数列求和综合训练.doc

（新课标）2016届高三数学一轮复习 第5篇 第4节 数列求和及综合应用课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号公式法、分组法求和1、6、7、11并项法求和2、5裂项相消法求和8、12错位相减法求和4、15、16数列的综合问题3、10、13、15、16数列的实际应用9、14基础过关一、选择题1.数列1+2n-1的前n项和为(C)(A)1+2n(B)2+2n(C)n+2n-1(D)n+2+2n解析:由题意令an=1+2n-1,所以Sn=n+1-2n1-2=n+2n-1,故选C.2.已知函数f(n)=n2(n为奇数),-n2(n为偶数),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于(B)(A)-100(B)100(C)-1020(D)1020解析:当n为奇数时,an=n2-(n+1)2=-(2n+1).当n为偶数时,an=-n2+(n+1)2=2n+1.a1+a2+a3+a100=-3+5-7+9-199+201=(-3+5)+(-7+9)+(-199+201)=250=100.3.已知幂函数f(x)=x的图象过点(4,2),令an=f(n+1)+f(n),nN*,记数列1an的前n项和为Sn,则Sn=10时,n的值是(B)(A)10(B)120(C)130(D)140解析:幂函数f(x)=x过点(4,2),4=2,=12,f(x)=x12,an=f(n+1)+f(n)=n+1+n,1an=1n+1+n=n+1-n.Sn=(2-1)+(3-2)+(n+1-n)=n+1-1.又Sn=10,n+1-1=10,n=120.故选B.4.Sn=12+12+38+n2n等于(B)(A)2n-n2n(B)2n+1-n-22n(C)2n-n+12n+1(D)2n+1-n+22n解析:由Sn=12+222+323+n2n, 得12Sn=122+223+n-12n+n2n+1, -得,12Sn=12+122+123+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1,Sn=2n+1-n-22n.5.数列an的通项an=sin n3,前n项和为Sn,则S2015等于(B)(A)12(B)0(C)1(D)-12解析:由an=sin n3,知数列an是以6为周期的数列,且a1+a2+a6=0,则S2015=(a1+a2+a6)+(a2005+a2010)+a2011+a2015=a1+a2+a5=0.故选B.6.数列1,1+2,1+2+4,1+2+22+2n-1,的前n项和Sn1020,那么n的最小值是(D)(A)7(B)8(C)9(D)10解析:an=1+2+22+2n-1=2n-1.Sn=(21-1)+(22-1)+(2n-1)=(21+22+2n)-n=2n+1-n-2.S9=10131020.Sn1020,n的最小值是10.二、填空题7.数列32,94,258,6516,n2n+12n的前n项和为.解析:由于an=n2n+12n=n+12n,前n项和Sn=1+121+2+122+3+123+n+12n=(1+2+3+n)+（12+122+123+12n）=(n+1)n2+121-12n1-12=n(n+1)2-12n+1.答案:n(n+1)2-12n+18.若已知数列的前四项是112+2、122+4、132+6、142+8,则该数列的前n项和为.解析:因为通项an=1n2+2n=121n-1n+2,所以此数列的前n项和Sn=12（1-13）+（12-14）+（13-15）+（1n-1-1n+1）+（1n-1n+2）=121+12-1n+1-1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2).答案:34-2n+32(n+1)(n+2)9.(2013高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于.解析:本题是等比数列前n项和的实际应用题,设每天植树的棵数组成的数列为an,由题意可知它是等比数列,且首项为2,公比为2,所以由题意可得2(1-2n)1-2100,即2n51,而25=32,26=64,nN*,所以n6.答案:610.(2014广东揭阳模拟)对于每一个正整数n,设曲线y=xn+1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99=.解析:对y=xn+1求导得y=(n+1)xn,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=nn+1,则an=lg xn=lg nn+1,所以a1+a2+a99=lg(122399100)=lg 1100=-2.答案:-2三、解答题11.(2014四川成都石室中学模拟)设an是公差大于零的等差数列,已知a1=2,a3=a22-10.(1)求an的通项公式;(2)设bn是以函数y=4sin2x的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列an-bn的前n项和Sn.解:(1)设an的公差为d,且d0,则a1=2,a1+2d=(a1+d)2-10.解得d=2.所以an=2+(n-1)2=2n.(2)y=4sin2x=41-cos2x2=-2cos 2x+2其最小正周期为22=1,故bn首项为1;因为公比为3,从而bn=3n-1.所以an-bn=2n-3n-1.故Sn=(2-30)+(4-31)+(2n-3n-1)=(2+2n)n2-1-3n1-3=n2+n+12-123n.12.(2013高考新课标全国卷)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和.解:(1)设数列an的公差为d,由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-5.解得a1=1,d=-1.故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=12(12n-3-12n-1),从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为12(1-1-11+11-13+12n-3-12n-1)=n1-2n.能力提升13.(2014山东菏泽模拟)数列an的通项公式为an=1n(n+1),其前n项和为910,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为(B)(A)-10(B)-9(C)10(D)9解析:an=1n(n+1)=1n-1n+1,Sn=(1-12)+（12-13）+（1n-1n+1）=1-1n+1=nn+1,由nn+1=910得n=9,直线方程为10x+y+9=0,其在y轴上的截距为-9.14.某林场年初有森林木材存量S m3,木材以每年25%的增长率生长,而每年年末要砍伐固定的木材量为x m3,为实现经过两次砍伐后的木材存量增加50%,则x的值为(C)(A)S32(B)S34(C)S36(D)S38解析:第一次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x=（54S-x）m3;第二次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x(1+25%)-x=（54）2S-54x-xm3,所以(54)2S-54x-x=S(1+50%),解得x=S36.15.(2014陕西商洛一模)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=12.(1)当nN*时,求f(n)的表达式;(2)设an=nf(n),nN*,求证:a1+a2+a3+an2;(3)设bn=(9-n)f(n+1)f(n),nN*,Sn为bn的前n项和,当Sn最大时,求n的值.(1)解:令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)f(1)=12f(n),f(n)是首项为12,公比为12的等比数列,f(n)=(12)n.(2)证明:设Tn为an的前n项和,an=nf(n)=n(12)n,Tn=12+2(12)2+3(12)3+n(12)n,12Tn=(12)2+2(12)3+3(12)4+(n-1)(12)n+n(12)n+1,两式相减得12Tn=12+(12)2+(12)n-n(12)n+1,Tn=2-(12)n-1-n（12）n0;当n=9时,bn=0;当n9时,bn0.当n=8或9时,Sn取得最大值.探究创新16.(2014高考四川卷)设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(nN*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列an的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-1ln2,求数列anbn的前n项和Tn.解:(1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=42a7=2a7+2,则a8=a7+2,解得d=a8-a7=2.所以,Sn=na1+n(n-1)2d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)由f(x)=2x,f(x)=2xln 2,过点(a2,b2),即(a2,2a2),斜率为 2a2ln 2,则函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln