 1 2 0 所以f x 在 0 上单调递减 若x 0 f x ex sinx 0 所以f x 在 0 上为增函数 所以f x f 0 1 1 2 0 所以f x 在 0 上为增函数 9 10 11 12 所以x 0是f x 的极小值点 所以a 2符合题意 所以 pq et sint 2t 令h x ex sinx 2x 即h x ex cosx 2 因为 h x ex sinx 当x 0时 ex 1 1 sinx 1 所以 h x ex sinx 0 所以h x ex cosx 2在 0 上单调递增 所以h x ex cosx 2 h 0 0 所以当x 0 时 h x 的最小值为h 0 1 所以 pq min 1 9 10 11 12 2 若当x 0时 函数y f x 的图象恒在y f x 的图象上方 求实数a的取值范围 9 10 11 12 解答 解令 x f x f x ex e x 2sinx 2ax 则 x ex e x 2cosx 2a 令s x x ex e x 2sinx 因为s x ex e x 2cosx 0在x 0时恒成立 所以函数s x 在 0 上单调递增 所以s x s 0 0在x 0时恒成立 故函数 x 在 0 上单调递增 所以 x 0 4 2a在x 0 时恒成立 当a 2时 x 0 x 在 0 上单调递增 即 x 0 0 故当a 2时 f x f x 恒成立 9 10 11 12 当a 2时 因为 x 在 0 上单调递增 所以总存在x0 0 使 x 在区间 0 x0 上 x 0 导致 x 在区间 0 x0 上单调递减 而 0 0 所以当x 0 x0 时 x 0 这与f x f x 0对x 0 恒成立矛盾 所以a 2不符合题意 故符合条件的a的取值范围是 2 9 10 11 12 规范解答模板答题规范练 例 12分 已知函数f x lnx mx m m r 1 求函数f x 的单调区间 2 若f x 0在x 0 上恒成立 求实数m的值 模板体验 审题路线图 规范解答 评分标准 当m 0时 f x 0恒成立 则函数f x 在 0 上单调递增 2 解由 1 知 当m 0时显然不成立 只需m lnm 1 0即可 令g x x lnx 1 函数g x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 所以g x min g 1 0 则若f x 0在x 0 上恒成立 m 1 8分 构建答题模板 第一步 求导数 第二步 看性质 根据导数讨论函数的单调性 极值 最值等性质 第三步 用性质 将题中条件或要证结论转化 如果成立或有解问题可转化为函数的最值 证明不等式可利用函数单调性和放缩法 第四步 得结论 审视转化过程的合理性 第五步 再反思 回顾反思 检查易错点和步骤规范性 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 规范演练 解设曲线y f x 与x轴相切于点 x0 0 则f x0 0 f x0 0 1 2 3 4 5 解答 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 1 2 3 4 5 解答 解当x 1 时 g x lnx 0 从而h x min f x g x g x 0 故h x 在 1 内无零点 h 1 min f 1 g 1 g 1 0 故x 1是h x 的零点 故x 1不是h x 的零点 当x 0 1 时 g x lnx 0 1 2 3 4 5 所以只需考虑f x 在 0 1 上的零点个数 若a 3或a 0 则f x 3x2 a在 0 1 内无零点 故f x 在 0 1 上单调 所以当a 3时 f x 在 0 1 有一个零点 当a 0时 f x 在 0 1 内没有零点 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 求实数a的值及f x 的极值 1 2 3 4 5 解答 f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 当0 x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 故f x 在x 1处取得极大值1 无极小值 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 当x 0时 f x 由 1 得f x 在 0 1 上单调递增 由零点存在性原理知 f x 在区间 0 1 上存在唯一零点 函数f x 的图象如图所示 1 2 3 4 5 1 求a的值 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 证明 1 2 3 4 5 当x 1 时 lnx 2 3lnx 3 0 0 3 3 故g x 在 1 2 上单调递增 在 2 上单调递减 1 2 3 4 5 4 已知函数f x ax2 bx lnx a b r 1 设b 2 a 求f x 的零点的个数 1 2 3 4 5 解答 解 b 2 a 当0 a 4 1 ln2 时 函数f x 没有零点 当a 4 1 ln2 时 函数f x 有一个零点 当a 4 1 ln2 时 函数f x 有两个零点 1 2 3 4 5 当a 2时 f x 在 0 上单调递减