2014年苏北四市高三数学期末统考试题word版含答案.doc

第 1 页 共 16 页 苏 北 四 市 数 学 试 题 数学数学 必做题部分必做题部分 本部分满分 160 分 时间 120 分钟 参考公式 参考公式 锥体的体积公式 其中是锥体的底面面积 是高 1 3 VSh Sh 一 填空题 本题共一 填空题 本题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分分 请把答案填写在答题卡上请把答案填写在答题卡上 1 设复数为虚数单位 若为实数 则的值为 12 2i izzm m R i 12 zz m 2 已知集合 且 则实数的值是 2 Aa a 1 1 3 B AB a 3 某林场有树苗 3000 棵 其中松树苗 400 棵 为调查树苗的生长情况 采用分层抽样 的方法抽取一个容量为 150 的样本 则样本中松树苗的棵数为 4 在的边上随机取一点 记和的面积分别为和 则ABC ABPCAP CBP 1 S 2 S 的概率是 12 2SS 5 已知双曲线的一条渐近线方程为 22 22 1 xy ab 20 xy 则该双曲线的离心率为 6 右图是一个算法流程图 则输出的值是 S 7 函数的定义域为 lg 23 xx f x 8 若正三棱锥的底面边长为 侧棱长为 1 则此三棱锥2 的体积为 9 在 中 已知 且的面积ABC3AB o 120A ABC 为 则边长为 15 3 4 BC 10 已知函数 则不等式的 2f xx x 2 1 fxf 解集为 开始 结束 输出S 10n 2nn Y N 0 1Sn 第 6 题图 SSn 注意事项注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1 本试卷共 4 页 均为非选择题 第 1 题 第 20 题 共 20 题 本卷满分为 160 分 考试时间为 120 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置 3 作答试题 必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其它位 置作答一律无效 4 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等加黑 加粗 第 2 页 共 16 页 11 已知函数的最大值与最小正周期相同 则函数在 2sin 2 0 4 f xx f x 上的单调增区间为 1 1 12 设等比数列的前项和为 若成等差数列 且 n an n S 435 aaa 33 k S 1 63 k S 其中 则的值为 k N 2k S 13 在平面四边形中 已知 点分别在边上 且ABCD3AB 2DC E F AD BC 若向量与的夹角为 则的值为 3ADAE 3BCBF AB DC 60 AB EF 14 在平面直角坐标系中 若动点到两直线 和 的距xOy P a b 1 lyx 2 l2yx 离之和为 则的最大值为 2 2 22 ab 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知向量 cos sin a 2 1 b 1 若 求的值 ab sincos sincos 2 若 求的值 2 ab 0 2 sin 4 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 点分别是棱的中点 PABC E F PC AC 1 求证 平面 PABEF 2 若平面平面 求证 PAB ABCPBBC BCPA P A B C F E 第 16 题图 第 3 页 共 16 页 17 本小题满分 14 分 某单位拟建一个扇环面形状的花坛 如图所示 该扇环面是由以点为圆心的两个 O 同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成 按设计要求扇环面的周长为 30 米 O 其中大圆弧所在圆的半径为 10 米 设小圆弧所在圆的半径为米 圆心角为 弧x 度 1 求关于的函数关系式 x 2 已知在花坛的边缘 实线部分 进行装饰时 直线部分的装饰费用为 4 元 米 弧 线部分的装饰费用为 9 元 米 设花坛的面积与装饰总费用的比为 求关于 yy 的函数关系式 并求出为何值时 取得最大值 xx y 18 本小题满分 16 分 已知的三个顶点 其外接圆为 ABC 1 0 A 1 0 B 3 2 CHA 1 若直线 过点 且被截得的弦长为 2 求直线 的方程 lCHAl 2 对于线段上的任意一点 若在以为圆心的圆上都存在不同的两点 BHPC M N 使得点是线段的中点 求的半径的取值范围 MPNCAr O 第 17 题图 第 4 页 共 16 页 19 本小题满分 16 分 已知函数 为常数 其图象是曲线 32 5 2 f xxxaxb a bC 1 当时 求函数的单调减区间 2a f x 2 设函数的导函数为 若存在唯一的实数 使得与 f x fx 0 x 00 f xx 同时成立 求实数的取值范围 0 0fx b 3 已知点为曲线上的动点 在点处作曲线的切线与曲线交于另一点 ACAC 1 lCB 在点处作曲线的切线 设切线的斜率分别为 问 是否存在常数BC 2 l 12 l l 12 k k 使得 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 21 kk 20 本小题满分 16 分 已知数列满足 是数列 n a 1 ax 2 3ax 2 11 32 2 nnn SSSnnn N n S 的前项和 n an 1 若数列为等差数列 n a 求数列的通项 n a 若数列满足 数列满足 试比较数列 n b2 n a n b n c 2 21nnnn ct btbb 前项和与前项和的大小 n bn n B n cn n C 2 若对任意 恒成立 求实数的取值范围 n N 1nn aa x 第 5 页 共 16 页 F E D C B A 第 21 A 图 数 学 试 题 数学数学 附加题部分附加题部分 注意事项注意事项 1 本试卷共 2 页 均为非选择题 第 21 题 