广东省佛山市高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

广东省佛山市2015届高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数等于（）a1+2ib12ic2id2+i2（5分）已知集合m=xr|0x2，n=xr|x1，则m（rn）=（）a1，2）b（1，2）c0，1）d（0，13（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于（）a2b1c1d24（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=3x+y的最大值为（）a12b24c8d5（5分）已知两个单位向量的夹角为45，且满足（），则实数的值为（）a1bcd26（5分）在空间中，有如下四个命题：平行于同一个平面的两条直线是平行直线；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，则；过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直其中正确的两个命题是（）a、b、c、d、7（5分）某校2015届高三年级学生会主席团有共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为（）a0.35b0.4c0.6d0.78（5分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为f1，f2，过f2的直线与该双曲线的右支交于a、b两点，若|ab|=5，则abf1的周长为（）a16b20c21d269（5分）已知f（x）=xx2，且a，br，则“ab1”是“f（a）f（b）”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件10（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）a45b55c90d100二、填空题：本大共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）如果f（x）=，那么ff（2）=12（5分）已知点a（2，0），b（0，4）到直线l：x+my1=0的距离相等，则m的值为13（5分）如图，为了测量河对岸a、b两点之间的距离，观察者找到一个点c，从c点可以观察到点a、b；找到一个点d，从d点可以观察到点a、c；找到一个点e，从e点可以观察到点b、c；并测量得到一些数据：cd=2，ce=2，d=45，acd=105，acb=48.19，bce=75，e=60，则a、b两点之间的距离为（其中cos48.19取近似值）三、几何证明选讲14（5分）如图，p是圆o外一点，pa，pb是圆o的两条切线，切点分别为a，b，pa中点为m，过m作圆o的一条割线交圆o于c，d两点，若pb=2，mc=1，则cd=四、坐标系与参数方程15在极坐标系中，曲线c1：（cos+sin）=1与曲线c2：=a（a0）的一个交点在极轴上，则a=三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sin（x）（0，xr）的最小正周期为（1）求f（）（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间，上的图象，并根据图象写出其在（，）上的单调递减区间17（12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（aqi）（单位：g/m3）资料如下：（图1和表1）2014年11月份aqi数据日期12345678910aqi895552871247265264648日期11121314151617181920aqi583663788997747890117日期21222324252627282930aqi1371397763637764655545表12014年11月份aqi数据频率分布表分组频数频率20，40）40，60）60，80）80，100）100，120）120，140表2（） 请填好2014年11月份aqi数据的频率分布表（表2）并完成频率分布直方图（图2）；（） 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当aqi100时，空气质量为优良）试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？18（14分）如图，四棱锥pabcd，侧面pad是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面abcd是abc=60的菱形，m为pc的中点（） 求证：pcad；（） 在棱pb上是否存在一点q，使得a，q，m，d四点共面？若存在，指出点q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（） 求点d到平面pam的距离19（14分）已知数列an的前n项和为sn，若4sn=（2n1）an+1+1（nn），且a1=1（1）求证：数列an为等差数列；（2）设bn=，数列bn的前n项和为tn，证明：tn（nn）20（14分）已知点m（2，1），n（2，1），直线mp， np相交于点p，且直线mp的斜率减直线np的斜率的差为1设点p的轨迹为曲线e（） 求e的方程；（） 已知点a（0，1），点c是曲线e上异于原点的任意一点，若以a为圆心，线段ac为半径的圆交y轴负半轴于点b，试判断直线bc与曲线e的位置关系，并证明你的结论21（14分）设函数f（x）=的导函数为f（x）（a为常数，e=2.71828是自然对数的底数）（） 讨论函数f（x）的单调性；（） 求实数a，使曲线y=f（x）在点（a+2，f（a+2）处的切线斜率为；（） 