江苏省无锡一中高一数学下学期期中试题（含解析）苏教版.doc

2012-2013学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一填空题（每小题5分）1（5分）函数的定义域是（0，3）考点：函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：根据函数的解析式可得 3xx20，由此解得x的范围，即为所求解答：解：由于函数，可得 3xx20，解得 0x3，故答案为 （0，3）点评：本题主要考查求函数的定义域，对数的性质应用，属于基础题2（5分）数列的一个通项公式为an=考点：数列的概念及简单表示法专题：等差数列与等比数列分析：分别考察每一项的符号和绝对值即可得出解答：解：通过观察可以发现：每一项的符号为（1）n+1，其绝对值为，故其一个通项公式为故答案为点评：把每一项的符号和绝对值分别考察设解题的关键3（5分）已知直线方程为，则直线的倾斜角为150考点：直线的倾斜角专题：直线与圆分析：根据直线的斜截式方程求得直线的斜率为，再根据倾斜角和斜率的关系求得倾斜角的值解答：解：直线方程为，即 y=x，则直线的斜率为，故倾斜角的正切值等于，结合倾斜角的范围可得倾斜角为150，故答案为 150点评：本题主要考查由直线的一般式方程求斜截式方程，直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题4（5分）（2008安徽）若a为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过a中的那部分区域的面积为考点：二元一次不等式（组）与平面区域专题：压轴题分析：先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可解答：解：如图，不等式组表示的平面区域是aob，动直线x+y=a（即y=x+a）在y轴上的截距从2变化到1知acd是斜边为3的等腰直角三角形，oec是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积s阴影=sacdsoec=故答案为点评：本题考查二元一次不等式组与其平面区域及直线方程的斜截式5（5分）已知数列an是等差数列，其前n项和为sn，若a3+a11=50，又s5=45，则a2等于5考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：设出等差数列an的首项和公差，由a3+a11=50，s5=45列方程组联立可解的首项和公差，则a2可求解答：解：设数列an的首项为a1，公差为d，由a3+a11=50，s5=45，得：，即，得4d=16，所以d=4，把d=4代入得，a1=1则a2=a1+d=1+4=5故答案为5点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了方程组的解法，是基础的计算题6（5分）若等比数列an满足，则公比为4考点：等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：在给出的递推式中分别取n=1和n=2得到两式，作比后再根据数列中相邻两项之积同号得到公比的值解答：解：在等比数列an中，由，取n=1得：a1a2=16取n=2得：得：q2=16所以q=4因为a1a2=16，所以q0，则q=4故答案为4点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了特值化思想，是基础题7（5分）在abc中，a=60，ab+ac=10，面积，则bc=考点：余弦定理专题：计算题；解三角形分析：由正弦定理的面积公式，结合题中数据算出bc=16，利用配方可得b2+c2=（b+c）22bc=68最后根据余弦定理加以计算，即可得到a2=b2+c22bccosa=52，从而得到a=bc=2解答：解：设ab=c，bc=a，ac=b，则a=60，abc面积，bcsina=4，即bc=4，解之得bc=16又ab+ac=b+c=10，b2+c2=（b+c）22bc=10032=68根据余弦定理，得a2=b2+c22bccosa=68216cos60=52由此可得：a=2，即bc=2故答案为：2点评：本题给出abc中两边的长度之和与夹角大小，并且在知道三角形面积的情况下求第三边的大小着重考查了面积正弦定理公式和利用正余弦定理解三角形的知识，属于基础题8（5分）一家饮料厂生产甲乙两种果汁饮料，甲种饮料每3份苹果汁加1份橙汁，乙种饮料每2份苹果汁加2份橙汁，该厂每天能获得的原料是苹果汁200升，橙汁100升，又厂方的利润是每生产1升甲种饮料得3元，生产1升乙种饮料得4元，则该厂能获得的最大利润是250元考点：函数模型的选择与应用专题：应用题分析：根据题意，先确定可行域，建立利润函数，再综合比较，我们可以确定怎样安排生产才能获利最大解答：解：设生产x升甲种饮料，y升乙种饮料，则 ，该厂能获得的利润w=3x+4y，画出可行域，如图当直线w=3x+4y经过点a（50，25）的时候w值最大，所以应该是x=50，y=25 时，最大利润w=350+425=250所以，则该厂能获得的最大利润是250元故答案为：250点评：以实际问题为素材，考查生产的最优化，关键在于建立不等式组，同时注意应使实际问题有意义9（5分）已知方程（x2mx8）（x2nx8）=0的四个根组成一个首项为1的等比数列，则mn=14考点：根的存在性及根的个数判断；等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：根据一元二次方程根与系数的关系和等比数列性质分析，四个根组成的首项为 1的等比数列的首项与末项的积等于第二项与第三项的积等于8，从而确定数列的每一项，再由两根之和分别为m、n，即可求出结果解答：解：方程（x2mx8）（x2nx8）=0x2mx8=0 或x2nx8=0 设方程两根为x1，x4，方程两根为x2，x3，则，x1x4=8，x1+x4=m x2x3=8，x2+x3=n方程（x2mx8）（x2nx8）=0的四个根组成一个首项为 1的等比数列x1，x2，x3，x4分别为这个数列的前四项，且x1=1，x4=8，公比为2，x2=2，x3=4，m=x1+x4=18=7，n=x2+x3=2+4=2，故则mn=14故答案为：14点评：本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系和等比数列的性质，解题时要认真观察，熟练运用性质10（5分）隔河可以看到两个目标a、b，但不能到达，在岸边选取相距km的c、d两点，并测得acb=75，bcd=45，adc=30，adb=45a、b、c、d在同一个平面内，则两目标a、b间的距离为km考点：正弦定理专题：计算题；解三角形分析：利用acd的边角关系，算出出accd=；在bcd中，由正弦定理算出bc=最后在acb中利用余弦定理加以计算，即可得出目标a、b间的距离解答：解：在acd中，adc=30，acd=75+45=120，cad=30，可得cad=adc根据等角对等边，得ac=cd=又在bdc中，cbd=180（45+75）=60由正弦定理，得bc=在abc中，由余弦定理，得ab2=ac2+bc22acbccosbca=（）2+（）22cos75=5ab=，即两目标a、b之间的距离为km故答案为：点评：本题给出不能到达的两点a、b，叫我们利用解三角形的知识求a、b之间的距离着重考查了特殊三角函数的值、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题11（5分）（2010辽宁）已知数列an满足a1=33，an+1an=2n，则的最小值为考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用专题：计算题；压轴题分析：由累加法求出an=33+n2n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值解答：解：an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=21+2+（n1）+33=33+n2n所以设f（n）=，令f（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为nn+，所以当n=5或6时f（n）有最小值又因为，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力12（5分）已知三个不等式x24x+30x26x+802x29x+m0要使同时满足和的所有x的值都满足，则实数m的取值范围是m9考点：一元二次不等式的解法专题：计算题；不等式的解法及应用分析：可分别求得不等式x24x+30与x26x+80的解集a与b及其交集ab，设不等式2x29x+m0为c，由abc即可求得实数m的取值范围解答：解：x24x+30，1x3，x24x+30的解集a=x|1x3；同理可得，x26x+80的解集b=x|2x4；ab=x|2x3；设不等式2x29x+m0为c，同时满足和的所有x的值都满足，abc，令g（x）=2x29x+m，则：，即，解得：m9实数m的取值范围是m9故答案为：m9点评：本题考查一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查解不等式及不等式组的能力，属于中档题13（5分）（2008长宁区二模）三位同学合作学习，对问题“已知不等式xyax2+2y2对于x1，2，y2，3恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”乙说：“不等式两边同除以x2，再作分析”丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是1，+）考点：函数恒成立问题专题：计算题；压轴题；开放型；转化思想分析：利用丙的方法，将字母a分离出来，然后将 