高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角课件 新人教A版必修4.ppt

第一章 三角函数 到过海边的人都知道 海水有涨潮和落潮现象 涨潮时 海水上涨 波浪滚滚 景色十分壮观 退潮时 海水悄然退去 露出一片海滩 在我国 有闻名中外的钱塘江涨潮 当潮流涌来时 潮端陡立 水花四溅 像一道高速推进的直立水墙 形成 滔天浊浪排空来 翻江倒海山为摧 的壮观景象 科学地讲 潮汐是海水在月球和太阳引潮力作用下发生的周期性运动 是海洋中常见的自然现象之一 实际上 现实中的许多运动变化都有着循环反复 周而复始的现象 这种变化规律称为周期性 在唐代诗人王湾的 次北固山下 中有这样的诗句 客路青山外 行舟绿水前 潮平两岸阔 风正一帆悬 海日生残夜 江春入旧年 诗中生动地描述了潮汐运动 昼夜交替的周期性变化规律 如何用数学的方法来刻画这种周期性的变化规律呢 本章将要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型 通过本章的学习 我们将知道 三角函数是怎样的一种函数 具有哪些特有的性质 在解决周期性变化规律的问题中能发挥哪些重要作用 1 1任意角和弧度制 1 1 1任意角 自主预习学案 1 任意角的概念 1 角的概念角可以看成平面内一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2 角的表示如图所示 始边 射线的起始位置oa 终边 射线的终止位置ob 顶点 射线的端点o 记法 图中的角 可记为 角 或 或 aob 端点 3 正角 负角 零角 逆时针 顺时针 任何旋转 这样 我们就把角的概念推广到任意角 包括正角 负角和零角 知识点拨 1 角的概念推广后 角度的范围不再限于0 360 0 360 是指0 360 2 确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数 表示角时 箭头的方向代表角的正负 因此箭头不能丢掉 顺时针旋转形成负角常常容易被忽视 当角的始边相同时 若角相等 则终边相同 终边相同 而角不一定相等 始边和终边重合的角不一定是零角 只有没作任何旋转 始边与终边重合的角才是零角 2 象限角使角的顶点与 重合 角的始边与 轴的非负半轴重合 那么 角的 除原点外 在第几象限 就说这个角是第几 即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内 不与 重合 如果角的终边在坐标轴上 就说这个角不属于任何象限 知识点拨 要正确区分锐角 0 90 的角 小于90 的角 第一象限角 锐角是0 90 的角 0 90 的角是0 90 的角 小于90 的角是 90 的角 包括零角 负角 第一象限角是 k 360 90 k 360 k z 所表示的角 这四个概念不能混淆 原点 x 终边 象限角 坐标轴 3 终边相同的角 1 研究终边相同的角的前提条件是 角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 2 终边相同的角的集合 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合s k z 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 k 360 知识点拨 理解集合s k 360 k z 要注意以下几点 1 式中角 为任意角 2 k z这一条件必不可少 3 k 360 与 之间是 如k 360 30 应看成k 360 30 即与 30 角终边相同 4 当 与 的终边相同时 k 360 k z 反之亦然 1 将射线om绕端点o按逆时针方向旋转120 所得的角为 a 120 b 120 c 60 d 240 2 2018 济南外国语期中 下列各角中 与 1110 的角终边相同的角是 a 60 b 60 c 30 d 30 解析 1110 3 360 30 所以与 30 的角终边相同 a d 3 下列说法正确的是 a 三角形的内角必为第一 二象限角b 始边相同而终边不同的角一定不相等c 第四象限角是负角d 钝角比第三象限角小 解析 对于a 当内角为90 时 不是第一 二象限角 根据角的含义 始边相同终边不同的角一定不相等 故b正确 第四象限角不一定是负角 如330 是第四象限角 又第三象限的角的集合为 k 360 180 k 360 270 k z 钝角90 180 与 的大小不能确定 与k的正负有关 故a c d错误 b正确 b 4 若 30 角的始边与x轴的非负半轴重合 现将 30 角的终边按逆时针方向旋转2周 则所得角是 690 互动探究学案 命题方向1 任意角 写出图 1 2 中的角 的度数 典例1 思路分析 1 弄清角的始边与终边 2 弄清逆时针还是顺时针 解析 图 1 中 360 30 330 图 2 中 360 60 150 150 360 60 360 60 150 570 跟踪练习1 如图 射线oa绕顶点o逆时针旋转45 到ob位置 并在此基础上顺时针旋转120 到达oc位置 则 aoc 解析 由角的定义可得 aoc aob boc 45 120 75 75 命题方向2 终边相同的角 已知角 2016 1 把 改写成k 360 k z 0 360 的形式 并指出它是第几象限角 