江西省宜中学高中数学《1.6 余弦函数的图像与性质》教学案 新人教版必修4.doc

1.6 余弦函数的图像与性质 一、课前自主导学【教学目标】1会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像2会用五点法画出余弦函数在0,2上的图像3掌握余弦函数的性质及应用【重点难点】余弦函数的图像特征及性质【教材助读】1、如何由的图像得到的图像呢？【提示】图像向左平移个单位即得的图像2、余弦函数的图像可以通过将正弦曲线向左平移个单位长度得到如图是余弦函数的图像，叫作余弦曲线3、用五点法可以作出正弦函数的图像，利用这个方法作出余弦函数的图像吗？五个关键点是什么？【提示】能五个关键点分别为(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(,1)画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数的图像上有五个关键点，为(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)，可利用此五点画出余弦函数的简图(如图)4、研究正弦函数的性质时，主要研究了它的哪些性质？类比正弦函数的性质，能得到余弦函数的性质吗？【提示】主要研究了的定义域、值域、周期、单调性、对称轴、对称中心等可以类比得到的性质图像定义域r值域1,1最大值，最小值当时，；当时，.周期性周期函数，t单调性在上是增加的；在上是减少的奇偶性偶函数，图像关于轴对称【预习自测】1.函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则的解析式为()a b c d【解析】依题意知，故选a.2函数是()a最小正周期为的偶函数 b最小正周期为的奇函数c最小正周期为2的偶函数 d最小正周期为2的奇函数【解析】由于图像与的图像关于x轴对称，所以的周期与的周期相同，仍为2，且图像仍关于y轴对称，所以是偶函数，故选c.【答案】c3设函数，若，则_.【解析】令g(x)f(x)1x3cos x，g(x)(x)3cos(x)x3cos xg(x)g(x)为定义在r上的奇函数又f(a)11，g(a)f(a)110，g(a)g(a)10，又g(a)f(a)1，f(a)g(a)19.【答案】94画出在上的简图，并指出其最值和单调区间【解】列表：cos x1010113cos x21412图像如下：由图像可知，函数在上的最大值为4，最小值为2，单调增区间为，减区间为.【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】对于函数(1)用五点法作出此函数的简图(2)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合并分别写出最大值、最小值； (3)讨论此函数的单调性【思路探究】由五点法画简图，根据图像求最值及讨论单调性【自主解答】(1)按五个关键点列表如下，描点画出图像(如图)x02cos x10101y32cos x53135(2)当，即时，；当，即时，.(3)的增减区间就是的增减区间所以当时，函数是增加的，也是增加的；当时，函数是减少的，也是减少的【例2】求下列函数的定义域：(1)(2)【解答】(1)要使函数有意义，则，.画出的图像及直线，如图，由图像可知函数定义域为(2)要使函数有意义，则，的解集为，的解集为函数的定义域为【例3】(1)求函数的单调增区间；(2)比较大小：_ 【解答】(1)函数的单调增区间为(2)由于，又,而在0，上单调递减，即 【答案】【例4】求下列函数的最大值及最小值(1)；(2).【解答】(1)因为，又因为一次函数在上是单调减函数，所以：当时，当时，.(2)因为，所以根据函数的性质，当时，；当时，.【我的收获】三、课后知能检测一、选择题1函数是r上的偶函数，则的值为()a0b. c. d【解析】当时，是偶函数【答案】c2若函数，则函数的最小值为()a. b. c. d.【答案】a3函数的部分图像是()【答案】a4.设m和m分别表示函数的最大值和最小值，则mm等于()a. b c d2【答案】d5已知，则的图像()a与的图像相同b与的图像关于轴对称c向左平移个单位，得到的图像d向右平移个单位，得到的图像【答案】d二、填空题6在区间上为增函数，则的取值范围是_【答案】(，07函数取最小值时，自变量x的集合是_【答案】8已知函数的图像和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_【解析】如图，的图像在上与直线围成封闭图形的面积为,所以在上封闭图形的面积为. 【答案】三、解答题9画出函数的图像，并根据图像讨论其性质【解】利用五点法画出其图像，如图，由图像可知函数具有以下性质：定义域r；值域：0,1；奇偶性：偶函数；周期性：最小正周期为2的周期函数；单调性：在区间上是减少的；在区间上是增加的10判断方程在内根的个数【解】在同一直角坐标系中作出函数和的图像，如图当时，.当时，所以两函数的图像只在内有两个交点，所