高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列课件.ppt

高考数学 江苏省专用 6 3等比数列 1 2017江苏 9 5分 等比数列 an 的各项均为实数 其前n项和为sn 已知s3 s6 则a8 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案32 解析本题考查等比数列及等比数列的前n项和 设等比数列 an 的公比为q 当q 1时 s3 3a1 s6 6a1 2s3 不符合题意 q 1 由题设可得解得 a8 a1q7 27 32 2 2014江苏 7 5分 0 82 在各项均为正数的等比数列 an 中 若a2 1 a8 a6 2a4 则a6的值是 答案4 解析由a8 a6 2a4 两边都除以a4 得q4 q2 2 即q4 q2 2 0 q2 2 q2 1 0 q2 2 a2 1 a6 a2q4 1 22 4 3 2013江苏 14 5分 0 206 在正项等比数列 an 中 a5 a6 a7 3 则满足a1 a2 an a1a2 an的最大正整数n的值为 答案12 解析解法一 设公比为q 则q 0 由得a1 q 2 由a1 a2 an a1a2 an 得2n 1 检验知当n 12时 212 1 211 当n 13时 213 1a1a2 an的最大正整数n的值是12 解法二 设正项等比数列 an 的公比为q q 0 则由a6 a7 a5 q q2 3 结合a5 可得q 2 负值舍去 a1 24 a1 于是an 2n 6 则a1 a2 an 2n 5 a5 q 2 a6 1 a1a11 a2a10 1 a1a2 a11 1 当n取12时 a1 a2 a12 27 a1a2 a11 a12 a12 26成立 当n取13时 a1 a2 a13 28 13时 随着n的增大 a1 a2 an将恒小于a1a2 an 因此最大正整数n的值为12 4 2015江苏 20 16分 0 122 设a1 a2 a3 a4是各项为正数且公差为d d 0 的等差数列 1 证明 依次构成等比数列 2 是否存在a1 d 使得a1 依次构成等比数列 并说明理由 3 是否存在a1 d及正整数n k 使得 依次构成等比数列 并说明理由 解析 1 证明 因为 2d n 1 2 3 是同一个常数 所以 依次构成等比数列 2 令a1 d a 则a1 a2 a3 a4分别为a d a a d a 2d a d a 2d d 0 假设存在a1 d 使得a1 依次构成等比数列 则a4 a d a d 3 且 a d 6 a2 a 2d 4 令t 则1 1 t 1 t 3 且 1 t 6 1 2t 4 化简得t3 2t2 2 0 且t2 t 1 将t2 t 1代入 式 得t t 1 2 t 1 2 t2 3t t 1 3t 4t 1 0 则t 显然t 不是上面方程的解 矛盾 所以假设不成立 因此不存在a1 d 使得a1 依次构成等比数列 3 假设存在a1 d及正整数n k 使得 依次构成等比数列 则 a1 2d n 2k a1 d 2 n k 且 a1 d n k a1 3d n 3k a1 2d 2 n 2k 分别在两个等式的两边同除以及 并令t 则 1 2t n 2k 1 t 2 n k 且 1 t n k 1 3t n 3k 1 2t 2 n 2k 将上述两个等式两边取对数 得 n 2k ln 1 2t 2 n k ln 1 t 且 n k ln 1 t n 3k ln 1 3t 2 n 2k ln 1 2t 化简得2k ln 1 2t ln 1 t n 2ln 1 t ln 1 2t 且3k ln 1 3t ln 1 t n 3ln 1 t ln 1 3t 再将这两式相除 化简得ln 1 3t ln 1 2t 3ln 1 2t ln 1 t 4ln 1 3t ln 1 t 令g t 4ln 1 3t ln 1 t ln 1 3t ln 1 2t 3ln 1 2t ln 1 t 则g t 令 t 1 3t 2ln 1 3t 3 1 2t 2ln 1 2t 3 1 t 2 ln 1 t 则 t 6 1 3t ln 1 3t 2 1 2t ln 1 2t 1 t ln 1 t 令 1 t t 则 1 t 6 3ln 1 3t 4ln 1 2t ln 1 t 令 2 t 1 t 则 2 t 0 由g 0 0 1 0 2 0 0 2 t 0 知 2 t 1 t t g t 在和 0 上均单调 故g t 只有唯一零点t 0 即方程 只有唯一解t 0 故假设不成立 所以不存在a1 d及正整数n k 