看成整体，转化成关于 的二次函数，求出 的范围，只需研究二次函数在闭区间上的最大值即可解答：解：采用丙的方法：，又 ，而 ，=1，故答案为：1，+）点评：本题主要考查了函数恒成立的问题，以及参数分离法的运用和转化的数学思想，属于基础题14（5分）已知：f（x）是定义在r上的不恒为零的函数，且对任意a、br，满足：f（ab）=af（b）+bf（a），且，则数列an的通项公式an=考点：数列的函数特性专题：等差数列与等比数列分析：令a=2n，b=2，得f（2n+1）=2nf（2）+2f（2n），设an=f（2n），可得an1=2n1+2an，从而可知数列 是以1为，1为首项的等差数列，故可求数列an的通项公式，从而得出数列an的通项公式解答：解：令a=1，b=1，得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，令a=2，b=，得f（1）=2f（）+f（2），且f（2）=2，f（）=，令a=2n，b=2，得f（2n+1）=2nf（2）+2f（2n）设an=f（2n）an1=2n1+2an，=1+，即 =1，且 =1即数列 是以1为，1为首项的等差数列=n，an=n2n故答案为：点评：本题考查数列的函数特性、等差数列的定义，涉及抽象函数的应用，属中档题二解答题15（13分）求经过直线l1：3x+2y1=0和l2：5x+2y+1=0的交点，（1）且平行于直线l3：3x5y+6=0的直线l的方程；（2）且垂直于直线l3：3x5y+6=0的直线l的方程考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：直线与圆分析：（1）解方程组求得两条直线的交点坐标，根据两条直线平行的条件设出直线l的方程为 3x5y+m=0，把交点（1，2）代入，求得m的值，即可得到直线l的方程（2）设垂直于直线l3：3x5y+6=0的直线l的方程为 5x+3y+n=0，把点（1，2）代入，求得 n的值，即可得到l的方程解答：解：（1）由 求得，故直线l1：3x+2y1=0和l2：5x+2y+1=0的交点为（1，2）设平行于直线l3：3x5y+6=0的直线l的方程为 3x5y+m=0，把交点（1，2）代入可得310+m=0，求得 m=13，故所求的直线方程为 3x5y+13=0（2）设垂直于直线l3：3x5y+6=0的直线l的方程为 5x+3y+n=0，把点（1，2）带入可得5+6+n=0，解得 n=1，故所求的直线方程为 5x+3y1=0点评：本题主要考查求两条直线的交点坐标，两条直线平行和垂直的条件，属于基础题16（15分）已知数列an为等差数列，bn为等比数列，并且满足a1+a2=5，a5+a6=29，以及b7=a22（1）求a22的值；（2）设b8=64m（m0），求数列bn的子数列b7，b8，b9，b10，b11，的前n项和sn（3）在（2）的条件下，若m=2，求数列的前n项和tn考点：等差数列与等比数列的综合专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）设等差数列an的公差为d，依题意，列出关于其首项与公差的方程组，解之即可得an，从而可求a22的值；（2）依题意可求得bn的公比q=m（m0），对m分类讨论，可得数列bn的子数列b7，b8，b9，b10，b11，的前n项和sn（3）可求得bn=2n1，从而可得tn=1+221+322+n2n1，利用错位相减法即可求得tn解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，则，解得d=3，a1=1，3分an=1+（n1）3=3n2，a22=645分（2）bn为等比数列，b7=a22=64，b8=64m（m0），bn的公比q=m（m0），sn=10分（3）m=2，b7=64=b126，b1=1，故bn=2n1tn=（a1+2）b1+（a2+2）b2+（an+2）bn=（31+621+3n2n1）=1+221+322+n2n112分2tn=121+222+（n1）2n1+n2n得：tn=1+2+22+2n1n2n=n2n=（1n）2n1，14分tn=1+（n1）2n15分点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查等差数列的通项公式与等比数列的通项公式，着重考查错位相减法求和，属于难题17（15分）abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且b2+c2a2+bc=0（1）求角a的大小；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值考点：余弦定理；正弦定理专题：计算题；解三角形分析：（1）根据题中等式，结合余弦定理算出cosa=，而a（0，），可得a=（2）由a=代入已知等式得b2+c2=3bc，再用基本不等式即可得到当