第 23 题 共 4 题 本卷满分为 40 分 考 试时间为 30 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 作答试题 必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其它位 置作答一律无效 21 选做题选做题 本题包括本题包括 A A B B C C D D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内 作答作答 若多做 则按作答的前两题评分若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步解答时应写出文字说明 证明过程或演算步 骤骤 A 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 点为锐角的内切圆圆心 过点作直线DABC ABD 的垂线 垂足为 圆与边相切于点 若 FDACE50C 求的度数 DEF B 选修选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 本小题满分 10 分 设矩阵 其中 若曲线在矩阵所对应的变 0 0 a b M00ab C 22 1xy M 换作用下得到曲线 求的值 2 2 1 4 x Cy a b C 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系中 已知直线 的参数方程是 为参数 以xOyl 2 2 2 4 2 2 xt yt t 为极点 轴正半轴为极轴的极坐标系中 圆的极坐标方程OxC 为 由直线 上的点向圆引切线 求切线长的最小值 2cos 4 lC 第 6 页 共 16 页 D 选修选修 4 5 不等式证明选讲 不等式证明选讲 本小题满分 10 分 已知均为正数 证明 a b c 2222 111 6 3abc abc 必做题必做题 第第 2222 题 第题 第 2323 题 每题题 每题 1010 分 共计分 共计 2020 分分 请在答题卡指定区域内作答 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 某品牌汽车 4店经销三种排量的汽车 其中三种排量的汽车依次有S A B C A B C 4 3 款不同车型 某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车 且购买每款车型等可 能 1 求该单位购买的 3 辆汽车均为种排量汽车的概率 B 2 记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为 求的分布列及数学期望 XX 23 本小题满分 10 分 已知点 动点满足 1 0 A 1 0 FP2 AP AFFP 1 求动点的轨迹的方程 PC 2 在直线 上取一点 过点作轨迹的两条切线 切点分别为l22yx QQC 问 是否存在点 使得直线 若存在 求出点的坐标 若不 M NQMNlQ 存在 请说明理由 第 7 页 共 16 页 参考答案 数学 部分 一 填空题 一 填空题 1 2 3 4 5 6 7 2120 1 3 525 0 8 9 10 11 12 13 14 1 6 7 1 1 3 4 4 1297 18 二 解答题 15 1 由可知 所以 ab2cossin0 a bsin2cos 2 分 所以 sincos2coscos1 sincos2coscos3 6 分 2 由可得 cos2 sin1 ab 22 cos2 sin1 ab64cos2sin2 即 12cossin0 10 分 又 且 由 可解得 22 cossin1 0 2 12 分 3 sin 5 4 cos 5 第 8 页 共 16 页 所以 22 347 2 sin sincos 4225510 14 分 16 1 在中 分别是 的中点 所以 PAC EFPCAC PAEF 又平面 平面 PA BEFEF BEF 所以平面 6 分 PABEF 2 在平面内过点作 垂足为 PABPPDAB D 因为平面平面 平面平面 PAB ABCPAB ABCAB 平面 所以平面 8 分PD PABPD ABC 又平面 所以 BC ABCPDBC 10 分 又 平面 PBBC PDPBP PD PAB 平面 所以平面 PB PABBC PAB 12 分 又平面 所PA PAB 以 14 分BCPA 17 1 设扇环的圆心角为 则 30102 10 xx 所以 102 10 x x 4 分 2 花坛的面积 为 7 分 222 1 10 5 10 550 010 2 xxxxx x 装饰总费用为 9108 10 17010 xxx 9 分 所以花坛的面积与装饰总费用的比 22 550550 1701010 17 xxxx y xx 11 分 令 则 当且仅当 t 18 时取等号 此时17tx 3913243 101010 yt t P A B C F E D 第 9 页 共 16 页 12 1 11 x 答 当时 花坛的面积与装饰总费用的比最1x 大 14 分 注 注 对也可以通过求导 研究单调性求最值 同样给分 y 18 1 线段的垂直平分线方程为 线段的垂直平分线方程为 AB0 x BC30 xy 所以外接圆圆心 半径 ABC 0 3 H 22 1310 圆的方程为 H 22 3 10 xy 4 分 设圆心到直线 的距离为 因为直线 被圆截得的弦长为 2 所以HldlH 2 10 13d 当直线 垂直于轴时 显然符合题意 即为所求 lx3x 6 分 当直线 不垂直于轴时 设直线方程为 则lx2 3 yk x 解得 2 31 3 1 k k 4 3 k 综上 直线 的方程为或 l3x 4360 xy 8 分 2 直线的方程为 设 BH330 xy 01 P m nmN x y 因为点是线段的中点 所以 又都在半径为的圆MPN 22 mx ny M M Nr 上 C 所以 即 10 分 222 222 3 2 3 2 22 xyr mxny r 222 222 3 2 6 4 4 xyr xmynr 