高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课件 新人教A版必修4(1).ppt

1 6三角函数模型的简单应用 一 二 一 三角函数模型的作用 问题思考 1 三角函数能够模拟现实中的许多周期现象 你能举出一些这样的例子吗 提示 物理中的简谐振动 交流电中的电流 海洋潮汐和水车问题等都是日常生活中的一些周期现象 2 填空 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型 可以用来研究很多问题 在刻画周期规律 预测未来方面发挥重要作用 一 二 二 应用三角函数模型解决问题的一般程序 问题思考 1 填空 应用三角函数模型解决问题 首先要把实际问题抽象为数学问题 通过分析它的变化趋势 确定它的周期 从而建立起适当的三角函数模型 解决问题的一般程序如下 1 审题 先审清楚题目条件 要求 理解数学关系 2 建模 分析题目周期性 选择适当的三角函数模型 3 求解 对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论 一 二 4 还原 把数学结论还原为实际问题的解答 一 二 2 做一做 如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h 单位 米 在某天从0 24时的变化情况 则水面高度h关于时间t的函数关系式为 解析 设h关于t的解析式为h asin t 则有h 0 0 即sin 0 因此可取 0 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型 2 与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决 3 若一个简谐振动的振动量的函数解析式是y 3sin4x 6 则其往复振动一次所需时间为秒 4 若电流i a 随时间t s 变化的关系是i 4sin200 t t 0 则电流的最大值为4a 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 心脏跳动时 血压在增加或减少 血压的最大值 最小值分别称为收缩压和舒张压 血压计上的读数就是收缩压和舒张压 读数120 80mmhg为标准值 设某人的血压满足函数式p t 115 25sin160 t 其中p t 为血压 单位 mmhg t为时间 单位 min 试回答下列问题 1 求函数p t 的周期 2 求此人每分钟心跳的次数 3 画出函数p t 的草图 4 求出此人的血压在血压计上的读数 分析函数解析式已知 可根据周期公式以及周期与频率的关系解决 1 2 可用五点作图法解决 3 由函数解析式或图象得出函数的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟在日常生活中 呈周期变化的现象 可利用三角函数模型y asin x b描述其变化规律 并结合各参数的实际意义解决相关问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1 13日的变化如图所示 且满足y asin t b 0 0 1 根据图中数据求函数解析式 2 从7月1日开始 每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 已知表示电流强度i与时间t的函数关系式i asin t a 0 0 1 若电流强度i与时间t的函数关系图象如图所示 试根据图象写出i asin t 的解析式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析对于 1 由于解析式的类型已经确定 只需根据图象确定参数a 的值即可 其中a可由最大值与最小值确定 可由周期确定 可通过特殊点的坐标 解方程求得 对于 2 可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动 交流电电流 电压等方面 其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多 尤其要弄清振幅 频率 周期 平衡位置等物理概念的意义和表示方法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2单摆从某点开始来回摆动 离开平衡位置的距离s 单位 cm 和时间t 单位 s 的函数关系式为 1 作出函数的图象 2 当单摆开始摆动 t 0 时 离开平衡位置的距离是多少 3 当单摆摆动到最右边时 离开平衡位置的距离是多少 4 单摆来回摆动一次需多长时间 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 已知某海滨浴场海浪的高度y 单位 米 是时间t 0 t 24 单位 时 的函数 记作y f t 下表是某日各时的浪高数据 1 根据以上数据 求函数y f t 的函数解析式 2 依据规定 当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放 请依据 1 的结论 判断一天内上午8 00时至晚上20 00时之间 有多少时间可供冲浪爱好者进行运动 分析作出散点图 判断形状构建模型 求参数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟处理数据拟合和预测问题的几个步骤 1 根据原始数据 绘出散点图 2 通过散点图 作出 最贴近 的直线或曲线 即拟合直线或拟合曲线 3 根据所学函数知识 求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式 4 利用函数关系式 根据条件对所给问题进行预测和控制 以便为决策和管理提供依据 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 不能正确理解简谐运动的过程致误 典例 弹簧振子以点o为平衡位置 在b c间做简谐运动 b c相距20cm 某时刻振子处在点b 经0 5s振子首次达到点c 求 1 振动的振幅 周期和频率 2 振子在5s内通过的路程及这时位移的大小 错解 1 因为b c相距20cm 所以振幅a 20cm 因为从点b经0 5s振子首次达到点c 2 5s内的路程 位移 5a 5 20 100cm 探究一 探究二 探究三 思维辨析 错解 错在什么地方 你能发现吗 怎样避免这类错误呢 提示 振子以o为平衡位置 在b c间做简谐运动 b c相距20cm 说明振子离开平衡位置的最大值和最小值点相距20cm 即振幅的2倍等于20cm 振子从点b经0 5秒首次到达点c 再返回点b才是一个周期 因此 应有 0 5s 路程与位移有区别 路程只有大小 位移不仅有大小 还有方向 错解 中由于对周期的概念理解不清导致周期求错 另外 混淆了路程与位移直接的区别导致结果错误 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 1 设振幅为a 则2a 20cm a 10cm 2 振子在1t内通过的距离为4a 故在t 5s 5t内通过的路程s 5 4a 20a 20 10cm 200cm 2m 5s末物体处在点b 所以它相对平衡位置的位移大小为10cm 防范措施对于简谐振动 要结合物理中所学的知识加强对相关概念以及解析式y asin x 中参数意义的理解 弄清它们之间的区别与联系 以便正确求解 1 2 3 4 1 如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图 经过周期后 乙的位置将移至 a x轴上b 最低点c 最高点d 不确定解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期 故乙移至最高点 答案 c 1 2 3 4 2 如图所示是一个简谐运动的图象 则下列判断正确的是 a