高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用课件 苏教版选修11.ppt

3 4导数在实际生活中的应用 第3章导数及其应用 1 了解导数在解决实际问题中的作用 2 掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题 学习目标 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点生活中的优化问题 1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 2 利用导数解决优化问题的实质是求函数最值 3 解决优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的过程 优化问题 数学建模 题型探究 类型一几何中的最值问题 例1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场 如图 圆形广场的圆心为o 半径为100m 并与北京路一边所在直线l相切于点m 点a为上半圆弧上一点 过点a作l的垂线 垂足为点b 市园林局计划在 abm内进行绿化 设 abm的面积为s 单位 m2 aon 单位 弧度 1 将s表示为 的函数 命题角度1平面几何中的最值问题 解答 bm aosin 100sin ab mo aocos 100 100cos 0 5000 sin sin cos 0 解答 2 当绿化面积s最大时 试确定点a的位置 并求最大面积 s 5000 2cos2 cos 1 5000 2cos 1 cos 1 令s 0 当 变化时 s s的变化情况如下表 此时ab 150m 即点a到北京路一边l的距离为150m 平面图形中的最值问题一般涉及线段 三角形 四边形等图形 主要研究与面积相关的最值问题 一般将面积用变量表示出来后求导数 求极值 从而求最值 反思与感悟 跟踪训练1如图所示 在二次函数f x 4x x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形abcd 求这个矩形面积的最大值 解答 设点b的坐标为 x 0 且0 x 2 f x 4x x2图象的对称轴为x 2 点c的坐标为 4 x 0 bc 4 2x ba f x 4x x2 矩形面积为y 4 2x 4x x2 16x 12x2 2x3 y 16 24x 6x2 2 3x2 12x 8 例2请你设计一个包装盒如图所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得abcd四个点重合于图中的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb xcm 1 若广告商要求包装盒侧面积s最大 则x应取何值 命题角度2立体几何中的最值问题 解答 当且仅当x 30 x 即x 15时 等号成立 所以若广告商要求包装盒侧面积s最大 则x 15 2 若广告商要求包装盒容积v最大 则x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 解答 令v 0 得0 x 20 令v 0 得20 x 30 1 立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积 体积 并在此基础上解决与实际相关的问题 2 解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式 如果已知图形是由简单几何体组合而成 则要分析其组合关系 将图形进行拆分或组合 以便简化求值过程 反思与感悟 跟踪训练2周长为20cm的矩形 绕一条边旋转成一个圆柱 则圆柱体积的最大值为 cm3 答案 解析 设矩形的长为xcm 则宽为 10 x cm 0 x 10 由题意可知圆柱体积v x2 10 x 10 x2 x3 v 20 x 3 x2 类型二实际生活中的最值问题 例3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元 每生产1千件需另投入2 7万元 设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完 每千件的销售收入为r x 万元 且r x 1 求年利润w 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 解答 命题角度1利润最大问题 当0 x 10时 2 当年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 并求出最大值 解答 当x 0 9 时 w 0 当x 9 10 时 w 0 所以当x 9时 w取得最大值 综合 知 当x 9 千件 时 w取得最大值为38 6万元 答当年产量为9千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 最大利润为38 6万元 反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题 应灵活运用题设条件 建立利润的函数关系 常见的基本等量关系有 1 利润 收入 成本 2 利润 每件产品的利润 销售件数 解答 所以a 2 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解答 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值为42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 c x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 命题角度2费用 用料 最省问题 解答 而建造费用为c1 x 6x 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解答 当00 答当隔热层修建5cm厚时 总费用达到最小值为70万元 反思与感悟 1 用料最省 成本最低问题是日常生活中常见的问题之一 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确书写函数表达式 准确求导 结合实际作答 2 利用导数的方法解决实际问题 当在定义区间内只有一个点使f x 0时 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道在这个点取得最大 小 值 跟踪训练4某单位用2160万元购得一块空地 计划在该块空地上建造一栋至少10层 每层2000平方米的楼房 经测算 如果将楼房建x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为 560 48x 元 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建多少层 解答 设该楼房每平方米的平均综合费用为f x 元 令f x 0 得x 15 当x 15时 f x 0 当10 x 15时 f x 0 所以当x 15时 f x 取得最小值 即f 15 2000 答为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建15层 当堂训练 1 2 3 4 5 1 在某城市的发展过程中 交通状况逐渐受到更多的关注 据有关统计数据显示 从上午6时到9时 车辆通过该市某一路段的用时y 分钟 与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为 则在这段时间内 通过该路段用时最多的时刻是 时 答案 解析 8 1 2 3 4 5 当t 6 8 时 y 0 当t 8 9 时 y 0 故t 8时 y取最大值 1 2 3 4 5 设长方体的底面边长为xm 则高为 6 2x m 0 x 3 则长方体的体积为v x x2 6 2x 6x2 2x3 v x 12x 6x2 令v x 0 得x 2或x 0 舍去 当x 0 2 时 函数v x 是增函数 当x 2 3 时 函数v x 是减函数 当x 2时 v x max 4 2 8 m3 2 用长为24m的钢筋做成一个长方体框架 若这个长方体框架的底面为正方形 则这个长方体体积的最大值为 m3 8 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 300 1 2 3 4 5 令p x 0 得x 300 1 2 3 4 5 4 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方体容器 已知底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 元 答案 解析 160 1 2 3 4 5 令y 0 得x 2 所以当x 2时 ymin 160 元 1 2 3 4 5 5 某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x 单位 元 0 x 21 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 每星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 解答 设商品降价x元 则多卖的商品数为kx2 若记商品在一个星期的获利为f x 则有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 由已知条件 得24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 21 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解答 根据 1 f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 1 2 3 4 5 故当x 12时 f x 取得极大值 因为f 0 9072 f 12 11664 所以当定价为30 12 18 元 时 才能使一个星期的商品销售利润最大 规律与方法 1 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系