当xa时，若不等式|+k|xa|1恒成立，求实数k的取值范围广东省佛山市2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数等于（）a1+2ib12ic2id2+i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：原式=2i，故选：c点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题2（5分）已知集合m=xr|0x2，n=xr|x1，则m（rn）=（）a1，2）b（1，2）c0，1）d（0，1考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：求出n的补集，从而求出其与m的交集解答：解：集合m=xr|0x2=（0，2），n=xr|x1=（1，+）rn=（，1mrn=（0，2）1，+）=（0，1故选：d点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题3（5分）若函数y=的图象关于原点对称，则实数a等于（）a2b1c1d2考点：函数奇偶性的性质；函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：根据函数y=的图象关于原点对称，得到函数y=f（x）是r上的奇函数，根据奇函数的定义求出a的值即可解答：解：令y=f（x），函数y=的图象关于原点对称，函数y=f（x）是r上的奇函数，f（x）=f（x）=，a=1，故选：b点评：本题考查了函数的奇偶性，是一道基础题4（5分）已知x，y满足不等式组，则目标函数z=3x+y的最大值为（）a12b24c8d考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形oabc及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=4，y=0时，z=3x+y取得最大值为12解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形oabc及其内部，其中o（0，0），a（4，0），b（，），c（0，8）设z=f（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点a时，目标函数z达到最大值z最大值=f（4，0）=12故选：a点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题5（5分）已知两个单位向量的夹角为45，且满足（），则实数的值为（）a1bcd2考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量的数量积的定义，可得两个单位向量的数量积，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值解答：解：由单位向量的夹角为45，则=11cos45=，由（），可得，（）=0，即=0，则1=0，解得=故选b点评：本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题6（5分）在空间中，有如下四个命题：平行于同一个平面的两条直线是平行直线；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，则；过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直其中正确的两个命题是（）a、b、c、d、考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：作图题分析：我们可以从正方体去观察理解，从空间两条直线的位置关系判断由线面垂直的性质定理判断；从两平面的位置关系判断；由射影的条数判断解答：解：平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面不正确；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质定理知正确；若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，可能平行，也可能相交，不正确；过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面故选b点评：本题主要考查了两直线的位置关系，两平面的位置关系及线面垂直的性质定理，斜线，垂线，射影等概念，作为客观题要多借助空间几何体来判断7（5分）某校2015届高三年级学生会主席团有共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为（）a0.35b0.4c0.6d0.7考点：古典概型及其概率计算公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：分别计算出从5名学生中选出2名学生进入学生会的基本事件总数和满足这两名选出的同学来自不同班级的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案解答：解：来自同一班级的3名同学，用1，2，3表示，来自另两个不同班级2名同学用，a，b表示，从中随机选出两名同学参加会议，共有12，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab共10种，这两名选出的同学来自不同班级，共有1a，1b，2a，2b，3a，3b共6种，故这两名选出的同学来自不同班级概率p=0.6故选：c点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键8（5分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为f1，f2，过f2的直线与该双曲线的右支交于a、b两点，若|ab|=5，则abf1的周长为（）a16b20c21d26考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的定义和性质，即可求出三角形的周长解答：解：由双曲线的方程可知a=4，则|af1|af2|=8，|bf1|bf2|=8，则|af1|+|bf1|（|bf2|+|af2|）=16，即|af1|+|bf1|=|bf2|+|af2|+16=|ab|+16=5+16=21，则abf1的周长为|af1|+|bf1|+|ab|=21+5=26，故选d点评：本题主要考查双曲线的定义，根据双曲线的定义得到a，b到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键9（5分）已知f（x）=xx2，且a，br，则“ab1”是“f（a）f（b）”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据二次函数的性质分别判断其充分性和必要性解答：解：画出函数f（x）=xx2的图象，如图示：，由图象得：f（x）在（，+）递减，ab1时，f（a）f（b），是充分条件，反之不成立，如f（0）=0f（）=1，不是必要条件，故选：a点评：本题考查了二次函数的性质，考查了充分必要条件，是一道基础题10（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）a45b55c90d100考点：归纳推理 