专题29：代数几何综合题好题.doc

专题29：代数几何综合题好题1（2014山东淄博22，8分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持ACP是等边三角形当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：AOCABP；由此你发现什么结论？（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式【考点解剖】本题考查了动点问题，全等三角形，等边三角形的性质，求函数解析式等知识，解题的关键是找出题目中的相等关系，和运动过程中的特殊点【解题思路】（1）根据AOB与ACP都是等边三角形，得到AO=AB，AC=AP，CAP=OAB=60CAP+PAO=OAB+PAO从而CAO=PAB证明出AOCABP从这两个三角形的全等关系可以判断出点P在过点B且与AB垂直的直线上（2）由AOB是等边三角形，求出点A和点B的坐标，当点C移动到使点P在y轴上时，得到点P的坐标，根据待定系数法求出一次函数关系式【解答过程】解：（1）证明：AOB与ACP都是等边三角形，AO=AB，AC=AP，CAP=OAB=60CAP+PAO=OAB+PAOCAO=PABAOCABP结论：点P在过点B且与AB垂直的直线上，或PBAB，或ABP=90（2）点P所在函数图象是过点B且与AB垂直的直线上，AOB是等边三角形，A（0，3），B（，）当点C移动到使点P在y轴上时，得P（0，3）设点P所在直线的解析式为：，把B，P两点的坐标代入，得.解得.所以点P所在函数图象的解析式为2. （2014黑龙江龙东地区，28，10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x27x120的两个根（OAOB）（1）求点D的坐标（2）求直线BC的解析式 （3）在直线BC上是否存在点P，使PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由ABOCDxy【考点解剖】本题考查了正方形与图形坐标，结合三角形全等求函数关系式以及点的存在性问题，解题的关键是根据题意求出图形中各个点的坐标【解题思路】（1）过点D作y轴的垂线，利用全等三角形求D点坐标；（2）同（1）过点C作x轴垂线，利用全等三角形求C点坐标，然后利用待定系数法求直线解析式.（3）要使PCD为等腰三角形，则需PC=DC，故P点有两个【解答过程】解：（1）x27x+12=0x1=3，x2=4 OAOBOA=4,OB=3过D作DEy于点E正方形ABCDAD=AB，DAB=90DAE+OAB=90ABO+OAB=90 ABO=DAE DEAEAED =90=AOBDAEABO DE=OA=4，AE=OB=3 ，OE=7D（4，7）ABOCDxyEM（2）过点C作CMx轴于点M 同上可证得BCMABO CM=OB=3 BM=OA=4 OM=7C（7，3） 设直线BC的解析式为y=kx+b（k0，k、b为常数）代入B（3，0），C（7，3）得，解得y=x （3）存在P1（3，0），P2（11，6）如图所示，当PC=CD时PCD是等腰三角形由题意可知：BC=DC，故P1与点B重合，故P1（3，0）.当点P在BC延长线上时，如图P2C=DC=BC，则过点P2N垂直于x轴，则CM是BP2N的中位线，故P2N=2CM=6，ON=OB+2BM=3+42=11，故P2（11，6）.ABOCDxyEMP2(P1)N3（2014湖南湘潭，25，10分）ABC为等边三角形，边长为a，DFAB，EFAC，（1）求证：BDFCEF；（2）若a4，设BFm，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tanEDF，求此圆直径【考点解剖】本题是一道综合题，问题考查了相似形、二次函数的最值、等边三角形的性质、圆周角定理、解直角三角形等内容，解题的关键是读懂问题要求，将问题进行合理拆分、分步解决问题，最后一小问需利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置【解题思路】（1）只需找到两组对应角相等即可；（2）四边形ADFE面积S可以看成ADF与AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题；（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将EDF转化为EAF在AFC中，知道tanEAF、C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长【解答过程】解：（1）DFAB，EFAC，BDFCEF90ABC为等边三角形，BC60BDFCEF，BC，BDFCEF（2）BDF90，B60，sin60，cos60BFm，DFm，BDAB4，AD4SADFADDF（4）mm2m同理：SAEFAEEF（4）（4m）m22SSADFSAEFm2m2（m24m8）（m2）23其中0m40，0m4，当m2时，S取最大值，最大值为3S与m之间的函数关系为：S（m2）23（其中0m4）当m2时，S取到最大值，最大值为3（3）如图2，A、D、F、E四点共圆，EDFEAFADFAEF90，AF是此圆的直径tanEDF，tanEAFC60，tan60设ECx，则EFx，EA2xACa，2xxaxEF，AEAEF90，AF此圆直径长为4.（2014黑龙江省齐齐哈尔市，28，10分）如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OAOB），且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根.线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D.点P是直线CD上的一个动点，点Q是直线AB上的一个动点.（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【考点解剖】本题考查了利用解一元二次方程确定点的坐标、利用相似三角形由待定系数法求一次函数表达式和利用正方形、全等的三角形的性质和判定方法确定点的坐标.【解题思路】（1）解方程可得OA、OB的长，从而求出A、B两点的坐标.（2）分别求出点C和D的坐标，由待定系数法求直线CD的解析式；（3）利用正方形、全等的三角形的性质和判定方法确定点M的坐标.【解答过程】解：（1）x1=6， x2=8OAOBOA=6，OB=8A(6，0)，B(8，0) （2）根据勾股定理得AB=10 CD是AB的垂直平分线 AC=5，易求C(3，4) 由于AOBACD，求得AD=OD=AD-OA=D(，0) 由C、D坐标得yCD=x+（3）存在，M1 (2，-3) M2 (10，3) M3 (4，11) M4(-4，5)5. （2014湖北随州，24，10分）已知两条平行线 、之间的距离为6，截线CD分别交 、于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交 、于 A、B两点.（1）操作发现如图1，过点P作直线 ，作PE，点E是垂足，过点B作BF，点F是垂足.此时，小明认为PEAPFB，你同意吗？为什么？EFD第24题图1P CABCD第24题图2P （2）猜想发现将直角APE从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想.(3)延伸探究在（2）的条件下，当截线CD与直线所夹的钝角为150时，设CPx，试探究：是否存在实数x，使PAB的边AB的长为 ？请说明理由.【考点解剖】本题综合考查了相似三角形的性质和判定、等腰三角形的分类讨论和勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是注意等腰三角形的分类和数形结合转化为一元二次方程【解题思路】(1) 如图1，易证PEAPFB；（2）如图2，要使PAB为等腰三角形，只能是PAPB；（3）解：如图2，找出题中信息 PEBF6,BFAE,可得AE6，当AB时，由题意得PA，在RtPEC中，由勾股定理列方程，解方程进行判断。【解答过程】解：(1)解：如图1，由题意， 又 PEAPFB（2）证明：如图2， ， 要