高中数学 第一章 基本初等函数（Ⅱ）1.2 任意角的三角函数 1.2.2 单位圆与三角函数线课件 新人教B版必修4.ppt

1 2 2单位圆与三角函数线 1 会利用单位圆中的有向线段表示正弦 余弦和正切 2 能使用三角函数线求三角函数值 比较大小 解简单的三角方程或三角不等式 证明相关的命题等 1 2 1 单位圆半径为1的圆叫做单位圆 做一做1 若单位圆的圆心与坐标原点重合 有下列结论 单位圆上任意一点到原点的距离都是1 单位圆与x轴的交点为 1 0 过点 1 0 的单位圆的切线方程为x 1 与x轴平行的单位圆的切线方程为y 1 以上结论正确的个数为 a 1b 2c 3d 4解析 单位圆与x轴的交点为 1 0 和 1 0 与x轴平行的单位圆的切线方程为y 1 所以 错误 显然 正确 答案 b 1 2 2 三角函数线 1 如图 设单位圆的圆心与坐标原点重合 则单位圆与x轴的交点分别为a 1 0 a 1 0 而与y轴的交点分别为b 0 1 b 0 1 设角 的顶点在圆心o 始边与x轴的正半轴重合 终边与单位圆相交于点p 如图 过点p作pm垂直x轴于点m 作pn垂直y轴于点n 则点m n分别是点p在x轴 y轴上的正射影 简称射影 由三角函数的定义可知 点p的坐标为 cos sin 即p cos sin 其中cos om sin on 1 2 这就是说 角 的余弦和正弦分别等于角 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标 如图 以a为原点建立y 轴与y轴同向 y 轴与 的终边 或其反向延长线 相交于点t 或t 则tan at 或at 我们把轴上向量分别叫做 的余弦线 正弦线和正切线 当角 的终边在x轴上时 点p与点m重合 点t与点a重合 此时 正弦线和正切线都变成了一点 它们的数量为零 而余弦线om 1或 1 当角 的终边在y轴上时 正弦线mp 1或 1 余弦线变成了一点 它表示的数量为零 正切线不存在 2 三角函数线的方向表示三角函数值的符号 正弦线 正切线的方向同y轴一致 向上为正 向下为负 余弦线的方向同x轴一致 向右为正 向左为负 三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值 1 2 做一做2 1 如图 在单位圆中 角 的正弦线 正切线完全正确的是 答案 c 1 2 做一做2 2 如图 你从图中可得到什么信息 1 点p的坐标是 1 三角函数线的作用剖析三角函数线在解决有关三角函数的问题时 具有实用性 简捷性 直观性等特点 我们在使用时主要从形的角度看待三角函数线 三角函数线是三角函数值的直观表达形式 从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号 从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值的大小 三角函数线的主要作用是解三角不等式 证明三角不等式 求函数定义域及比较大小 同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础 如 求函数y log2 sinx 的定义域 我们可以通过转化为解不等式sinx 0 解答如下 要使函数y log2 sinx 有意义 x的取值必须满足sinx 0 则sinx mp 0 角x的终边在x轴的上方 2k x 2k k z 即函数y log2 sinx 的定义域是 2k 2k k z 我们根据角能作出角的三角函数线 反过来 我们也可以根据三角函数值去找角的终边 从而找到角的取值范围 观察三角函数线的变化 我们知道 当角 由0增加到2 时 sin 在第一 四象限都是增函数 在第二 三象限都是减函数 cos 在第一 二象限都是减函数 在第三 四象限都是增函数 tan 在各个象限内均是增函数 观察三角函数线的变化 还可以得出 当 r时 sin cos 的值域为 1 1 tan 的值域为r 归纳总结三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具 要注意通过平时经验的积累 掌握三角函数线的应用 题型一 题型二 题型三 题型四 分析利用单位圆中三角函数线的作法作图 题型一 题型二 题型三 题型四 图 1 图 2 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 正弦线 余弦线 正切线这三条有向线段中 有两条在单位圆内 有一条在单位圆外 2 三条有向线段的正负 三条有向线段凡与x轴或y轴的正方向同向的为正值 与x轴或y轴的正方向反向的为负值 3 三条有向线段的书写 有向线段的起点字母在前面 终点字母在后面 题型一 题型二 题型三 题型四 解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思三角函数线在解决一些与三角函数有关的不等式 比较大小等问题时十分快捷有效 所以我们要能熟练地画出一个角的三角函数线 结合图形对比得出结论 这也是数形结合思想的很好体现 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 若 则下列各式错误的是 填序号 sin cos 0 sin 0 解析 画出单位圆如右图 借助三角函数线进行判断 由图可观察出 当 时 sin 0 cos 0 且 sin cos 所以 正确 错误 答案 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思通过解答本题 我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点 忽视三角函数线的方向致错 例4 利用三角函数线证明 sin cos 1 错解 证明 如图所示 mp sin om cos 根据三角形中两边之和大于第三边易知 sin cos 1 错因分析上述解法忽视了角 的终边在坐标轴上的情况 并且正弦线 余弦线是有方向的 不能写成mp sin 和om cos 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 证明 当角 的终边在x 或y 轴上时 正弦线 或余弦线 变成一个点 而余弦线 或正弦线 的长等于r r 1 所以 sin cos 1 当角 的终边落在四个象限时 如图 根据三角形两边之和大于第三边 易知 sin cos 1 综上 有 sin cos 1 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 设a sin 1 b cos 1 c tan 1 试比较a b c的大小 解 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 a sin tan cos b tan sin cos c cos sin tan d sin cos tan 解析 如图 在单位圆中 作出内的一个角 及其正弦线 余弦线 正切线 由图知 考虑方向可得sin cos tan 答案 d 1 2 3 4 5 3 若角 的余弦线是单位长度的有向线段 则角 的终边在 a y