高中数学 1.7 3定积分及其应用教案 新人教A版选修22.doc

2013年高中数学 1.7 3定积分及其应用教案 新人教a版选修2-2定积分是积分学中另一个重要概念，是积分学的重要内容，定积分的概念及计算在自然科学和各种实际问题中都有广泛的应用，本章通过两个典型的问题抽象出定积分的概念，然后讨论定积分的性质，揭示定积分与不定积分之间的内在联系，最后简单介绍定积分在几何与力学等方面的应用第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例我们先从两个例子谈起1曲边梯形的面积设函数在区间上非负且连续，由直线、轴和曲线及曲线所围成的图形称为曲边梯形（图5-1），其中曲线称为曲边 图5-1 图5-2 下面我们讨论曲边梯形面积的求法 我们知道，矩形的高是不变的，它的面积很容易计算而曲边梯形的高没有定义，因此它的面积我们没有现成的计算方法如果我们将上任一点处的函数值看作为曲边梯形在处的高，则曲边梯形的高是变化的但因是区间上的连续函数，所以在一个相当小的区间上，的值变化不大因此，如果把区间划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点处的值来定义同一个小区间上的窄曲边梯形的高，那么每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，我们就将所有这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值（图5-2）直观上看，这样的区间越短，这种近似的程度就越高，若把区间无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：（1）将区间划分为个小区间，即在区间内任意插入个分点：，这个小区间分别为，其长度依次记为（2）过每个分点作垂直于轴的直线段，把整个曲边梯形分成个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为，在每个小区间上任取一点，用以为底、为高的窄矩形近似代替第个小曲边梯形，则，这样得到的个小矩形面积之和显然是所求曲边梯形面积的近似值，即（3）记，则当时，每个小区间的长度也趋于零此时和式的极限便是所求曲边梯形面积的精确值即2变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知其速度是时间的连续函数，即，计算在时间间隔内物体所经过的路程因为物体作变速直线运动，速度随时间而不断变化，故不能用匀速直线运动公式：来计算，然而物体运动的速度函数是连续变化的，在很小的一段时间内，速度的变化很小，近似于等速，在这一小段时间内，速度可以看作是常数，因此求在时间间隔上运动的距离也可用类似于计算曲边梯形面积的方法来处理具体步骤如下：（）在时间间隔中任意插入个分点，这个分点将区间分成个小区间，它们的长度依次为，相应地，记在各段时间内物体经过的路程依次为（2）将物体在每个小区间上的运动看作是匀速的，在时间间隔上任取一个时刻，以时刻的速度来代替上各个时刻的速度，得到时间段上路程的近似值，即，那么这段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程的近似值，即，（3）记，则当时，每个小区间的长度也趋于零此时和式的极限便是所求路程的精确值即.上面的两个例子中，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在数量上，都是要求某个整体的量，而计算这种量所遇到的困难和为克服困难采用的方法都是类似的，都是先把整体问题通过“分割”化为局部问题，在局部上通过“以直代曲”或“以不变代变”作近似代替，由此得到整体的一个近似值，再通过取极限，便得到所求的量这个方法的过程我们可简单描述为“分割代替求和取极限”采用这种方法解决问题时，最后都归结为对某一个函数实施相同结构的数学运算和数的极限事实上，在自然科学和工程技术中，还有许多类似问题的解决都要归结为计算这种特定和的极限，抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，抽象出其中的数学概念和思想，我们就得到了定积分的定义二、定积分的定义定义设函数在区间上有界，在中任意插入个分点，把区间分成个小区间，各个小区间的长度依次为在第个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和式 （1） 记，如果不论对进行怎样的分法，也不论在小区间上的点怎样的取法，只要当时，和（1）总趋于确定的极限，这时我们称此极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即 （）其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间，和通常称为的积分和如果函数在区间上的定积分存在，我们也称在上可积注意当的极限存在时，其极限仅与被积函数及积分区间有关，如果既不改变被积函数也不改变积分区间，不论把积分变量改成其它任何字母，如或，此和的极限都不会改变，即定积分的值不变就是这个结果也说成是定积分的值与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关下面我们给出两个函数在区间上可积的充分条件定理设在区间上连续，则在区间上可积定理设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积利用定积分的定义，上面讨论的两个实际问题可分别表示如下：曲边梯形的面积是函数在区间上的定积分，即变速直线运动的路程是速度在时间间隔上的定积分，即三、定积分的几何意义（1）当时，定积分表示由直线、轴和曲线所围成的曲边梯形的面积；（2）当时，由直线、轴和曲线所围成的曲边梯形位于轴的下方，按照定义，这时定积分的值应为负，因此 表示上述曲边梯形面积的负值；（3）若在区间上，既取得正值又取得负值时，对应的曲边梯形的某些部分在轴的上方，某些部分在轴的下方，这时定积分表示由直线、轴和曲线围成的曲边梯形各部分面积的代数和，即曲边梯形位于 轴上方的面积减去位于轴下方的面积（图5-3） 图5-3例利用定义求定积分的值解为了便于计算，我们把区间分成等分，其分点为，这样每个小区间的长度；取为小区间的右端点，即令，于是有和式，当时，有，对上式右端取极限，根据定积分的定义，有四、定积分的性质根据定积分的定义，只有当时才有意义，当或时，是没有意义的，但为了运算的需要，我们对定积分作以下两点补充规定：（1）当时，；即（2）当时，即当上下限相同时，定积分等于零；上下限互换时，定积分改变符号以下假定各性质所列出的定积分都是存在的性质两个函数和或差的定积分等于两个函数定积分的和或差，即证由定积分的定义，有 该性质对任意有限个函数的和与差的情形都是成立的性质被积函数的常数因子可提到积分号外面，即（为常数）读者可自己证明性质（积分的可加性）设为任意的三个数，则函数在区间上的定积分有如下关系： 证 当时，因为函数在上可积，所以无论对怎样划分，和式的极限总是不变的，因此在划分区间时，可以使永远是一个分点，那么上的积分和等于上的积分和加上上的积分和，即令，上式两端取极限得同理，当时，移项得 即 性质如果在区间上，则读者自己证明性质如果在区间上，则证因为，所以，又由于，因此，令，则推论如果在区间上，则性质设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则证 因为，由性质5的推论，得所以 性质（定积分中值定理） 如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使下式成立：，这个公式也叫做积分中值公式证因为在上连续，所以它有最小值与最大值，由性质6有，各项都除以，得 这表明，是介于函数的最大值与最小值之间的数，根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得，即性质的几何意义是：如果，那么以为曲边，以为底的曲边梯形的面积等于以上某一点的函数值为高，以为底的矩形的面积人们称 为函数在区间上的平均值（图5-4） 图5-4第二节微积分基本定理在第一节中，我们举了一个利用定义来计算定积分的例子，从中可以看出，就是对于比较简单的函数，从定义出发计算定积分也是比较麻烦的，而当被积函数比较复杂时计算更为困难，有时甚至是不可能的因此寻求一种较为简单的计算定积分的方法是非常重要和有意义的定积分与实际问题是紧密相连的，为此我们先从具体实例入手探求定积分计算的思路和方法一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系从第一节的引例中我们知道，如果变速直线运动的速度函数为已知，我们可以利用定积分来表示它在时间间隔内所经过的路程，即另一方面，若已知物体运动方程，则它在时间间隔内所经过的路程为由此可见，位置函数与速度函数之间有如下关系，因为，即位置函数是速度函数的原函数，所以上式表明：速度函数在区间上的定积分等于的原函数在区间上的增量撇开上述问题的具体意义，抽象出所得到的定积分与被积函数原函数之间的关系，我们就得到了在数学上普遍适用的定积分的计算方法，这就是我们将要学习的牛顿莱布尼茨公式二、可变上限的定积分设函数在闭区间上连续，为上的一点，那么在区间上可积分，且有积分与之对应，显然这个积分值是随着而变化的因此是上限的函数，我们称之为可变上限的定积分或积分上限的函数，记作，即（）积分变量与积分上限用同一字母表示容易造成理解上的误会，因为积分值与积分变量的符号无关，所以我们用代替积分变量，于是，上式可写成可变上限积分的几何意义是：若函数在区间上连续且，则积分上限函数就是在上曲线下的曲边梯形的面积（图5-5）可变上限积分具有如下性质：定理若函数在区间上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且它的导数为 