使得 依次构成等比数列 5 2016江苏 20 16分 记u 1 2 100 对数列 an n n 和u的子集t 若t 定义st 0 若t t1 t2 tk 定义st 例如 t 1 3 66 时 st a1 a3 a66 现设 an n n 是公比为3的等比数列 且当t 2 4 时 st 30 1 求数列 an 的通项公式 2 对任意正整数k 1 k 100 若t 1 2 k 求证 st ak 1 3 设c u d u sc sd 求证 sc sc d 2sd 解析 1 由已知得an a1 3n 1 n n 于是当t 2 4 时 st a2 a4 3a1 27a1 30a1 又st 30 故30a1 30 即a1 1 所以数列 an 的通项公式为an 3n 1 n n 2 因为t 1 2 k an 3n 1 0 n n 所以st a1 a2 ak 1 3 3k 1 3k 1 3k 因此 st ak 1 3 下面分三种情况证明 若d是c的子集 则sc sc d sc sd sd sd 2sd 若c是d的子集 则sc sc d sc sc 2sc 2sd 若d不是c的子集 且c不是d的子集 令e c ud f d uc 则e f e f 于是sc se sc d sd sf sc d 进而由sc sd得se sf 设k为e中的最大数 l为f中的最大数 则k 1 l 1 k l 由 2 知 se ak 1 于是3l 1 al sf se ak 1 3k 所以l 1 k 即l k 又k l 故l k 1 从而sf a1 a2 al 1 3 3l 1 故se 2sf 1 所以sc sc d 2 sd sc d 1 即sc sc d 2sd 1 综合 得 sc sc d 2sd 解后反思本题背景新颖 正确理解题意是关键 1 考查等比数列的通项公式的求法 2 数列求和与不等式放缩结合 注意放缩要适度 3 要分情况讨论 有一定难度 考点一等比数列的性质1 2015课标 改编 4 5分 已知等比数列 an 满足a1 3 a1 a3 a5 21 则a3 a5 a7 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案42 解析设 an 的公比为q 由a1 3 a1 a3 a5 21得1 q2 q4 7 解得q2 2 负值舍去 a3 a5 a7 a1q2 a3q2 a5q2 a1 a3 a5 q2 21 2 42 2 2014广东 13 5分 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 答案50 解析因为等比数列 an 中 a10 a11 a9 a12 所以由a10a11 a9a12 2e5 可解得a10 a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1 a2 a20 ln a10 a11 10 10ln a10 a11 10 lne5 50 评析本题考查了等比数列的性质及对数运算的性质 考查学生分析问题 解决问题的能力 3 2014天津 11 5分 设 an 是首项为a1 公差为 1的等差数列 sn为其前n项和 若s1 s2 s4成等比数列 则a1的值为 答案 解析s1 a1 s2 2a1 1 s4 4a1 6 故 2a1 1 2 a1 4a1 6 解得a1 4 2013江西理改编 3 5分 等比数列x 3x 3 6x 6 的第四项等于 答案 24 解析由x 3x 3 6x 6成等比数列 知 3x 3 2 x 6x 6 解得x 3或x 1 舍去 所以此等比数列的前三项为 3 6 12 故第四项为 24 评析本题主要考查等比数列的概念及等比中项 考查学生的运算求解能力和推理论证能力 运用等比中项公式是解题关键 5 2017山东文 19 12分 已知 an 是各项均为正数的等比数列 且a1 a2 6 a1a2 a3 1 求数列 an 的通项公式 2 bn 为各项非零的等差数列 其前n项和为sn 已知s2n 1 bnbn 1 求数列的前n项和tn 解析本题考查等比数列与数列求和 1 设 an 的公比为q 由题意知 a1 1 q 6 q a1q2 又an 0 解得a1 2 q 2 所以an 2n 2 由题意知 s2n 1 2n 1 bn 1 又s2n 1 bnbn 1 bn 1 0 所以bn 2n 1 令cn 则cn 因此tn c1 c2 cn 又tn 两式相减得tn 所以tn 5 易错警示 错位相减法 求和的关键在于 1 明确右边求和的是n项还是 n 1 项 2 式子合并化简 考点二等比数列的运算和综合应用1 