高考数学复习 98 用向量方法证明求角与距离专题训练 理.doc

2013高考数学复习 9-8 用向量方法证明求角与距离专题训练 理1.在空间直角坐标oxyz中，平面oab的一个法向量为n(2，2,1)，已知点p(1,3,2)，则点p到平面oab的距离d等于()a4b3c2d1答案b解析由条件知，o在平面oab内，(1,3,2)，点p到平面oab的距离d2.2(2011福州模拟)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，则实数x，y，z分别为()a.，4 b.，4c.，2,4 d4，15答案b解析，352z0，z4，平面abc，故选b.3在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，g为aa1的中点，则直线bd与平面gb1d1的距离为()a. b. c. d.答案b分析求直线与平面的距离，应有直线与平面平行，故可转化为点面距，为此找出平面的一个法向量和该点与平面内一点连线的方向向量，即可通过向量的数量积来求一般地，平面的法向量为n，平面内一点p和平面外一点q，则q到的距离d.解析如上图建立空间直角坐标系，则b(2,2,0)，g(2,0,1)，b1(2,2,2)，d1(0,0,2)，(2,2,0)，(2,0，1)，(0,0,2)设平面gb1d1的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，2x2y0,2xz0，即yx，z2x.令x1，则n(1，1,2)bdb1d1，bd平面gb1d1.bd与平面gb1d1的距离为d.故选b.4(2011广东省江门模拟)如下图，abcda1b1c1d1是棱长为6的正方体，e、f分别是棱ab、bc上的动点，且aebf.当a1、e、f、c1四点共面时，平面a1de与平面c1df所成二面角的余弦值为()a. b. c. d.答案b解析以d为原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a1(6,0,6)、e(6,3,0)、f(3,6,0)，设平面a1de的法向量为n1(a，b，c)，依题意得令a1，则c1，b2，所以n1(1,2,1)，同理得平面c1df的一个法向量为n2(2，1,1)，由题图知，平面a1de与平面c1df所成二面角的余弦值为.5将正方形abcd沿对角线bd折成一个120的二面角，点c到达点c1，这时异面直线ad与bc1所成角的余弦值是()a b c. d.答案d解析设正方形的边长为1，ac与bd交于点o，当折成120的二面角时，ac222cos120.又，|2|2|2|222212121cos13521cos135222|cos，2cos，cos，.6(2010广西南宁二中模考)在正三棱柱abca1b1c1中，aa1ab，则ac1与平面bb1c1c所成的角的正弦值为()a. b. c. d.答案c解析解法一：取bc的中点d，在正三角形abc中，adbc，在正三棱柱中，cc1平面abc，ad平面abc，cc1ad，ad平面bcc1b1，ac1d为ac1与平面bb1c1c所成的角，设abaa11，则ad，ac1，sinac1d，故选c.解法二：以线段bc的中点d为原点，直线bc、ad分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图设ab1，则a(0，0)，c1(，0,1)，设ac1与平面bb1c1c所成角为，易知平面bb1c1c的一个法向量为(0，0)，又(，1)，sin|cos，|，故选c.7(2011浙江丽水模拟)如下图所示，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e为pb的中点，cos，若以da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点e的坐标为_答案(1,1,1)解析设pda，则由题意知a(2,0,0)，b(2,2,0)，p(0,0，a)，e(1,1，)，(0,0，a)，(1,1，)，cos，a2，点e的坐标为(1,1,1)8(2011咸阳模拟)正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角的大小为_答案30解析由条件知acbd，ac与bd交点为o，以o为原点，射线oc，射线od，射线os分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系，设sood，则bc2，a(，0,0)，c(，0,0)，d(0，0)，s(0,0，)，b(0，0)，p(0，)，(，0)，(2，0,0)，(，)设平面pac的一个法向量n(x，y，z)，则，取n(0,1，1)，设直线bc与平面pac成的角为，则sin|cosn，|，30.1.(2011北京理，16)如下图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，ab2，bad60.(1)求证：bd平面pac；(2)若paab，求pb与ac所成角的余弦值；(3)当平面pbc与平面pdc垂直时，求pa的长解析(1)因为四边形abcd是菱形，所以acbd.又因为pa平面abcd.所以pabd.因为paaca，所以bd平面pac.(2)设acbdo.因为bad60，paab2，所以bo1，aoco.如下图，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系oxyz，则p(0，2)，a(0，0)，b(1,0,0)，c(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)，设pb与ac所成角为，则cos.(3)由(2)知(1，0)设p(0，t)，(t0)，则(1，t)设平面pbc的法向量m(x，y，z)，则m0，m0，所以令y，则x3，z.所以m(3，)同理，平面pdc的法向量n(3，)因为平面pbc平面pdc.所以mn0，即60.解得t.所以pa.2如下图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，侧棱pa底面abcd，ab，bc1，pa2，e为pd的中点(1)求直线ac与pb所成角的余弦值；(2)在侧面pab内找一点n，使ne平面pac，并求出点n到ab和ap的距离解析(1)分别以ab、ad、ap为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则a，b，c，d，p，e的坐标为a(0,0,0)，b(，0,0)，c(，1,0)，d(0,1,0)，p(0,0,2)，e(0，1)，从而(，1,0)，(，0，2)设与的夹角为，则cos，ac与pb所成角的余弦值为.(2)由于n点在侧面pab内，故可设n点坐标为(x,0，z)，则(x，1z)，由ne平面pac可得，即，化简得，即n点的坐标为(，0,1)，从而n点到ab和ap的距离分别为1，.3(2011辽宁理，18)如下图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd.(1)证明：平面pqc平面dcq；(2)求二面角qbpc的余弦值解析如上图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线oa为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.(1)依题意有q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0.即pqdq，pqdc.故pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq.(2)依题意有b(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面pbc的法向量，则即因此可取n(0，1，2)设m是平面pbq的法向量，则可取m(1,1,1)，所以cosm，n.故二面角qbpc的余弦值为.4如下图，正方形abcd和四边形acef所在平面互相垂直，ceac，efac，ab，ceef1.(1)求证：af平面bde；(2)求证：cf平面bde；(3)求二面角abed的大小解析(1)设ac与bd交于点g，因为efag，且ef1，agac1，所以四边形agef为平行四边形所以afeg.因为eg平面bde，af平面bde，所以af平面bde. (2)因为正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，且ceac，所以ce平面abcd.如图以c为原点，建立空间直角坐标系cxyz.则c(0,0,0)，a(，0)，d(，0,0)，e(0,0,1)，f(，1)所以(，1)，(0，