证设给以增量（），则在处的函数值为 ，由此得函数的增量 图5-5再应用积分中值定理，有，其中在与之间，用除上式两端，得由于在区间上连续，而时，即，因此，从而令，对上式两端取极限，便得，定理得证 该定理告诉我们：如果在上连续，则它的原函数一定存在，并且它的一个原函数可以表示成为这个定理的重要意义一是肯定了连续函数的原函数一定存在，二是初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系，因此我们就有可能通过原函数来计算定积分三、牛顿莱布尼茨公式定理2如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则证由定理知，是在上的一个原函数，由题设知也是在上的一个原函数，因为两个原函数只差一个常数，所以，在上式中令，并注意到，得，代入上式，得，再令，并把积分变量换为，便得定理2中的公式叫做牛顿莱布尼茨公式，它揭示了定积分与不定积分之间的内在联系，是计算定积分的基本公式，也称作微积分基本公式为了方便起见，以后把记为或，于是该公式也可以或根据定理2，我们有如下结论：连续函数的定积分等于被积函数的任一个原函数在积分区间上的增量从而把求连续函数的定积分问题转化为求不定积分的问题例计算 解由于是的一个原函数，所以例2计算 解 例计算 解当时，的一个原函数是，现在积分区间是，所以有图5-6例计算正弦曲线在上与轴所围的平面图形的面积（图5-6）解该图形也可看成是一个曲边梯形，其面积为 由于是的一个原函数，所以 注意牛顿莱布尼茨公式适用的条件是被积函数连续，如果对有间断点的函数的积分用此公式就会出现错误，即使连续但是分段函数，其定积分也不能直接利用牛顿莱布尼茨公式，而应当依的不同表达式按段分成几个积分之和，再分别利用牛顿莱布尼茨公式计算例设 ，求的值解这里被积函数是分段函数，我们须将积分区间分成与此相对应的区间，因此有例求 解由定积分的补充定义，易知所求的极限式是一个型的未定式，我们应用洛比达法则来计算，先求分子函数的导数，有因此第三节定积分的计算由牛顿莱布尼茨公式，定积分的计算问题可以转化为计算被积函数的原函数增量的问题，而原函数的求法我们在上一章中已经得到了很好的解决，所以我们可以利用已知的方法求出原函数，然后再代入积分上下限，从而求得所要求的积分从这个意义上讲，定积分的计算问题基本上解决了但是为了定积分的计算更简洁明快，我们还是将定积分的计算方法列出与不定积分的换元积分法和分部积分法相对应的是定积分的换元积分法和分部积分法一定积分的换元积分法定理设函数在区间上连续，函数满足（1）在区间上单值且具有连续导数；（2） 当在上变化时，的值在上变化，且有，则有 （） 证首先，根据定理的条件，公式（）两端的定积分都是存在的设是的一个原函数，因此有由复合函数的求导公式知，是的一个原函数，所以因此有公式（1）称为换元积分公式应用换元公式（1）时，我们应注意两点：第一，用把原来变量代换成新变量时，积分限也要换成相对于的积分限，即“换元必换限”；第二，求出右端被积函数的一个原函数后，不必再把换成原来变量的函数，只要把新变量的积分上下限代入，然后相减即可例1计算 解法1 不使用换元积分公式计算先求不定积分设，则，于是有根据牛顿莱布尼茨公式，有解法2使用换元积分法计算设，则，且当时，；当时，于是有例2 求 解 设，则，且当时，；当时，又，于是有例3计算 解设，则，当时，；当时，于是例4计算 解设，则，且当时，当时，于是此例中，如果我们不明显地写出新变量，那么定积分的上下限就不要变化，现在用这种方法计算如下：例5设在区间上连续，证明：（） 如果是上的奇函数，则；（） 如果是上的偶函数，则证 因为，对其右边第一个积分作代换，则于是 （）如果是奇函数，那么，即（）如果是偶函数，那么，即利用此结论，可简化一些对称区间上的定积分的计算，如，例6 证明 ；证 作变换，则，当时，； 时，于是有二、定积分的分部积分法定理若、在上有连续导数、，则 （2）或 （3）证由乘积的导数公式有,等式两边分别求在上的定积分，并注意到有移项就得，写成微分形式就是 证毕例7计算 解设，则，由分部积分公式有时分部积分法和定积分的换元积分还可结合使用例8计算 解先用换元法，令，则，且当时， 时，于是有 再用分部积分法计算上式右端的积分，设，则，于是因此例9 求为大于1的正整数）解 即 移项，得这个公式叫做积分关于下标的递推公式由于，所以有第四节 定积分的近似计算在前面的讨论中我们知道，计算定积分需要求出被积函数的原函数，而确实存在这样的函数，它的原函数不能表现成有限形式.