2017课标全国 理 14 5分 设等比数列 an 满足a1 a2 1 a1 a3 3 则a4 答案 8 解析本题考查等比数列的通项 设等比数列 an 的公比为q 由题意得解得 a4 a1q3 8 2 2017课标全国 理改编 3 5分 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座7层塔共挂了381盏灯 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍 则塔的顶层共有盏灯 答案3 解析本题主要考查数学文化及等比数列基本量的计算 由题意可知 由上到下灯的盏数a1 a2 a3 a7构成以2为公比的等比数列 s7 381 a1 3 3 2017课标全国 理改编 12 5分 几位大学生响应国家的创业号召 开发了一款应用软件 为激发大家学习数学的兴趣 他们推出了 解数学题获取软件激活码 的活动 这款软件的激活码为下面数学问题的答案 已知数列1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 其中第一项是20 接下来的两项是20 21 再接下来的三项是20 21 22 依此类推 求满足如下条件的最小整数n n 100且该数列的前n项和为2的整数幂 那么该款软件的激活码是 答案440 解析本题考查了等比数列求和 不等式以及逻辑推理能力 不妨设1 1 2 1 2 2n 1 1 2 2t 2m 其中m n t n 0 t n 则有n t 1 因为n 100 所以n 13 由等比数列的前n项和公式可得2n 1 n 2 2t 1 1 2m 因为n 13 所以2n n 2 所以2n 1 2n n 2 即2n 1 n 2 2n 因为2t 1 1 0 所以2m 2n 1 n 2 2n 故m n 1 因为2t 1 1 2n 1 1 所以2m 2n 2 n 3 故m n 1 所以m n 1 从而有n 2t 1 3 因为n 13 所以t 3 当t 3时 n 95 不合题意 当t 4时 n 440 满足题意 故所求n的最小值为440 解题关键解决本题的关键在于利用不等式的知识得出m n 1 4 2014安徽 12 5分 数列 an 是等差数列 若a1 1 a3 3 a5 5构成公比为q的等比数列 则q 答案1 解析设 an 的公差为d 则a3 3 a1 1 2d 2 a5 5 a1 1 4d 4 由题意可得 a3 3 2 a1 1 a5 5 a1 1 2 d 1 2 a1 1 a1 1 4 d 1 a1 1 2 4 d 1 a1 1 2 d 1 2 a1 1 2 4 a1 1 d 1 d 1 a3 3 a1 1 公比q 1 5 2015安徽 14 5分 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 9 a2a3 8 则数列 an 的前n项和等于 答案2n 1 解析由已知得 a1a4 a2a3 8 又a1 a4 9 则或又数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 a1 1 a4 8 从而q3 8 即q 2 则前n项和sn 2n 1 6 2015湖南 14 5分 设sn为等比数列 an 的前n项和 若a1 1 且3s1 2s2 s3成等差数列 则an 答案3n 1 解析设等比数列 an 的公比为q q 0 依题意得a2 a1 q q a3 a1q2 q2 s1 a1 1 s2 1 q s3 1 q q2 又3s1 2s2 s3成等差数列 所以4s2 3s1 s3 即4 1 q 3 1 q q2 所以q 3 q 0舍去 所以an a1qn 1 3n 1 7 2013辽宁理 14 5分 已知等比数列 an 是递增数列 sn是 an 的前n项和 若a1 a3是方程x2 5x 4 0的两个根 则s6 答案63 解析a1 a3是方程x2 5x 4 0的两个根且 an 是递增数列 故a3 4 a1 1 故公比q 2 s6 63 评析本题考查了等比数列的求和公式 数列 an 递增是解题的关键 没考虑到q 0是失分的主因 8 2015福建改编 8 5分 若a b是函数f x x2 px q p 0 q 0 的两个不同的零点 且a b 2这三个数可适当排序后成等差数列 也可适当排序后成等比数列 则p q的值等于 答案9 解析由题可知a b是x2 px q 0的两根 a b p 0 ab q 0 故a b均为正数 a b 2适当排序后成等比数列 2是a b的等比中项 得ab 4 q 4 又a b 2适当排序后成等差数列 所以 