第16课时二次函数.doc

第16课时 二次函数复习目标1.二次函数的意义; 2.二次函数的图象;3.二次函数的性质 5.二次函数与一元二次方程的关系。 顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax2+bx+c(a0) 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)6.抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。复习重、难点与考点1.二次函数的图象及性质2. 待定系数法是确定二次函数解析式3.二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.课时安排 3课时教学后记复习过程(一)知识的回顾1、函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的函数叫做二次函数，它可以通过配方化为顶点式y=a（xh）2+k，其中h=，k=。3、图象及性质：二次函数y=a（xh）2+k的图象是一条抛物线，它的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h=，若a0，则抛物线的开口向上，函数有最小值y=k=，若a0，则抛物线的开口向上，函数有最大值y=k=3、函数的增减性：（1）a0，对称轴左侧，当x时，y随x的增大而减小；a0，对称轴右侧， x， y随x的增大而增大。（2）a0，对称轴左侧，当x时，y随x的增大而增大；a0，对称轴右侧， x， y随x的增大而减小。4、抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）中系数a、b、c的作用：（1）a确定抛物线的开口方向和开口大小：a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大。（2）b和a共同确定抛物线对称轴的位置，因为抛物线的对称轴是直线x=，所以当a、b同号时，对称轴在y轴左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧。（3）c确定抛物线与y轴的交点位置，因为当x=0时，y=c，所以抛线与轴的交点坐标为（0，c），反之一样。当c0时，抛物线交y轴正半轴一点；当c=0时，抛物线经过原点（0，0），当c0时，抛物线交y轴负半轴一点（4）a+b+c 0利用y=ax2+bx+c（a0）中x=1来确定y 0； ab+c 0利用y=ax2+bx+c（a0）中x=1来确定y 05、用待定系数法求二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0），即三点式，当知道抛物线上任意三个点的坐标时，将其横、纵坐标分别代入一般式中，求解三元一次方程组得到a、b、c的值。（2）顶点式：y=a（xh）2+k（a0），其中（h，k）是抛物线的顶点坐标，当知道抛物线的顶点坐标和其它的一个条件时，则可用这种方法，注意特殊时可以有下面的前三种。（3）交点式：y=a（xx1）（xx2）（a0），其中是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，也是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个实数根。注意：要化成一般形式。6、一元二次方程与抛物线的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的解就是抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交点的横坐标，并由此可以结合图象来观察当x为何值时，y0，y0，y0。具体表现如下表：方程ax2+bx+c=0（a0）根的情况判别式b24ac抛物线y=ax2+bx+c（a0）两个不相等的实数根x1=x2=b24ac0与x轴有两个交点A（ x1，0） B（x2，0）AB= x1 x2两个相等的实数根x1= x2=b24ac0 ax2+bx+c是完全平方式与x轴只有一个交点（，0）无实数根b24ac0与x轴无交点7五类函数的特征：（1） y=ax2（a0）：对称轴是y轴即直线x=0，顶点坐标（0，0），因为c=0，经过（0，0）点（即与y轴的交点坐标）。（2）y=ax2+k（a0）：对称轴是y轴即直线x=0，顶点坐标（0，k），因为c=0，经过（0，k）点（即与y轴的交点坐标）。（3）y=a（xh）2（a0）：对称轴直线x=h，顶点坐标（h，0），ax2+bx+c是完全平方式。（4）y=a（xh）2+k（a0）对称轴直线x=h，顶点坐标（h，k）。（5）y=ax2+bx+c（a0）对称轴直线x=，顶点坐标（，），经过（0，c）点（即与y轴的交点坐标）。(二)题型例析 1. 二次函数解析式的确定 例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6. 分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解. (1)解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得 解得 解析式为y=x2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,解析式为y=2x2-4x-6. 解法3:图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. 函数有最小值-8. =-8. 又a0,a=2. 解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,又图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),设出两根式y=a(x-x1)(x-x2),将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8. 2. 二次函数的图象 例2 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析:由图可知: 抛物线开口向上a0. bc0时,图象过一、三象限;当a0时,直线交y轴于正半轴;当c0时,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数y=ax+c应过一、三象限,故排除C;当a0时,用同样方法可排除A;c决定直线与y轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y轴交点,本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点,故排除B. 3. 二次函数的性质 例4对于反比例函数y=-与二次函数y=-x2+3,请说出他们的两个相同点:_,_;再说出它们的两个不同点:_,_. 分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑增减性图象的形状最值自变量取值范围交点等. 解:相同点:图象都是曲线,都经过(-1,2)或都经过(2,-1); 不同点:图象形状不同,自变量取值范围不同,一个有最大值,一个没有最大值. 4. 二次函数的应用 3.()在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示). (1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,请用约定的方法一一表示出来; (2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.(三)知识的运用一、选择题: 1.抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ). A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在( ). A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 3.已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,则一定有( ). A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac4,那么AB的长是( ).A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m二、填空题 1.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_. 2.请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_. 3.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_. 4.已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_. 5.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_. 6.有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解