专题：等差数列与等比数列；推理和证明分析：用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案解答：解：假设每次分堆时都是分出1个球，第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n1个，则乘积为1（n1）=n1；第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n2个，则乘积为1（n2）=n2；依此类推最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为11=1；设乘积的和为tn，则tn=1+2+（n1）=n（n1）当n=10时，t10=10（101）=45故选：a点评：本题主要考查等差数列的求和属基础题在解答选择填空题时，特殊值法是常用方法之一解决本题的关键在于特殊值法的应用二、填空题：本大共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）如果f（x）=，那么ff（2）=1考点：函数的值 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据x的范围，分别求出相对应的函数值，从而得到答案解答：解：f（2）=0，f（0）=1，即ff（2）=1，故答案为：1点评：本题考查了分段函数问题，考查了函数求值问题，是一道基础题12（5分）已知点a（2，0），b（0，4）到直线l：x+my1=0的距离相等，则m的值为或1考点：点到直线的距离公式 专题：直线与圆分析：利用点到直线的距离公式即可得出解答：解：由点到直线的距离公式可得=，即|4m1|=3，解得m=或1故答案为：或1点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题13（5分）如图，为了测量河对岸a、b两点之间的距离，观察者找到一个点c，从c点可以观察到点a、b；找到一个点d，从d点可以观察到点a、c；找到一个点e，从e点可以观察到点b、c；并测量得到一些数据：cd=2，ce=2，d=45，acd=105，acb=48.19，bce=75，e=60，则a、b两点之间的距离为（其中cos48.19取近似值）考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；解三角形分析：求出ac，通过正弦定理求出bc，然后利用余弦定理求出ab解答：解：依题意知，在acd中，a=30由正弦定理得ac=2在bce中，cbe=45，由正弦定理得bc=3在abc中，由余弦定理ab2=ac2+bc22acbccosacb=10ab=故答案为：点评：本题考查三角形的面积的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力三、几何证明选讲14（5分）如图，p是圆o外一点，pa，pb是圆o的两条切线，切点分别为a，b，pa中点为m，过m作圆o的一条割线交圆o于c，d两点，若pb=2，mc=1，则cd=2考点：与圆有关的比例线段 专题：立体几何分析：由切割线定理，得ma2=mcmd，由此能求出cd解答：解：由已知得ma=，ma是切线，mcd是割线，ma2=mcmd，mc=1，3=1（1+cd），解得cd=2故答案为：2点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用四、坐标系与参数方程15在极坐标系中，曲线c1：（cos+sin）=1与曲线c2：=a（a0）的一个交点在极轴上，则a=考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：根据cos=x，sin=y，2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值解答：解：曲线c1的极坐标方程为：（cos+sin）=1，曲线c1的普通方程是x+y1=0，曲线c2的极坐标方程为=a（a0）曲线c2的普通方程是x2+y2=a2曲线c1：（cos+sin）=1与曲线c2：=a（a0）的一个交点在极轴上令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sin（x）（0，xr）的最小正周期为（1）求f（）（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间，上的图象，并根据图象写出其在（，）上的单调递减区间考点：五点法作函数y=asin（x+）的图象；正弦函数的图象 专题：作图题；三角函数的图像与性质分析：（1）依题意先解得=2，可得解析式f（x）=sin（2x），从而可求f（）的值（2）先求范围2x，列表，描点，连线即可五点法作图象，并根据图象写出其在（，）上的单调递减区间解答：解：（1）依题意得=，解得=2，f（x）=sin（2x），f（）=sin（）=sincoscossin=（2）x，2x，列表如下：2x0xf（x）0101画出函数y=f（x）在区间，上的图象如下：由图象可知函数y=f（x）在（，）上的单调递减区间为（，），（，）点评：本题主要考察了五点法作函数y=asin（x+）的图象，三角函数的图象与性质，属于基础题17（12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（aqi）（单位：g/m3）资料如下：（图1和表1）2014年11月份aqi数据日期12345678910aqi895552871247265264648日期11121314151617181920aqi583663788997747890117日期21222324252627282930aqi1371397763637764655545表12014年11月份aqi数据频率分布表分组频数频率20，40）40，60）60，80）80，100）100，120）120，140表2（） 