2是第一项或第三项 不妨设a0 a 1 此时b 4 p a b 5 p q 9 9 2017山东理 19 12分 已知 xn 是各项均为正数的等比数列 且x1 x2 3 x3 x2 2 1 求数列 xn 的通项公式 2 如图 在平面直角坐标系xoy中 依次连接点p1 x1 1 p2 x2 2 pn 1 xn 1 n 1 得到折线p1p2 pn 1 求由该折线与直线y 0 x x1 x xn 1所围成的区域的面积tn 解析本题考查等比数列基本量的计算 错位相减法求和 1 设数列 xn 的公比为q 由已知知q 0 由题意得所以3q2 5q 2 0 因为q 0 所以q 2 x1 1 因此数列 xn 的通项公式为xn 2n 1 2 过p1 p2 pn 1向x轴作垂线 垂足分别为q1 q2 qn 1 由 1 得xn 1 xn 2n 2n 1 2n 1 记梯形pnpn 1qn 1qn的面积为bn 由题意bn 2n 1 2n 1 2n 2 所以tn b1 b2 bn 3 2 1 5 20 7 21 2n 1 2n 3 2n 1 2n 2 2tn 3 20 5 21 7 22 2n 1 2n 2 2n 1 2n 1 得 tn 3 2 1 2 22 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 所以tn 解题关键记梯形pnpn 1qn 1qn的面积为bn 以几何图形为背景确定 bn 的通项公式是关键 方法总结一般地 如果 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法 在写 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 10 2017天津文 18 13分 已知 an 为等差数列 前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nbn 的前n项和 n n 解析本小题主要考查等差数列 等比数列及其前n项和公式等基础知识 考查数列求和的基本方法和运算求解能力 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由s11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 an 的通项公式为an 3n 2 bn 的通项公式为bn 2n 2 设数列 a2nbn 的前n项和为tn 由a2n 6n 2 有tn 4 2 10 22 16 23 6n 2 2n 2tn 4 22 10 23 16 24 6n 8 2n 6n 2 2n 1 上述两式相减 得 tn 4 2 6 22 6 23 6 2n 6n 2 2n 1 4 6n 2 2n 1 3n 4 2n 2 16 得tn 3n 4 2n 2 16 所以 数列 a2nbn 的前n项和为 3n 4 2n 2 16 方法总结 1 等差数列与等比数列中分别有五个量 a1 n d 或q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和d 或q 问题可迎刃而解 2 数列 anbn 其中 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比q 1的等比数列 求 anbn 的前n项和应采用错位相减法 11 2016课标全国 17 12分 已知数列 an 的前n项和sn 1 an 其中 0 1 证明 an 是等比数列 并求其通项公式 2 若s5 求 解析 1 由题意得a1 s1 1 a1 故 1 a1 a1 0 2分 由sn 1 an sn 1 1 an 1得an 1 an 1 an 即an 1 1 an 由a1 0 0得an 0 所以 因此 an 是首项为 公比为的等比数列 于是an 6分 2 由 1 得sn 1 由s5 得1 即 解得 1 12分 思路分析 1 先由题设利用an 1 sn 1 sn得到an 1与an的关系式 要证数列是等比数列 关键是看an 1与an之比是否为一常数 其中说明an 0是非常重要的 2 利用第 1 问的结论解方程求出 12 2016天津 18 13分 已知 an 是等比数列 前n项和为sn n n 且 s6 63 1 求 an 的通项公式 2 若对任意的n n bn是log2an和log2an 1的等差中项 求数列 1 n 的前2n项和 解析 1 设数列 an 的公比为q 由已知 有 解得q 2 或q 1 又由s6 a1 63 知q 1 所以a1 63 得a1 1 所以an 2n 