全国高校自主招生数学模拟试卷十一 新人教版.doc

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1 若a 1, b 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a 1)+lg(b 1) 的值( ) （a）等于lg2（b）等于1 (c ) 等于0 (d) 不是与a, b无关的常数 2.若非空集合a=x|2a+1x3a 5,b=x|3x22,则能使aab成立的所有a的集合是( ) （a）a | 1a9 (b) a | 6a9 (c) a | a9 (d) 3.各项均为实数的等比数列an前n项之和记为sn ,若s10 = 10, s30 = 70, 则s40等于( ) (a) 150 (b) - 200 (c)150或 - 200 (d) - 50或400 4.设命题p：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 0与a2x2 + b2x + c2 0的解集相同； 命题q：= 则命题q( ) (a) 是命题p的充分必要条件 (b) 是命题p的充分条件但不是必要条件 (c) 是命题p的必要条件但不是充分条件 (d) 既不是是命题p的充分条件也不是命题p的必要条件5.设e, f, g分别是正四面体abcd的棱ab,bc,cd的中点,则二面角cfge的大小是( ) (a) arcsin (b) +arccos (c) arctan (d) arccot 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (a) 57 (b) 49 (c) 43 (d)37二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1若f (x) (xr)是以2为周期的偶函数, 当x 0, 1 时,f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是 2设复数z=cos+isin(0180)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是p, q, r.当p, q, r不共线时,以线段pq, pr为两边的平行四边形的第四个顶点为s, 点s到原点距离的最大值是_.3从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有_种.4各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_项. 5若椭圆x2+4(ya)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是 6dabc中, c = 90o, b = 30o, ac = 2, m是ab的中点. 将dacm沿cm折起,使a,b两点间的距离为 2，此时三棱锥a-bcm的体积等于_.三、（本题满分20分）已知复数z=1sin+icos()，求z的共轭复数的辐角主值 四、（本题满分20分） 设函数f (x) = ax 2 +8x +3 (a 1, b 1, 且lg (a + b) = lg a + lg b, 则lg (a 1) + lg (b 1) 的值( ) （a）等于lg2（b）等于1 (c ) 等于0 (d) 不是与a, b无关的常数 解：a+b=ab，(a1)(b1)=1，由a10，b10，故lg(a1)(b1)=0，选c2若非空集合a=x|2a+1x3a 5,b=x|3x22,则能使aab成立的所有a的集合是( ) （a）a | 1a9 (b) a | 6a9 (c) a | a9 (d) 解：ab，a 32a+13a522，6a9故选b3各项均为实数的等比数列a n 前n项之和记为s n ,若s10 = 10, s30 = 70, 则s40等于( ) (a) 150 (b) -200 (c)150或 -200 (d) -50或400解：首先q1，于是，(q101)=10，(q301)=70， q20+q10+1=7q10=2(3舍) s40=10(q401)=150选a 4.设命题p：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 0与a 2x2 + b2x + c2 0的解集相同; 命题q：= 则命题q( ) (a) 是命题p的充分必要条件 (b) 是命题p的充分条件但不是必要条件 (c) 是命题p的必要条件但不是充分条件 (d) 既不是是命题p的充分条件也不是命题p的必要条件 解：若两个不等式的解集都是r，否定a、c，若比值为1，否定a、b，选d5.设e, f, g分别是正四面体abcd的棱ab,bc,cd的中点,则二面角cfge的大小是( ) (a) arcsin (b) +arccos (c) arctan (d) arccot 解：取ad、bd中点h、m，则ehfgbd，于是eh在平面efg上设cmfg=p，ameh=q，则p、q分别为cm、am中点，pqac acbd，pqfg，cpfg，cpq是二面角cfge的平面角设ac=2，则mc=ma=，cosacm= 选d6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (a) 57 (b) 49 (c) 43 (d)37解：8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； 面中心为中点：46=24组； 棱中点为中点：12个共49个，选b二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1若f (x) (xr)是以2为周期的偶函数, 当x 0, 1 时,f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是 解：f()=f(6)=f()f()=f(6)=f()，f()=f(6+)=f()现f(x)是0，1上的增函数而故f()f()2，4a101a1且a即a11a6dabc中, c = 90o, b = 30o, ac = 2, m是ab的中点. 将dacm沿cm折起,使a,b两点间的距离为 2，此时三棱锥abcm的体积等于 解：由已知，得ab=4，am=mb=mc=2，bc=2，由amc为等边三角形，取cm中点，则adcm，ad交bc于e，则ad=，de=，ce=折起后，由bc2=ac2+ab2，知bac=90，coseca= ae2=ca2+ce22cacecoseca=，于是ac2=ae2+ce2aec=90 ad2=ae2+ed2，ae平面bcm，即ae是三棱锥abcm的高，ae=sbcm=，vabcm=三、（本题满分20分）已知复数z=1sin+icos()，求z的共轭复数的辐角主值解：z=1+cos(+)+isin(+)=2cos2+2isincos=2cos (cos+isin)当时，=2cos (cos+isin)=2cos(+)(cos()+isin() 辐角主值为 四、（本题满分20分） 设函数f (x) = ax2 +8x+3 (a0)对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个 区间 0, l(a)上, 不等式| f (x)| 5都成立 问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)证明你的结论解： f(x)a(x+)2+3(1)当35，即8a0时，l(a)是方程ax2+8x+35的较小根，故l(a)(2)当35，即a8时，l(a)是方程ax2+8x+35的较大根，故l(a)综合以上，l(a)= 当a8时，l(a)；当8a0时，l(a)所以a8时，l(a)取得最大值五、（本题满分20分）已知抛物线y 2 = 2px及定点a(a, b), b( a, 0) ,(ab 0, b 2 2pa).m是抛物线上的点, 设直线am, bm与抛物线的另一交点分别为m1, m2 求证：当m点在抛物线上变动时(只要m1, m2存在且m1 m2.)直线m1m2恒过一个定点并求出这个定点的坐标. 解：设m(，m)m1(，m