请填好2014年11月份aqi数据的频率分布表（表2）并完成频率分布直方图（图2）；（） 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当aqi100时，空气质量为优良）试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（） 根据题意，填写2014年11月份aqi数据的频率分布表，画出频率分布直方图；（）利用数据计算2013年与2014年的11月优良率是多少，比较数据信息得出结论解答：解：（） 根据题意，填写2014年11月份aqi数据的频率分布表，如下； 分组频数频率20，40）2 40，60）7 60，80）12 80，100）5 100，120） 1120，1403 ；根据频率分布表，画出频率分布直方图如下；（） 支持，理由如下：2013年11月的优良率为：，2014年11月的优良率为：，；利用数据信息得出“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”点评：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，是基础题目18（14分）如图，四棱锥pabcd，侧面pad是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面abcd是abc=60的菱形，m为pc的中点（） 求证：pcad；（） 在棱pb上是否存在一点q，使得a，q，m，d四点共面？若存在，指出点q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（） 求点d到平面pam的距离考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：（）法一：取ad中点o，连结op，oc，ac，依题意可知pad，acd均为正三角形，从而ad平面poc，由此能证明pcad法二：连结ac，依题意可知pad，acd均为正三角形，从而ampc，dmpc，由此能证明pcad（）当点q为棱pb的中点时，a，q，m，d四点共面取棱pb的中点q，连结qm，qa，由已知得qmbc，由此能证明a，q，m，d四点共面（）点d到平面pam的距离即点d到平面pac的距离，由已知得得po为三棱锥pacd的体高，由vdpac=vpacd，能求出点d到平面pam的距离解答：（）证法一：取ad中点o，连结op，oc，ac，依题意可知pad，acd均为正三角形，所以ocad，opad，又ocop=o，oc平面poc，op平面poc，所以ad平面poc，又pc平面poc，所以pcad证法二：连结ac，依题意可知pad，acd均为正三角形，又m为pc的中点，所以ampc，dmpc，又amdm=m，am平面amd，dm平面amd，所以pc平面amd，又ad平面amd，所以pcad（）解：当点q为棱pb的中点时，a，q，m，d四点共面，证明如下：取棱pb的中点q，连结qm，qa，又m为pc的中点，所以qmbc，在菱形abcd中adbc，所以qmad，所以a，q，m，d四点共面（）解：点d到平面pam的距离即点d到平面pac的距离，由（）可知poad，又平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，po平面pad，所以po平面abcd，即po为三棱锥pacd的体高在rtpoc中，在pac中，pa=ac=2，边pc上的高am=，所以pac的面积，设点d到平面pac的距离为h，由vdpac=vpacd得，又，所以，解得，所以点d到平面pam的距离为点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查四点共面的判断与求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养19（14分）已知数列an的前n项和为sn，若4sn=（2n1）an+1+1（nn），且a1=1（1）求证：数列an为等差数列；（2）设bn=，数列bn的前n项和为tn，证明：tn（nn）考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得4an=（2n1）an+1（2n3）an，从而=，由此能证明数列an是首项为1，公差为2的等差数列（2）由an=2n1，sn=n+=n2，得bn=，由此利用裂项求和法能证明tn（nn）解答：（1）证明：4sn=（2n1）an+1+1，n2时，4sn1=（2n3）an+1，得4an=（2n1）an+1（2n3）an，n2（2n+1）an=（2n1）an+1，=，an=1=2n1，anan1=（2n1）（2n3）=2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列（2）解：数列an是首项为1，公差为2的等差数列，an=2n1，sn=n+=n2，bn=，n2tn（1+）=tn（nn）点评：本题考查数列an为等差数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用20（14分）已知点m（2，1），n（2，1），直线mp，np相交于点p，且直线mp的斜率减直线np的斜率的差为1设点p的轨迹为曲线e（） 求e的方程；（） 已知点a（0，1），点c是曲线e上异于原点的任意一点，若以a为圆心，线段ac为半径的圆交y轴负半轴于点b，试判断直线bc与曲线e的位置关系，并证明你的结论考点：圆与圆锥曲线的综合 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设出p点坐标，依题意得列关于p点坐标的方程，化简后得答案；（） 证法一、设出c点坐标，把c的坐标代入e的轨迹方程，再求出圆a的方程，求出点b的坐标，进一步求出直线bc的方程，和抛物线方程联立后由判别式等于0可证直线bc与曲线e相切证法二：设出c点坐标，把c的坐标代入e的轨迹方程，再求出圆a的方程，求出点b的坐标，进一步求得直线bc的斜率，然后利用导数求出抛物线在过c点的切线的斜率，可得直线bc与曲线x2=4y过点c的切线重合，即说明直线bc与曲线e相切解答：解：（）设p（x，