1 2 由题意 得bn log2an log2an 1 log22n 1 log22n n 即 bn 是首项为 公差为1的等差数列 设数列 1 n 的前n项和为tn 则t2n b1 b2 b3 b4 b2n 1 b2n 2n2 思路分析 1 利用 基本量 思想 建立关于a1 q的方程求解 2 利用分组求和法 13 2015广东 21 14分 数列 an 满足 a1 2a2 nan 4 n n 1 求a3的值 2 求数列 an 的前n项和tn 3 令b1 a1 bn an n 2 证明 数列 bn 的前n项和sn满足sn 2 2lnn 解析 1 当n 1时 a1 1 当n 2时 a1 2a2 2 解得a2 当n 3时 a1 2a2 3a3 解得a3 2 当n 2时 a1 2a2 n 1 an 1 nan 4 a1 2a2 n 1 an 1 4 由 得 nan 所以an n 2 经检验 a1 1也适合上式 所以an n n 所以数列 an 是以1为首项 为公比的等比数列 所以tn 2 3 证明 b1 1 bn n 2 当n 1时 s1 1 2 2ln1 当n 2时 bn an tn tn 1 tn tn 1 tn tn 1 所以sn 1 t2 1 t1 t3 t2 tn tn 1 tn 2 2 2 以下证明 lnn n 2 构造函数h x lnx 1 x 1 则h x 0 x 1 所以函数h x 在区间 1 上单调递增 即h x h 1 0 所以lnx 1 x 1 分别令x 2 得ln2 1 ln 1 ln 1 ln 1 累加得ln2 ln ln 即ln2 ln3 ln2 lnn ln n 1 所以 lnn n 2 综上 sn 2 2lnn n n 评析本题考查数列综合应用的同时 侧重考查推理与证明 14 2015湖北 18 12分 设等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 等比数列 bn 的公比为q 已知b1 a1 b2 2 q d s10 100 1 求数列 an bn 的通项公式 2 当d 1时 记cn 求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 由题意有 即解得或故或 2 由d 1 知an 2n 1 bn 2n 1 故cn 于是tn 1 tn 可得tn 2 3 故tn 6 15 2013湖北理 18 12分 已知等比数列 an 满足 a2 a3 10 a1a2a3 125 1 求数列 an 的通项公式 2 是否存在正整数m 使得 1 若存在 求m的最小值 若不存在 说明理由 解析 1 设等比数列 an 的公比为q 则由已知可得解得或故an 3n 1 或an 5 1 n 1 2 若an 3n 1 则 故是首项为 公比为的等比数列 从而 1 若an 5 1 n 1 则 1 n 1 故是首项为 公比为 1的等比数列 从而 故 1 综上 对任何正整数m 总有 1 故不存在正整数m 使得 1成立 评析本题考查等比数列及其前n项和 在处理问题中采用常规方法 注意分类讨论时不重不漏 1 2013北京理 10 5分 若等比数列 an 满足a2 a4 20 a3 a5 40 则公比q 前n项和sn c组教师专用题组 答案2 2n 1 2 解析由等比数列的性质得a3 a5 a2 a4 q 解得q 2 又 a2 a4 a1 q q3 20 a1 2 sn 2n 1 2 2 2013陕西理 17 12分 设 an 是公比为q的等比数列 1 推导 an 的前n项和公式 2 设q 1 证明数列 an 1 不是等比数列 解析 1 设 an 的前n项和为sn 当q 1时 sn a1 a1 a1 na1 当q 1时 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qsn a1q a1q2 a1qn 得 1 q sn a1 a1qn sn sn 2 假设 an 1 是等比数列 则对任意的k n ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 2ak 1 1 akak 2 ak ak 2 1 q2k 2a1qk a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1 a1qk 1 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 评析本题考查等比数列的定义及前n项和公式 考查逻辑思维能力 推理论证能力和分类讨论的思想方法 其中第 2 问采用的 