高考数学总复习 33导数的实际应用 新人教B版.doc

3-3导数的实际应用基础巩固强化1.(文)正三棱柱体积为v，则其表面积最小时，底面边长为()a.b. c.d2答案c解析设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积va2h，h，表面积sa23aha2，由sa0，得a，故选c.(理)在内接于半径为r的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()a.和rb.r和rc.r和r d以上都不对答案b解析设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xr)，l2，令l0，解得xr.当0xr时，l0；当rxr时，l0.所以当xr时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为r，r.2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()a13万件 b11万件c9万件 d7万件答案c解析yx381x234，yx281(x0)令y0得x9，令y9，令y0得0x，则满足2f(x)x1的x的集合为()ax|1x1 bx|x1cx|x1 dx|x1答案b解析令g(x)2f(x)x1，f (x)，g(x)2f (x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)x1，故选b.7(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是_答案3m3解析设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0x2)，故体积为v2x26x39x2，v18x218x，令v0得，x0或1，0x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0x1.6)，整理得y2x32.2x21.6x，y6x24.4x1.6，令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合题意，舍去)，高3.221.2，容积v11.51.21.8，高为1.2m时容积最大8(文)(2011北京模拟)若函数f(x)lnxax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_答案(1，)分析函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f (x)0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，)，所以本题就是求f (x)0在(0，)上有实数解时a的取值范围解析解法1：f (x)ax2，由题意知f (x)0，ax22x10有实数解当a0时，显然满足；当a0，1a1.解法2：f (x)ax2，由题意可知f (x)0在(0，)内有实数解即1ax22x在(0，)内有实数解x(0，)时，(1)211，a1.(理)(2012黄冈市期末)对于三次函数yax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f (x)是函数yf(x)的导数，f (x)是f (x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x，根据这一发现可得：(1)函数f(x)x3x23x的对称中心为_；(2)计算f()f()f()f()f()_.答案(1)(，1)(2)2013解析(1)f (x)x2x3，f(x)2x1，由2x10得x，f()()3()231，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(，1)(2)f()f(1)f()f()2(k1，2，1007)，f()f()f()f()f()f()f()f()f()f()2100612013.9某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为_答案16m8m解析解：设场地宽为xm，则长为m，因此新墙总长度为y2x(x0)，y2，令y0，x0，x8.因为当0x8时，y0；当x8时，y0，所以当x8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省10(文)某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)解析依题意，有xyx8，y(0x4)，于是框架用料长度为l2x2y2x，l，令l0，即0，解得x184，x248(舍去)，当0x84时，l0；当84x0；所以当x84时，l取得最小值，此时，x842.343m，y2.828m.即当x约为2.343m，y约为2.828m时，用料最省(理)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？解析如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2x2h2d2，x2(d2h2)球内接正四棱柱的体积为vx2h(d2hh3)，0h0，cos，选d.点评若f(x)为三次函数，f(x)在r上有极值，则f (x)0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一点要特别注意，如f(x)x3，f (x)x20有实根x0，但f(x)在r上单调增，无极值即导数为0是函数有极值的必要不充分条件12如图，过函数yxsinxcosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若kg(x)，则函数kg(x)的图象大致为()答案a解析ysinxxcosxsinxxcosx，kg(x)xcosx，易知其图象为a.13函数f(x)2x3x2x1的图象与x轴交点个数为_个答案1解析f (x)6x2x1(3x1)(2x1)，当x0，当x时，f (x)时，f (x)0，f(x)在(，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，)上单调递增，当x时，f(x)取到极大值，当x时，f(x)取到极小值，故f(x)的图象与x轴只有一个交点14将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_答案解析设dex，则梯形的周长为：3x，梯形的面积为：(x1)(1x)(1x2)s，x(0,1)，设h(x)，h(x).令h(x)0，得：x或x3(舍)，h(x)最小值h8，s最小值8.15(文)甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本p(元)关于速度v(km/h)的函数关系是pv4v315v，(1)求全程运输成本q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解析(1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为q6000(0v100)(2)q5v，令q0得，v80，当v80km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为元(理)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：c(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解析(1)设隔热层厚度为xcm，由题设知，每年能源消耗费用为c(x).再由c(0)8，得k40，因此c(x).又建造费用为c1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为，f(x)20c(x)c1(x)206x6x(0x10)(2)f (x)6，令f (x)0，即6.解得x5，或x(舍去)当0x5时，f (x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元16(文)(2011江苏，17)请你设计一个包装盒如图所示，abcd是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a、b、c、d四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e、f在ab上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设aefbx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20,30)时，v0.所以当x20时，v取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.(理)如图，有一矩形钢板abcd缺损了一角(如图所示)，边缘线om上每一点到点d的距离都等于它到边ab的距离工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若ab1m，ad0.5m，问如何画切割线ef可使剩余部分五边形abcef的面积最大？解析由题知，边缘线om是以点d为焦点，直线ab为准线的抛物线的一部分以o点为原点，ad所在直线为y轴建立直角坐标系，则d(0，)，m(，)所以边缘线om所在抛物线的方程为yx2(0x)要使如图的五边形abcef面积最大，则必有ef所在直线与抛物线相切，设切点为p(t，t2)则直线ef的方程为y2t(xt)t2，即y2txt2，由此可求得点e、f的坐标分别为e(，)，f(0，t2)所以sdefs(t)(t2)，t(0，所以s(t)，显然函数s(t)在(0，上是减函数，在(，上是增函数所以当t时，sdef取得最小值，相应地，五边形abcef的面积最大此时点e、f的坐标分别为e(，)，f(0，)此时沿直线ef划线可使五边形abcef的面积最大即2，.1(2011陕西文，21)设f(x)lnx，g(x)f(x)f (x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立解析f(x)lnx，f (x)，g(x)lnx.g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)0.(1，)是g(x)的单调增区间，因此当x1时g(x)取极小值，且x1是唯一极值点，从而是最小值点所以g(x)最小值为g(1)1.(2)g()lnxx，令h(x)g(x)g()2lnxx，则h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g()，当x(0,1)(1，)时h(x)h(1)0，即g(x)g()，当x(1，)时，h(x)h(1)0，即g(x)g()；当x1时，g(x)g()；当x(1，)时，g(x)g()(3)由(1)可知g(x)最小值为1，所以g(a)g(x)0成立等价于g(a)1，即lna1，解得0axln2对任意x0恒成立，现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围解析(1)f(t)100%(t为学习时间)，且f(2)60%，则100%60%，解得a4.f(t)100%100%(t0)，f(0)100%37.5%，f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.(2)令学习效率指数y，则y(t0)，现研究函数g(t)t的单调性，由于g(t)1(t0)，又已知2xxln2对任意x0恒成立，即2ttln20，则g(t)0恒成立，g(t)在(0，)上为增函数，且g(t)为正数y(t0)在(0，)上为减函数，而y|t1，y|t2，即y(，)，故所求学习效率指数的取值范围是(，)4(2012延边州质检)已知函数f(x)x2axlnx，ar.(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围；(3)令g(x)f(x)x2，是否存在实数a，当x(0，e(e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解析(1)当a1时，由f (x)2x1，函数f(x)x2xlnx的定义域为(0，)，当x(0，时，f (x)0，当x，)时，f (x)0，所以函数f(x)x2xlnx的单调递减区间为(0，单调递增区间为，)(2)