高考数学三轮冲刺押题 基础技能闯关夺分必备 复数的概念和运算（含解析）.doc

复数的概念和运算【考点导读】1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性.2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义.【基础练习】1.设、，若为实数，则2.复数的共轭复数是3.在复平面内，复数(1i)2对应的点位于第二象限4.复数 5.若复数满足方程，则【范例导析】例1.m取何实数时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数由于所给复数z已写成标准形式，即，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题解：（1）当即 时，z是实数（2）当即 当且时，z是虚数（3）当即当或时，z是纯虚数点拨：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉，导致解答出错例2.在复数范围内解方程(i为虚数单位)分析:可z=x+yi(x、yr),代入求解.解:原方程化简为, 设z=x+yi(x、yr),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1且2x=1,解得x=且y=, 原方程的解是z=-i.点拨：复数问题实数化是解决复数问题的基本方法,在解题中应引起重视.例3.设复数z满足4z+2=3+i，=sinicos（r）.求z的值和|z|的取值范围.分析:根据共轭复数的概念和复数的代数运算求出复数z,再代入写出|z|的表达式求其范围.解：设z=a+bi（a，br），则=abi，代入4z+2=3+i得4（a+bi）+2（abi）=3+i.z=i.|z|=|i（sinicos）|=1sin（）1，022sin（）4.0|z|2.点拨：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.例4.设z是虚数，w=z+是实数，且12.（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证：u为纯虚数；（3）求wu2的最小值.分析:本题题（3）利用基本不等式求最值较方便.解：（1）设z=a+bi，a、br，b0则w=a+bi+因为w是实数，b0，所以a2b2=1，即|z|=1.于是w=2a，1w=2a2，a1，所以z的实部的取值范围是（，1）.（2）.因为a（，1），b0，所以u为纯虚数.（3）.因为a（，1），所以a+10，故wu2223=43=1.当a+1=，即a=0时，wu2取得最小值1.点拨: 本题综合性较强,在解题过程中综合运用了复数的相关概念和运算使问题得以解决.反馈练习：1.如果复数是实数，则实数2.已知复数z满足（3i）z3i，则z 3.若复数z=，则z+z+1+i的值为04.已知,则等于5.复数，且，若是实数，则有序实数对可以是_（2,1）_（写出一个有序实数对即可）6.是虚数单位，（用的形式表示，）7.设、为实数，且，则+=4.8.如果复数z满足|z+i|+|zi|=2，那么|z+i+1|的最小值是19.若复数同时满足2，（为虚数单位），则 -1+i 10.已知，求的值.解：，11.已知复数z1i，求实数a，b使az2b（a2z）2解：z1i，az2b（a2b）（a2b）i，（a2z）2（a2）244（a2）i（a24a）4（a2）i，因为a，b都是实数，所以由az2b（a2z）2得两式相加，整理得a26a80，解得a12，a24，对应得b11，b22所以，所求实数为a2，b1或a4，b212.已知z、w为复数，（13i）z为纯虚数，w，且|w|5，求w解法一：设zabi（a，br），则（13i）za3b（3ab