正难则反 的方法是证明中常用方法之一 3 2014浙江 19 14分 已知数列 an 和 bn 满足a1a2a3 an n n 若 an 为等比数列 且a1 2 b3 6 b2 1 求an与bn 2 设cn n n 记数列 cn 的前n项和为sn i 求sn ii 求正整数k 使得对任意n n 均有sk sn 解析 1 由题意a1a2a3 an b3 b2 6 知a3 8 又由a1 2 得公比q 2 q 2舍去 所以数列 an 的通项为an 2n n n 所以 a1a2a3 an n n 1 故数列 bn 的通项为bn n n 1 n n 2 i 由 1 知cn n n 所以sn n n ii 因为c1 0 c2 0 c3 0 c4 0 当n 5时 cn 而 0 得 1 所以 当n 5时 cn 0 综上 对任意n n 恒有s4 sn 故k 4 评析本题主要考查等比数列的概念 通项公式 求和公式 不等式性质等基础知识 同时考查运算求解能力 4 2015陕西 21 12分 设fn x 是等比数列1 x x2 xn的各项和 其中x 0 n n n 2 1 证明 函数fn x fn x 2在内有且仅有一个零点 记为xn 且xn 2 设有一个与上述等比数列的首项 末项 项数分别相同的等差数列 其各项和为gn x 比较fn x 和gn x 的大小 并加以证明 解析 1 证明 fn x fn x 2 1 x x2 xn 2 则fn 1 n 1 0 fn 1 2 2 0 故fn x 在内单调递增 所以fn x 在内有且仅有一个零点xn 因为xn是fn x 的零点 所以fn xn 0 即 2 0 故xn 2 解法一 由题设知 gn x 设h x fn x gn x 1 x x2 xn x 0 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 h x 1 2x nxn 1 若0 xn 1 2xn 1 nxn 1 xn 1 xn 1 xn 1 0 若x 1 h x 0 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 用数学归纳法可以证明fn x gn x 当n 2时 f2 x g2 x 1 x 20 则h k x k k 1 xk k k 1 xk 1 k k 1 xk 1 x 1 所以当01时 h k x 0 hk x 在 1 上递增 所以hk x hk 1 0 从而gk 1 x 故fk 1 x gk 1 x 即n k 1时不等式也成立 由 和 知 对一切n 2的整数 都有fn x 0 2 k n 当x 1时 ak bk 所以fn x gn x 当x 1时 m k x nxn 1 k 1 xk 2 k 1 xk 2 xn k 1 1 而2 k n 所以k 1 0 n k 1 1 若01 xn k 1 1 m k x 0 从而mk x 在 0 1 上递减 在 1 上递增 所以mk x mk 1 0 所以当x 0且x 1时 ak bk 2 k n 又a1 b1 an 1 bn 1 故fn x gn x 综上所述 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 fn x gn x 5 2013天津理 19 14分 已知首项为的等比数列 an 不是递减数列 其前n项和为sn n n 且s3 a3 s5 a5 s4 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设tn sn n n 求数列 tn 的最大项的值与最小项的值 解析 1 设等比数列 an 的公比为q 因为s3 a3 s5 a5 s4 a4成等差数列 所以s5 a5 s3 a3 s4 a4 s5 a5 即4a5 a3 于是q2 又 an 不是递减数列且a1 所以q 故等比数列 an 的通项公式为an 1 n 1 2 由 1 得sn 1 当n为奇数时 sn随n的增大而减小 所以1sn s2 综上 对于n n 总有 sn 所以数列 tn 最大项的值为 最小项的值为 评析本题主要考查等差数列的概念 等比数列的概念 通项公式 前n项和公式 数列的基本性质等基础知识 考查分类讨论的思想 考查运算能力 分析问题和解决问题的能力 一 填空题 每题5分 共40分 1 2017盐城第三次模拟考试 11 设 an 的首项a1 1 且满足a2n 1 2a2n 1 a2n a2n 1 1 则s20 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 40分钟分值 65分 