另外，也有函数是由图形或图表给出的情形，这些函数的定积分显然难以应用牛顿莱布尼茨公式，本节介绍的近似计算方法可以很好地解决这些问题.因为的几何意义是由直线、轴和所围成的曲边梯形的面积，因此，只要设法求出这个曲边梯形的面积，就解决了定积分的计算问题.下面的讨论就从这个想法入手.常用的近似计算方法包括矩形法、梯形法和抛物线法，我们这里只介绍前两种.一、矩形法矩形法就是将曲边梯形分割成若干个小的窄曲边梯形，将每一个小的窄曲边梯形用小的窄矩形去近似，通过求这些小的窄矩形面积得到定积分的近似值（图5-7）.矩形法的具体步骤如下：（1）用分点将区间划分成等份，每个小区间的长度为 （2）用表示函数在分点处的函数值. （3）如果取每一个小区间左端点的函数值作为小窄矩形的高，则有近似计算公式：. （1）如果取每一个小区间的右端点作为小窄矩形的高，则有近似计算公式：. （2）运用以上近似公式时，显然是分的越细越好. 图5-7 图5-8二、 梯形法梯形法就是用梯形去近似地代替小窄曲边梯形（图5-8），从而得到近似计算公式的方法.梯形法的计算公式为：. （3）例 河床的横断面如图5-9所示，设河宽10米，每隔一米测出河深，为了计算最大排水量，需要计算它的横截面积，试根据表中所给出的测试数据，用两种方法计算横断面的面积. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1.0 1.2 1.4 1.7 2.0 1.9 1.7 1.5 1.3 0图5-9解 从所给数据知道，区间被分成了10等分，每等分长为， （1）矩形法：由公式（1），有在本例中，显然用公式（2）与此结果相同. （2）梯形法：由公式（3） . 第五节定积分的应用在引入定积分的概念时，我们曾举过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程两个例子，其实在几何上、物理上类似的问题很多，它们都可归结为求某个事物的总量的问题，解决这类问题的思想是定积分的思想，采用的方法就是微元法（也称元素法），以下介绍这种方法.一、定积分的微元法在利用定积分解决实际问题时，经常采用所谓的微元法，实际上，定积分的定义中就体现了这种方法.设总量是与自变量、函数相关的量，其计算步骤如下：（） 将所求量在对应区间上分割为部分量之和.用一组分点把区间分成个小区间，整体量相应地被分为个部分量，而.（）计算部分量的近似值.在第个小区间上，求出部分量的近似表达式.（）求和，得到的近似值 （）取极限 上述四个步骤中，第二步是将表达成定积分的关键，有了这一步，定积分的被积表达式实际上已经被找到.用以上思想方法解决实际问题，就是所谓的微元法或元素法利用微元法的步骤为：（） 根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间；（）把区间分成个小区间，任取其中的一个小区间，求出相应于此小区间的部分量的近似值，如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的微元，记作，即；（）以所求量的微元为被积表达式，在上作定积分，得这就是所求量的积分表达式.下面我们用微元法来解决一些实际问题.二、平面图形的面积直角坐标情形在求曲边梯形的面积时，我们知道由直线、轴和所围成的曲边梯形的面积是，其中被积表达式就是直角坐标系下的面积元素.此方法可以推广，如果一个平面图形由连续曲线、及直线、所围成，并且在上（如图5-10），那么此图形的面积为 图5-11图5-10 例计算由两条曲线和围成的图形的面积.解两条曲线围成的图形如图5-11所示，为了具体定出定积分的上下限，先求出这两条曲线的交点和，从而所求面积的图形在和之间.取横坐标为积分变量，其变化区间为，取上的任一小区间，在这小区间上窄条的面积近似于高为、底为的窄矩形的面积，从而得到面积的近似表达式为这就是面积微元，以为被积表达式，在上作定积分，便得所求面积为由于曲线在曲线的上方，所以由公式图5-12也可直接求得该图形的面积.例2 计算抛物线与直线所围成的图形的面积.解 这个图形如图5-12所示为了定出这图形所在范围，先求出所给抛物线和直线的交点解方程组 得交点和(8，4)，从而知道这图形在直线及之间. 现在，选取纵坐标为积分变量，它的变化区间为(读者可以思考一下，取横坐标为积分变量，有什么不方便的地方)相应于上任小区间的窄条面积近似于高为、底为的窄矩形的面积，从而得到面积元素以为被积表达式，在闭区间作定积分，便得所求的面积为图5-13= = 18.例求椭圆的面积.解如图5-13所示，因为椭圆关于两个坐标轴都是对称的，所以它的面积为,利用圆的参数方程 应用定积分换元法，令,，则，当由变到时，由变到，所以一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程给出时，如果满足，在（或）上具有连续导数，连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，曲边梯形的面积为极坐标的情形有些平面图形的边界曲线用极坐标表示比较简单，下面推导极坐标系下的面积计算公式.