高中数学竞赛辅导讲座三角形心的性质及其应用.doc

三角形心的性质及其应用主讲老师：刘汉斌一、基础知识：1. 设G是ABC的重心，AG交BC于D，则BDDC；AGAD23；AD2(2AB22AC2BC2)；SABCSGBC2. 设O(R)是ABC的外接圆，则OAOBOCR；BOC2A或2(180A)SABC3. 设ABC的内切圆I(r)与AB切于P,AI的延长线交外接圆于D，则：BIC90；APrctga；DBDIDC；SABCr4. 设O、G、H分别是ABC的外心、重心和垂心，ODBC于D，AH的延长线交外接圆于H1，则：AH2OD；H与H1关于BC成轴对称；SHBCSABC；O、G、H三点共线，且OGGH125. 设ABC在A内的旁切圆I1(r1)与边AB的延长线切于P1，则：BI1C90；AP1r1ctg；BP1；AI1B；SABCr1二、例题ABCDEF FGH HGEO例1. 设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，OAB、OBC、OCD、ODA的重心分别为E、F、G、H，则SEFGHSABCD_.解：如图，设E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE.则四边形EFGH四边形EFGH且由图易见，SEFGHSABCD于是例2. 已知BD和CE是ABC的两条中线，求证：BD2CE2BC2证法一：设BCa，ACb，ABc则由三角形中线公式BD2(2AB22BC2AC2)CE2(2AC22BC2AB2) BD2CE2(4BC2AB2AC2)(4a2b2c2)8a2(bc)2(bc)28a2(bc)28a2a2a2 ( bca)即 BD2CE2BC2证毕！ABCDEFG证法二：设CE、BD交于G，连结AG并延长交BC于F，则在GBC中，由三角形中线公式 GF2(2BG22CG2BC2)得 BG2CG22GF2BC2即 (BD)2(CE)22GF2BC2 (BD2CE2)2GF2BC2 BD2CE2(4GF2BC2) BC2证毕！例3. 凸四边形ABCD内接于O，对角线AC与BD相交于P，PAB与PCD的外心分别为O1、O2，求证：四边形PO1OO2为平行四边形.ABCDHGP4312EOO2O1证明：如图，延长O2P交AB于E，作O2HPD于H，O2GPC于G则DHPH，PGCG连结HG，则HGCD 3PHG又O2、H、P、G四点共圆所以：PHGPO2G3即3490 但42，31 1290 PEAB由O、O1是AB中垂线上的点得：OO1AB PO2OO1同理可证：PO1OO2即证得：PO1OO2是平行四边形证毕！例4. ABC中，若A、B、C的平分线与外接圆分别交于P、Q、R，则APBQCRBCCAABBACPQRIO证明：(利用三角形两边之和大于第三边) AIBIAB(I为ABC之内心) BICIBC CIAIAC 2(AIBICI)ABBCCA 又 PBPIPC (内心性质) 2PIBC，2QIAC，2RIAB :APBQCRBCCAAB证毕！例5. 设I是ABC的内心，CI的延长线与边AB和外接圆分别交于D和K，求证:BACKIO213D证明：连结KB，如图有231BKDBKC于是可得：KDBKBC ，而BKIK 又在BDC中，由内分定理 由: 证毕！由证得： 1证毕！例6. 已知ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，试求A的度数.图6030DCBOHEAAEHOBCD3060图解：如果垂心在三角形内，如图作ODBC于D，由ODAHBOR可知 OBD30从而 BOD60即 A60如果垂心在三角形外，如图作ODBC于D由ODAHR连结BO并延长交O于E，连结CE可知 OBD30 BEC60从而 BACA 180BEC 18060 120例7. 已知ABC的内切圆I与BC边切于D，DE是I的直径，AE的延长线交BC边于F，求证：BDCF.ABDCGabcHII1EF证明：设ABc,ACb,BCa则BDb(abc) BD(acb) 下面仅需证明 CF(acb)为此，作FI1BC交AI的延长线于I1,I1GAC于G，即仅需证明I1是ABC旁切圆在A内的旁心.事实上，由(H是AC边与I的切点)但 IEIH 可知 I1FI1G即I1确是旁心 CF(acb)即 BDCF证毕！例8. 若从O的外切四边形的各顶点向O的任一切线作垂线AA、BB、CC、DD，则ABCDEGFClOABD证明：设切线l与AB、CD、BC分别交于E、F、G，则(由共边比例定理)：而AOEAOBBOE DOFDOCCOF BOECOF AOEDOFAOBDOC180 sinCOFsinBOE sinAOEsinDOF即得证毕！例9. 已知I1是ABC在A内的旁切圆，与AB、AC、BC的切点分别为D、E、F，且I1F交DE于N，AN交BC于M.求证：BMMCABDCEFMNI1证明： (正弦定理)而I1DBF与I1ECF分别共圆 ABCDI1FACBEI1F代入得：1即：BMMC证毕！三、练习题1. 设P是ABC内任意一点，G是它的重心，若PG的延长线分别与