答案2056 解析因为a2n 1 2a2n 1 a2n a2n 1 1 所以a1 a3 a5 a19构成首项为1 公比为2的等比数列 a2 a1 1 a4 a3 1 a6 a5 1 a20 a19 1 因为a1 1 所以s20 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a19 a20 2 a1 a3 a5 a7 a19 10 2 10 2056 2 2017江苏南通中学高三上学期期中 设sn是等比数列 an 的前n项的和 若a3 2a6 0 则的值是 答案2 解析由a3 2a6 0可得 已知数列 an 为等比数列 q3 因此 2 3 2017南京 盐城高三第二次模拟考试 6 记公比为正数的等比数列 an 的前n项和为sn 若a1 1 s4 5s2 0 则s5的值为 答案31 解析设等比数列 an 的公比为q q 0 由s4 5s2 0可得s4 s2 4s2 所以a4 a3 4 a1 a2 所以 a1 a2 q2 4 a1 a2 又q 0 所以q 2 从而s5 31 4 2017南京高三第三次模拟考试 9 若等比数列 an 的各项均为正数 且a3 a1 2 则a5的最小值为 答案8 解析解法一 设等比数列 an 的公比为q 则q 1 a3 a1 2 a1q2 a1 2 即a1 a5 a1q4 令q2 1 t 则t 0 q2 t 1 a5 2t 4 2 4 8 当且仅当2t 即t 1时等号成立 a5的最小值为8 解法二 设公比为q 由a3 a1 2 可得a3 2 a3 2 q2 所以a5 a3q2 a3 2 4 8 当且仅当a3 2 即a3 4时 等号成立 a5的最小值为8 5 2016江苏南通 扬州 泰州调研 8 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s2 3 s4 15 则s6的值为 答案63 解析解法一 由等比数列前n项和的性质可知s2 s4 s2 s6 s4成等比数列 则 15 3 2 3 s6 15 解得s6 63 解法二 设等比数列 an 的公比为q 显然q 1 由题意得解得或所以s6 63 6 2016江苏淮安五模 12 已知 an bn 均为等比数列 其前n项和分别为sn tn 若对任意的n n 总有 则 答案9 解析由题意可知 1 不妨设a1 b1 t t 0 an bn 的公比分别为q p 易知p 1 q 1 则 7 由上述两式可解得 舍去 或所以 9 7 2015江苏常州一模 12 设等比数列 an 的公比为q 0 q 1 前n项和为sn 若a1 4a3a4 且a6与a4的等差中项为a5 则s6 答案 解析由题意知 2a5 a6 a4 从而有2a4q a4q2 a4 即2q q2 解得q 或q 舍去 由a1 4a3a4 得1 4a1q5 所以a1 8 所以s6 8 2015江苏泰州二模 8 等比数列 an 中 已知a3 4 a7 2a5 32 0 则a7 答案64 解析设公比为q 由a7 2a5 32 0 得a3q4 2a3q2 32 0 即q4 2q2 8 0 解得q2 4或q2 2 舍去 所以a7 a3q4 64 二 解答题 共25分 9 2017苏州高三上学期期中 已知等比数列 an 的公比q 1 a2 a3 a4 28 且a3 2是a2 a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn anan sn b1 b2 bn 求使sn n 2n 1 62成立的正整数n的最小值 解析 1 a3 2是a2 a4的等差中项 2 a3 2 a2 a4 代入a2 a3 a4 28 可得a3 8 a2 a4 20 解之得或 q 1 数列 an 的通项公式为an 2n 2 bn anan 2nlo2n n 2n sn 1 2 2 22 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 得sn 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 sn n 2n 1 62 2n 1 2 62 n 1 6 n 5 使sn n 2n 1 62成立的正整数n的最小值为6 10 2016江苏南通一模 20 若数列 an 中存在三项 按一定次序排列后可构成等比数列 则称数列 an 为 等比源数列 1 已知数列 an 中 a1 2 an 1 2an 1 求数列 an 的通项公式 试判断数列 an 是否为 等比源数列 并证明你的结论 2 已知数列 an 为等差数列 且a1 0 an