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1（3）根据正弦定理，将化简为再由sinb=sin（a+c）和a=，将分子、分母展开化简，然后将分子分母约去公因式，即可得到的值解答：解：（1）abc中，b2+c2=a2+bc根据余弦定理，得cosa=（2分）a（0，），a=（4分）（2）由a=，得b2+c2=3bc，（6分）又b2+c22bc（当且仅当c=b时取等号），（8分）3bc2bc，可得当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1（10分）（3）由正弦定理，得=2r，（11分）=（13分）sin（60c）sinc=coscsincsinc=coscsinc=（15分）点评：本题给出三角形边之间的平方关系，求角a的大小并求bc的最大值，着重考查了特殊三角函数的值、两角和与差的正弦公式和用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题18（15分）如图所示，将一矩形花坛abcd扩建成一个更大的矩形花园ampn，要求b在am上，d在an上，且对角线mn过c点，已知ab=3米，ad=2米（1）要使矩形ampn的面积大于32平方米，则an的长应在什么范围内？（2）当an的长度是多少时，矩形ampn的面积最小？并求最小面积；（3）若an的长度不少于6米，则当an的长度是多少时，矩形ampn的面积最小？并求出最小面积考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：应用题分析：（1）如图，由题设令an=x米，然后用x表示出边长，由题意得出，从中求出x的范围，即为an的取值范围（2）矩形的面积可以表示为，化简后用基本不等式求出最小值（3）由（2）的求解知，当an的长度不少于6米时，基本不等式取到最小值时等号成立的条件不足备，故不宜用基本不等式求矩形ampn的面积最小值，可以用函数的单调性求面积的最小值解答：解：（1）设an=x米，（x2），则nd=x2（2分）3x232x+640（4分）（3x8）（x8）02x或x8（5分）（2）（7分）=此时x=4（10分）（3）（x6）令x2=t（t4），（11分）当t4时，f（t）0在4，+）上递增（13分）f（t）min=f（4）=27此时x=6（14分）答：（1）或an8（2）当an的长度是4米时，矩形ampn的面积最小，最小面积为24平方米；（3）当an的长度是6米时，矩形ampn的面积最小，最小面积为27平方米（15分）点评：本题是个应用题，第一问要求根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；第二问考查了基本不等式求最值；第三问问题更深一层，重点考查基本不等式等号成立的条件不足备时，怎么来求相应解析式的最小值，本题考查全面，是少见的知识性与技能性都较强的题19（16分）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a0，且a1）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f（n）c，数列bn（bn0）的首项为c，且前n项和sn满足snsn1=+（n2）（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若数列前n项和为tn，问：tn的最小正整数n是多少？考点：数列与不等式的综合；等差关系的确定；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）由条件先求出f（x），再求出数列的前三项，由前三项成等比数列求出c的值，则通项an可求；判断数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，求出其通项后则可求数列bn的通项公式；（2）利用裂项法求出数列的和，代入不等式可求最小正整数n解答：解：（1）因为f（x）=ax，且f（1）=，所以a=，所以f（x）=（）x所以a1=f（1）c=c，a2=f（2）cf（1）c=，a3=f（3）cf（2）c=又数列an成等比数列，所以a1=c，所以c=1，又公比q=，所以an=（）n1=2（）n（nn* ），所以snsn1=（+）（）=+（n2）又bn0，0，所以）=1，数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，=1+（n1）1=n，sn=n2，当n2，bn=snsn1=n2（n1）2=2n1，又其满足b1=c=1，所以bn=2n1； （2）=tn=（1+）=tn，满足tn的最小正整数n是77点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查裂项相消法，考查学生的计算能力，属于中档题20（16分）已知函数f（x）=2x，xr（1）若存在