设曲线方程为，在区间上连续，且，我们称由、围成的图形为曲边扇形，如图5-14所示，下面用微元法来计算曲边扇形的面积.取为积分变量，的变化区间为，相应于任一小区间的窄曲边扇形的面积可用半径为、中心角为的圆扇形的面积来近似代替，从而得到这窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素为，以为被积表达式，在闭区间上作定积分，便得所求曲边扇形的面积为 图5-14 图5-15例求心脏线所围成图形的面积.解心脏线所围成的图形如图5-15所示，该图形对称于极轴，因此所围成的面积是极轴以上部分面积的两倍.对于极轴以上的图形，的变化区间为，相应于上任一小区间的窄曲边扇形的面积近似于半径为、中心角为的圆扇形的面积，从而得到面积元素为，于是例求双纽线所围成的平面图形的面积.图5-16解该曲线围成的图形如图5-16所示.因为，所以的变化区间为、，又由于图形关于两个坐标轴对称，故只考虑第 一象限的面积，于是全部图形的面积为 图5-16三、体积1平行截面面积为已知的立体体积设有一立体，如图5-17，其垂直于轴的截面的面积是已知的连续函数，且立体位于、两点处垂直于轴的两个平面之间，求此立体的体积.取为积分变量，其变化区间为，相应于上任一小区间的小薄片的体积近似等于底面积为、高为的扁柱体的体积，从而得到所求的体积元素为，于是所求立体的体积为. 图5-17 图5-18例一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图5-18），计算此平面截圆柱体所得立体的体积.解取此平面与圆柱体的底面的交线为轴，底面上经过圆中心且垂直于轴的直线为轴，那么底圆的方程为，立体中经过点的截面是一个直角三角形，它的两条直角边的长分别为和，即及，因而截面面积为，体积微元为，于是所求体积为2旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕着平面内的一条直线旋转一周而形成的立体，此直线叫做旋转轴.现在我们来计算由连续曲线、轴及直线、所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积（图5-19）. 图5-19 图5-20显然这是上述第一种立体的特殊情形，因为旋转体在任一点处垂直于轴的截面面积为，于是由公式得到 类似地，由平面曲线、轴及直线、所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为例将抛物线，轴及直线、所围成的平面图形绕轴旋转一周，求所形成的旋转体的体积.解根据公式得例计算由所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积（图5-20）.解此椭球体可看作是由半个椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转而成的立体，由公式可得所求体积为.当时，旋转椭球体就变成为半径为的球体，它的体积为.四、平面曲线的弧长1直角坐标情形设曲线弧由方程给出，其中在具有一阶导数，现在计算该曲线弧的长度（图5-21）.取横坐标为积分变量，它的变化区间为，曲线上相应于上的任一小区间的一段弧的长度，可以用该曲线在处的切线上相应的一小段的长度来近似代替，而切线上这小段的长度为，从而得到弧长元素（即弧微分）为以为被积表达式，在闭区间上作定积分，便得所求的弧长公式为 图5-21 图5-22例计算曲线上相应于从到的一段弧的长度（图5-22）.解因，从而弧长元素因此，所求弧长为2参数方程情形设曲线的参数方程为，其中、在上具有连续导数，现在来计算此段曲线弧的长度.取参数为积分变量，它的变化区间为，相应于上任一小区间的小弧段的长度的近似值（弧微分）即弧长元素为，于是所求弧长为例10计算摆线（图5-23）的一拱（）的长度.解由公式知，所求弧长为 图5-23 极坐标情形 若曲线由极坐标方程（）给出，由直角坐标与极坐标之间的关系、，有、，从而所求弧长为例11 求阿基米德螺线相应于从到图5-24一段的弧长（如图5-24）.解弧长元素为 图5-24，于是所求弧长.五、变力作功由物理学可知，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力作用在这物体上，且力的方向与物体运动的方向一致，那么当物体移动了距离时，力对物体所作的功为，如果物体在运动过程中所受到的作用力是变化的，那么就不能简单地按此公式来求，因为这也是一个求总量的问题，它满足微元法应用的条件，因此我们用微元法来计算变力对物体所作的功.设物体在力的作用下沿直线运动，力的方向与物