2 求 使 与 终边相同 且 360 720 思路分析 先求出 判断角 所在的象限 用终边相同的角表示 满足的不等关系 求出k和 典例2 规律总结 1 把任意角化为 k 360 k z 且0 360 的形式 关键是确定k 可以用观察法 的绝对值较小 也可用除法 2 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时 其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式 再依条件构建不等式求出k的值 跟踪练习2 若将例题中 角 2016 改为 315 其他条件不变 结果如何 命题方向3 终边在某条直线上的角的集合 写出终边在如图所示的直线上的角的集合 思路分析 首先确定0 360 范围内终边在所给直线上的两个角 然后分别写出与两个角终边相同的角的集合 最后写出两个集合的并集即可 典例3 解析 1 在0 360 范围内 终边在直线y 0上的角有两个 即0 和180 又所有与0 角终边相同的角的集合为s1 0 k 360 k z 所有与180 角终边相同的角的集合为s2 180 k 360 k z 于是 终边在直线y 0上的角的集合为s s1 s2 k 180 k z 2 由图形易知 在0 360 范围内 终边在直线y x上的角有两个 即135 和315 因此 终边在直线y x上的角的集合为s 135 k 360 k z 315 k 360 k z 135 k 180 k z 3 由教材例题知终边在直线y x上的角的集合为 45 k 180 k z 结合 2 知所求角的集合为s 45 k 180 k z 135 k 180 k z 45 2k 90 k z 45 2k 1 90 k z 45 k 90 k z 规律总结 求解终边在某条直线上的角的集合的思路1 若所求角 的终边在某条射线上 则集合的形式为 k 360 k z 2 若所求角 的终边在某条直线上 则集合的形式为 k 180 k z 跟踪练习3 若 45 k 180 k z 则 的终边在第几象限 a 第一或第三b 第二或第三c 第二或第四d 第三或第四 解析 分k为奇数 偶数讨论角 的终边所在象限 a 命题方向4 区域角的表示 若角 的终边在下图中阴影所表示的范围内 则 角组成的集合为 解析 在0 360 范围内 终边落在阴影范围内的角是60 150 故满足条件的角的集合为 k 360 60 k 360 150 k z k 360 60 k 360 150 k z 典例4 规律总结 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角 其写法可分为三步 1 先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界 2 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 360 到360 范围内的角 和 写出最简区间 x x 3 起始 终止边界对应角 再加上360 的整数倍 即得区间角集合 跟踪练习4 写出图中阴影区域所表示角 的集合 包括边界 解析 1 k 360 30 k 360 90 k z k 360 210 k 360 270 k z 或写成 k 180 30 k 180 90 k z 2 k 360 45 k 360 45 k z 分角 倍角所在角限的判断思路 典例5 思路分析 解决这类问题有两种方法 分类讨论或几何法 解析 是第一象限角 k 360 k 360 90 k z 1 k 360 90 k 360 k z 所在区域与 90 0 范围相同 故 是第四象限角 2 2k 360 2 2k 360 180 k z 2 所在区域与 0 180 范围相同 故2 是第一 二象限角或终边落在y轴的非负半轴 b 集合概念理解错误 典例6 错解 k 0时 集合a中角 45 集合b中角 45 b a 故选b 辨析 错解对集合概念理解错误 应从集合中角的终边所在位置随k的变化入手解决 或用列举法解决 正解 当k为偶数时 集合a中角 的终边为一 四象限角的平分线 当k为奇数时 集合a中角 的终边为二 三象限角的平分线 角 的终边如图所示 故可以表示为k 90 45 a b 故选c 规律总结 1 可直接用列举法a 225 135 45 45 135 225 b 135 45 45 135 225 a b 2 可从分析两集合中相等的角入手解决 由k 180 45 n 90 45 得 n 2k或n 2k 1 k z n z a b 跟踪练习6 已知集合a k 180 30 k 180 90 k z 集合b k 360 45 k 360 45 k z 求a b 解析 如下图所示 a b中的角的始边和终边对应30 和45 角的终边 a b k 360 30 k 360 45 k z c 1 与 457 角终边相同的角的集合是 a k 360 457 k z b k 360 97 k z c k 360 263 k z d k 360 263 k z 解析 457 与 97 角终边相同 又 97 角与263 角终边相同 又263 角与k 360 263 角终边相同 应选c 2 215 是 a 第一象限角b 第二象限角c 第三象限角d 第四象限角 解析 由于 215 360 145 而145 是第二象限角 则