高中数学 第一章 数列 1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5.ppt

第一章数列 1 2数列的函数特性 1 理解数列的几种表示方法 2 能从函数的观点研究数列 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一数列的表示方法 以数列2 4 6 8 10 12 为例 你能用几种方法表示这个数列 答案 对数列2 4 6 8 10 12 可用以下几种方法表示 通项公式法 an 2n 递推公式法 列表法 图像法 梳理 数列的表示方法有法 法 列表法 递推公式法 通项公式 图像 知识点二数列的增减性 图像上升 an随n增大而增大 思考 答案 观察知识点一中数列2 4 6 8 的图像 随着n的增大 an有什么特点 梳理 一般地 按项的增减趋势分类 从第2项起 每一项都大于它前面的一项 即an 1an 那么这个数列叫作 从第2项起 每一项都小于它前面的一项 即an 1an 那么这个数列叫作 各项相等的数列叫作 从第2项起 有些项小于它的前一项 有些项小于它的前一项的数列叫作 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 题型探究 例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形 在4个三角形图案中 着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项 请写出这个数列的一个通项公式 并在直角坐标系中画出它的图像 解答 类型一数列的表示方法 这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1 3 9 27 则所求数列的前4项都是3的指数幂 指数为序号减1 所以 这个数列的一个通项公式是an 3n 1 在直角坐标系中的图像为一些孤立的点 如图所示 由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察 归纳各项与序号之间的联系 善于利用我们熟知的一些基本数列 通过合理的联想 转化 从而达到解决问题的目的 反思与感悟 跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题 他们在沙滩上画点或用小石子来表示数 比如 他们将石子摆成如图所示的三角形状 就将其所对应石子个数称为三角形数 则第10个三角形数是 三角形数依次为 1 3 6 10 15 第10个三角形数为 1 2 3 4 10 55 55 答案 解析 类型二数列的增减性 命题角度1判断数列的增减性例2判断数列 的增减性 解答 反思与感悟 对于无穷数列 不可能从第2项起逐项验证是否大于前一项 故需考察an 1 an的正负来研究数列的增减性 设an n2 n 则an 1 an n 1 2 n 1 n2 n 2n 1 0对任意n n 恒成立 2n 1 min 3 0 3 跟踪训练2若数列 n2 n 是递增数列 则实数 的取值范围是 3 答案 解析 命题角度2求数列中的最大项与最小项例3在数列 an 中 an n 1 n n n 证明 1 求证 数列 an 先递增 后递减 2 求数列 an 的最大项 解答 反思与感悟 数列中最大项与最小项的两种求法 1 若求最大项an 则an应满足若求最小项an 则an应满足 2 将数列看作一个特殊的函数 通过求函数的最值来解决数列的最值问题 但此时应注意n n 这一条件 跟踪训练3已知数列 an 的通项公式为an 求数列 an 的最大项和最小项 解答 当n 2时 an 1 an0 即an 1 an 当n 4时 an 1 an2 所以a4 a5 an 2 a1 a2 a3 故数列 an 的最大项为a4 4 最小项为a3 0 当堂训练 1 已知数列 an 的通项公式是an 则这个数列是a 递增数列b 递减数列c 常数列d 摆动数列 答案 解析 1 2 3 an 1 an 1 0 an 是递减数列 2 已知数列 an 满足a1 2 an 1 an 1 0 n n 则此数列是a 递增数列b 递减数列c 常数列d 摆动数列 答案 解析 1 2 3 3 用火柴棒按下图的方法搭三角形 a1 3 a2 3 2 5 a3 3 2 2 7 a4 3 2 2 2 9 an 2n 1 1 2 3 按图示的规律搭下去 则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 an 2n 1 答案 解析 规律与方法 1 an 与an是不同的两种表示 an 表示数列a1 a2 an 是数列的一种简记形式 而an只表示数列 an 的第n项 an与 an 是 个体 与 整体 的从属关系 2 数列的表示方法 1 图像法 2 列表法 3 通项公式法 4 递推公式法 3 判断数列增减性的办法一般是