因为该关于的方程组有解 即以为圆心 为半径的圆与以 x y 3 2 r 为圆心 6 4 mn 为半径的圆有公共点 所以 2r 2222 2 36 24 2 rrmnrr 第 10 页 共 16 页 12 分 又 所以对 成立 330mn 222 1012109rmmr 0 1 m 而在 0 1 上的值域为 10 所以 2 101210f mmm 32 5 且 15 分 2 32 5 r 2 r10 9 又线段与圆无公共点 所以对成立 BHC 222 3 332 mmr 0 1 m 即 2 32 5 r 故圆的半径的取值范围为 Cr 10 4 10 35 16 分 19 1 当时 2a 2 352 31 2 fxxxxx 2 分 令 f x 0 解得 所以 f x 的单调减区间为 1 2 3 x 1 2 3 4 分 2 由题意知消去 2 35fxxxa 2 00 32 0000 350 5 2 xxa xxaxbx a 得有唯一 32 000 5 20 2 xxxb 解 6 分 令 则 32 5 2 2 g xxxx 2 651 21 31 g xxxxx 所以在区间 上是增函数 在上是减函数 g x 1 2 1 3 11 23 8 分 又 11 28 g 17 354 g 故实数的取值范围是 b 71 548 10 分 3 设 则点处切线方程为 00 A xf xA 000 yf xfxxx 第 11 页 共 16 页 与曲线 联立方程组 得 即C yf x 000 f xf xfxxx 2 00 5 2 2 xxxx 所以点的横坐标 B 0 5 2 2 B xx 12 分 由题意知 2 1000 35kfxxxa 2 2000 525 2 1220 24 kfxxxa 若存在常数 使得 则 21 kk 22 0000 25 1220 35 4 xxaxxa 即存在常数 使得 2 00 25 4 35 1 4 xxa 所以解得 40 25 1 0 4 a 4 25 12 a 15 分 故时 存在常数 使 时 不存在常数 25 12 a 4 21 4kk 25 12 a 使 16 分 21 kk 20 1 因为 所以 2 11 32 2 nnn SSSnnn N 321 14SSS 即 又 所以 321 2314aaa 12 3ax ax 3 149ax 2 分 又因为数列成等差数列 所以 即 解得 n a 213 2aaa 6149xxx 1x 所以 1 111221 n aandnnn N 4 分 因为 所以 其前项和 21 n ann N 21 220 n an n b n0 n B 又因为 22 21 1641 nnnnn ct btbbttb 5 分 所以其前项和 所以 n 2 1641 nn CttB 2 2 821 nnn CBttB 7 分 第 12 页 共 16 页 当或时 当或时 1 4 t 1 2 t nn CB 1 4 t 1 2 t nn CB 当时 11 42 t 9 分 nn CB 2 由知 2 11 32 2 nnn SSSnnn N 2 21 312 nnn SSSnn N 两式作差 得 21 63 2 nnn aaannn N 10 分 所以 作差得 321 613 nnn aaann N 3 6 2 nn aann N 11 分 所以 当时 1n 1n aax 当时 31nk 312 16366234 nk aaakxknx 当时 3nk 33 1614966298 nk aaakxknx 当时 31nk 14 分 314 161666267 nk aaakxknx 因为对任意 恒成立 所以且 n N 1nn aa 12 aa 3133132kkkk aaaa 所以 解得 故实数的取值范围 3 636698 698665 66563 xx kxkx kxkx kxkx 137 156 x x 为 16 分 13 7 15 6 数学 部分 21 选做题选做题 A 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 第 13 页 共 16 页 由圆与边相切于点 得 因为 得 DACE90AED DFAF 90AFD 所以四点共圆 所以 A D F EDEFDAF 5 分 又 111 180 90 222 ADFABDBADABCBACCC 所以 由 1 90 2 DEFDAFADFC 50C 得 10 分25DEF B 选修选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 设曲线上任意一点 在矩阵所对应的变换作用下得到点C 22 1xy P x yM 111 P x y 则 即 1 1 0 0 xax byy 1 1 axx byy 5 分 又点在曲线上 所以 则为曲线 111 P x y 2 2 1 4 x Cy 2 2 1 1 1 4 x y 2 2 1 4 ax by 的方程 C 又曲线的方程为 故 C 22 1xy 2 4a 2 1b 因为 所以 00ab 3ab 10 分 C 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 因为圆的极坐标方程为 所以C sin2cos2 sin2cos2 2 所以圆的直角坐标方程为 圆心为 半径C022 22 yxyx 2 2 2 2 为 1 4 分 第 14 页 共 16 页 因为直线 的参数方程为 为参数 l 2 2 2 4 2 2 xt yt t 所以直线l上的点向圆 C 引切线长是 22 4 2 22 tt P 22 2 22 2222 4 214242 6 2222 tt PCRt 所以直线l上的点向圆 C 引的切线长的最小值是62 10 分 D 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 证法证法一 因为均为正数 由均值不等式得 a b c 2 222 3 abcabc 3 2 分 因为 所以 1 3 111 abc abc 3 2 2 3 111 abc abc 9 5 分 故 22 2222 33 111 abcabcabc abc 39 又 3 所以原不等式成 22 33 9