高中数学 2.3 1数学归纳法及其应用教案 新人教A版选修22.doc

数学归纳法及其应用考纲要求1了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题2掌握利用“观察归纳猜想证明”探索问题的方法重点、难点归纳1归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫做归纳法2数学归纳法对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kn，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。这种证明方法就叫做数学归纳法。学法探秘数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，应用非常广泛，它是一种完全归纳法。用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(kn0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。两个步骤各司其职，缺一不可。证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。需要注意的是：在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k时命题成立”这一条件。因为“当n=k时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标。“观察归纳猜想证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性。这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。典型例析例1用数学归纳法证明证明：1当n=1时，左边=1-=，右边=，所以等式成立。2假设当n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。说明：要证明的等式左边共2n项，而右边共n项。f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将与合并的变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。例2(2002年湖南数学联赛试题)已知a1=1，a2=3，an+2=(n+3)an+1-(n+2)an，若当mn时，am的值都能被9整除，求n的最小值。解：因为a11，a23，an2(n3)an1(n2)an，所以a11，a23，a39，a433，a5153，a6873，。因为a5与a6都能被9整除，所以由递推关系式an2(n3)an1(n2)an可知a5后面的所有项都能被9整除。故n的最小值为5。另解：由an2(n3)an1(n2)an可得an2an1(n2)an1(n2)an(n2)(an1an)(n2) (n1)(anan1) (n2) (n1)n(n1) 432(a2a1) (n2)!。所以ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)1!2!3!n!（n1）。由于a11，a23，a39，a433，a5153，并且n6时n!能被9整除，所以n的最小值为5。例3求证：2-(nn，且n2)证明：1当n=2时，左边=1+=2-=右边，不等式成立。2假设当n=k(kn，且k2)时不等式成立，即2-。那么+0所以故+2-