在课堂教学中如何渗透数学思想方法(南京市教育科学研究所 何炳均) (2).ppt

在课堂教学中如何渗透数学思想方法 南京市教育科学研究所何炳均 课程标准 指出 要让不同的人在数学上得到不同的发展 其中最重要的就是学生数学思想方法的形成与发展 作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了 唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神 数学的思想 研究方法和着眼点等 这些都随时随地发生作用 使他们终生受益 日本数学家米山国藏语 所谓数学思想 是指人们对数学理论与内容的本质认识 是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括 它直接支配着数学的实践活动 属于对数学规律的理性认识的范畴 所谓数学方法 是指某一数学活动过程的途径 程序 手段 它具有过程性 层次性和可操作性等特点 一 对概念的理解 数学思想是数学方法的灵魂 数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段 同一数学成果 当用它去解决别的问题时 则称为方法 当论及它在数学体系中的价值和意义时 则称之为思想 二 数学教学应渗透的思想方法 中学数学中的主要思想 1 分类讨论思想 2 数形结合思想 3 函数与方程思想 4 化归与转化思想 1 分类讨论思想分类讨论是根据教学对象的本质属性将其划分为不同种类 即根据教学对象的共同性与差异性 把具有相同属性的归入一类 把具有不同属性的归入另一类 分类是数学发现的重要手段 在教学中 如果对学过的知识恰当地进行分类 就可以使大量纷繁的知识具有条理性 由数学概念引起的分类讨论 2 由数学定理 性质 公式的限制条件引起的分类讨论 3 由图形的位置和大小的不确定性而引起的分类讨论 4 由数学式子的变形所需要的限制条件引起的分类讨论 5 对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的分类讨论 等等 对分类讨论思想的考查 是有没有分类的意识 遇到应该分类的情况 是否想到要分类 有哪些情况需要分类呢 例1若函数y mx2 2x 1的图象与x轴只有一个公共点 则常数m的值是 0或1 例2如图 在Rt ABC中 BAC 90 AB AC 2 点D在BC上运动 不能到点B C 过D作 ADE 45 DE交AC于E 求证 ABD DCE 设BD x AE y 求y关于x的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 当 ADE为等腰三角形时 求AE的长 例3已知一次函数与x轴 y轴分别交于A B两点 点C在x轴上 且 ACB 120 求BC的关系式 以点P为一个顶点的三角形与 ABC相似 且与 ABC有一个公共角和一条公共边 求点P的坐标 2 数形结合思想华罗庚先生说过 数与形是两依倚 焉能分作两边飞 数缺形时少直观 形少数时难入微 切莫忘 几何代数统一体 永远联系 切莫分离 一般地 人们把代数称为 数 而把几何称为 形 数与形表面看是相互独立 其实在一定条件下它们可以相互转化 数量问题可以转化为图形问题 图形问题也可以转化为数量问题 例1 已知关于x的不等式组的整数解共有2个 则的a取值范围是 1 a 0 例2 如图 C为线段BD上一动点 分别过点B D作AB BD ED BD 连接AC EC 已知AB 5 DE 1 BD 8 设CD x 1 用含x的代数式表示AC CE的长 2 请问点C满足什么条件时 AC CE的值最小 3 根据 2 中的规律和结论 请构图求出代数式的最小值 最小值是13 例3 已知3x 4y 12 且x y 求使M x y x2 y2 12x 2y 37取得最大值与最小值的点 约束条件 3x 4y 12 且x y 所表示的图形是线段AB x的取值范围是 M x y x 6 2 y 1 2 设P x y 是线段AB上的动点 Q 6 1 为定点 M x y 为动点P与定点Q之间距离的平方 从图上可以看出A B 分别是使M x y 取得最大值和最小值的点 3 函数与方程思想就是用函数的观点 方法研究问题 将非函数问题转化为函数问题 通过对函数的研究 使问题得以解决 通常是这样进行的 将问题转化为函数问题 建立函数关系 研究这个函数 得出相应的结论 中学数学中 方程 数列 不等式等问题都可利用函数思想得以简解 几何量的变化问题也可以通过对函数值域的考察加以解决 例1 如图 等腰梯形ABCD中 对角线DB平分 ADC 下底AB比周长小a 梯形的中位线EF b 求上底CD 解 易证AB AD BC AB CD 2EF 因此 设CD x AB y 则 方程思想的实质就是数学建模 解应用题是方程思想应用的最突出体现 方程思想的实质就是数学建模 解应用题是方程思想应用的最突出体现 例2 如图 有长为24m的篱笆 一面利用墙 墙的最大可用长度a为10m 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽AB为xm 面积为Sm2 1 求S与x的函数关系式 2 如果要围成面积为45m2的花圃 AB的长是多少米 3 能围成面积比45m2更大的花圃吗 如果能 请求出最大面积 并说明围法 如果不能 请说明理由 例3 全国高考题 如果实数x y满足 x 2 2 y2 3 那么的最大值是 4 化归与转化思想化归与转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法 化归的手段是多种多样的 其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解 实现新问题向旧问题的转化 复杂问题向简单问题转化 未知问题向已知问题转化 抽象问题向具体问题转化等 如在加法的基础上 利用相反数的概念 化归出减法法则 使加 减法统一起来 得到了代数和的概念 在乘法的基础上 利用倒数的概念 化归出除法法则 使互逆的两种运算得到统一 例1已知m n m n 满足 求的值 分析 m n可以看成方程x2 3x 1 0的两个实数根 例2如图 圆柱形容器中 高为1 2m 底面周长为1m 在容器内壁离容器底部0 3m的点B处有一蚊子 此时一只壁虎正好在容器外壁 离容器上沿0 3m与蚊子相对的点A处 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m 容器厚度忽略不计 1 3 例3已知 ABC中 AC 5 BC 12 ACB 90 P是AB边上的动点 与点A B不重合 Q是BC边上的动点 与点B C不重合 1 如图 当PQ AC 且Q为BC的中点时 求线段CP的长 2 当PQ与AC不平行时 CPQ可能为直角三角形吗 若有可能 请求出线段CQ的长的取值范围 若不可能 请说明理由 P Q 除以上四大主要数学思想外还有 整体思想变换思想类比思想统计思想特殊与一般思想归纳与猜想思想 例设函数与y x 1的图象的交点坐标为 a b 则的值为 例 在平面内 旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换 活动一 如图1 在Rt ABC中 D为斜边AB上的一点 AD 2 BD 1 且四边形DECF是正方形 求阴影部分的面积 C A B D E G 图 F 活动二 如图 在四边形ABCD中 AB AD BAD C 90 BC 5 CD 3 过点A作AE BC 垂足为点E 求AE的长 三 数学教学中渗透数学思想的原则 1 自觉性原则2 可行性原则3 反复性原则4 系统性原则 四 渗透数学思想方法的过程设计 数学思想方法的形成不可能一蹴而就 往往需要多次反复 逐渐形成 一般要经历多次孕育 初步形成 应用发展三个阶段 因此 教学中教师要精心设计 多设置一些孕育点 在初步形成阶段选择的例题和习题也要容易些 在应用发展阶段可选择一些思维要求相对高一些的例题和习题 以数形结合思想为例说明如下 一 思想孕育 1 有理数的意义 在学习数轴时 学生接触到数与形的对应 应让学生掌握 1 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示 在数轴上会找到任何一个有理数对应的点 2 由数轴上的有理点 读出它所对应的有理数 2 绝对值 通过对有理数在数轴上的对应点到原点的距离的观察 引导出有理数绝对值的概念 不仅体现了数形结合思想 而且符合学生从具体到抽象的认知规律 3 有理数的大小比较 有理数大小比较 可以由其在数轴上的位置来确定 即将 数 的问题通过 形 来解决 4 单项式乘法 在推导单项式乘法 单项式与多项式乘法 多项式乘法以及乘法公式时 借助图形表示学生更容易接受 例如 a a时 可以借助如图的长方形面积来进行 5 平面内点的位置与坐标 一个有序数对 坐标 可在直角坐标平面内找到与之对应的点 反之 直角坐标平面内的任一点也可以读出其坐标 这时数与形的对应由一维上升到了二维 但仍是思想孕育阶段 二 初步形成 1 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式的解集在数轴上表示仍是孕育阶段 而解不等式组时 是将几个不等式的解集表示在同一数轴上 这样比较形象 直观地求出这些解的公共部分 即不等式组的解集 2 用图象法解二元一次方程组 例如 用图象法解方程组 只要在坐标系中分别画出两个方程对应一次函数的图象 直线 交点坐标就是方程组的解 3 一次函数的图象与性质 通过多次孕育 学生对数形结合思想已经有了一定的认识 在学习一次函数的性质时 可以先让学生动手画出图象 然后观察图象 总结函数图象的性质 至此 学生已经初步领略到数形结合思想是解决数学问题的重要思想方法 教师应因势利导地选择训练题对学生进行训练 推动数形结合思想在学生认知结构中初步形成 三 应用发展 1 分段函数 在分段函数中 由于函数的自变量在不同的取值范围内相应的关系式也不同 单用关系式对函数的变化情况的描述不够直观 也容易产生错误 因此 教学中宜画出函数的图象 更有助于学生对分段函数特点的理解 2 勾股定理的证明 为了证明勾股定理 只要将四个全等的