z n n 求证 an 为 等比源数列 解析 1 由an 1 2an 1 得an 1 1 2 an 1 又因为a1 1 1 所以数列 an 1 是首项为1 公比为2的等比数列 所以an 1 2n 1 所以 数列 an 的通项公式为an 2n 1 1 数列 an 不是 等比源数列 用反证法证明如下 假设数列 an 是 等比源数列 则存在三项am an ak m n k 按一定次序排列后可构成等比数列 因为an 2n 1 1 所以0 am an ak 所以 am ak 即 2n 1 1 2 2m 1 1 2k 1 1 亦即22n m 1 2n m 1 2k 1 2k m 1 又m n k m n k n 所以2n m 1 1 n m 1 1 k 1 1 k m 1 所以22n m 1 2n m 1 2k 1 2k m为偶数 与22n m 1 2n m 1 2k 1 2k m 1矛盾 所以 数列 an 中不存在任何三项 按一定次序排列后可构成等比数列 数列 an 不是 等比源数列 2 证明 当d 0时 等差数列 an 为非零常数列 数列 an 为 等比源数列 当d 0时 因为an z 则d 1 且d z 所以数列 an 中必有一项am 0 为了使得 an 为 等比源数列 只需要 an 中存在第n项 第k项 m n k 使得 amak成立 即 am n m d 2 am am k m d 亦即 n m 2am n m d am k m 成立 当n am m k 2am n m d m时 上式成立 所以 an 中存在am an ak成等比数列 同理可得 当d 0时 an 中存在am an ak成等比数列 所以 数列 an 为 等比源数列 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017如东 前黄 栟茶 马塘四校联考 8 已知等差数列 cn 的首项为c1 1 若 2cn 3 为等比数列 则c2017 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 30分钟分值 45分 答案1 解析由 cn 为等差数列可以得出 2cn 3 也为等差数列 又 2cn 3 为等比数列 所以 2cn 3 为常数列 从而2c2017 3 2c1 3 故c2017 c1 1 思路分析由 cn 为等差数列可以得出 2cn 3 也为等差数列 又 2cn 3 为等比数列 所以 2cn 3 为常数列 进而求出c2017的值 2 2017扬州高三上学期期末 在正项等比数列 an 中 若a4 a3 2a2 2a1 6 则a5 a6的最小值为 答案48 解析设等比数列 an 的公比为q 由a4 a3 2a2 2a1 6 可得q2 a2 a1 2 a2 a1 6 从而a1 a2 q2 2 0 a5 a6 a1 a2 q4 6 q2 2 6 q2 2 24 2 24 48 当且仅当6 q2 2 即q 2时等号成立 故a5 a6的最小值为48 3 2016江苏苏北四市调研 11 若等比数列 an 满足log2 a1a2 a13 13 等差数列 bn 满足b7 a7 则b1 b2 b13的值为 答案26 解析由等比数列 an 满足log2 a1a2 a13 13得 a1a2 a13 213 a7 2 等比数列 bn 满足b7 a7 b1 b2 b13 13b7 13 2 26 4 2015江苏无锡期末 12 已知数列 an 的首项a1 1 前n项和为sn 且满足2an 1 sn 2 n n 则满足 的n的最大值为 答案9 解析由2an 1 sn 2 得2an sn 1 2 n 2 两式相减得 当n 2时 2an 1 an 即 又因为n 1时 a1 1 2a2 a1 2 所以a2 所以 符合 式 故 an 是以1为首项 为公比的等比数列 故sn 2 n n 由条件 可得 即10 2n 1000 所以n的最大值为9 二 解答题 共25分 5 2017南通 泰州高三第一次调研测试 20 已知等差数列 an 的公差d不为0 且 成等比数列 k12kn恒成立 求a1的取值范围 解析 1 由已知可得a1 a3 a8成等比数列 所以 a1 2d 2 a1 a1 7d 整理可得4d2 3a1d 因为d 0 所以 2 设数列 kn 为等比数列 则 k1k3 又因为 成等比数列 所以 a1 k1 1 d a1 k3 1 d a1 k2 1 d 2 整理 得a1 2k2 k1 k3 d k1k3 k1 k3 2k2 因为 k1k3 所以a1 2k2 k1 k3 d 2k2 k1 k3 因为2k2 k1 k3 所以a1 d 即 1