电子科技大学微积分讲座之积分.pdf

仅供参考 仅供参考 一一一一 积分极限问题积分极限问题积分极限问题积分极限问题 二二二二 积分计算问题积分计算问题积分计算问题积分计算问题 三三三三 积分方程问题积分方程问题积分方程问题积分方程问题 四四四四 积分证明问题积分证明问题积分证明问题积分证明问题 五五五五 积分变量问题积分变量问题积分变量问题积分变量问题 仅供参考 仅供参考 22222 1lim 12 n nnn I nnnn 例 求极限 例 求极限 2 1 11 lim 1 n n i I i n n 解 解 1 2 0 1 d 1 x x 4 0 1 lim n b ii a i f x dxfx 1 lim n n i i baba f a nn 仅供参考 2 sinsinsin 2lim 11 1 2 n n nnn I n nn n 例 求 例 求 解 将数列适当放大和缩小 以简化成积分和解 将数列适当放大和缩小 以简化成积分和 111 sin 11 sinsin 1 1 nnn kkk k nkk n nnnnn n k 已知已知 1 0 1 12 limsinsind n n k k x x nn 2 I 利用夹逼定理可得 利用夹逼定理可得 lim1 1 n n n 仅供参考 2 1 111 21 sinsinsin lim n n nnn n nn J nnn 思考 思考 提示提示 由上题由上题 1 1 1 sinsin limlim 1 n nn nn n JI nn 2 00 2 2 11 2 sinsinsin2 lim 1 n nnn n n I nnn 仅供参考 12 222 3lim 11 1 2 n nnn n L n nn n 求极限 求极限 1 1 lim2 1 i n n n i n nn 左左 1 0 2 d x x 1 11 lim2 ln2 i n n n i n 右边右边 11 11 lim2lim2 1 ii nn nn nn ii L nn 解 解 1 ln2 L 仅供参考 limln n n n I n 例4 计算 例4 计算 lnln n n n nn nn 解 解 1 ln n n nn 1 1 ln n i i n n 1 0 limlnln n n n Ixdx n 1 n nenn 仅供参考 仅供参考 积分计算基本方法积分计算基本方法积分计算基本方法积分计算基本方法 1 直接积分法 通过简单变形 直接积分法 通过简单变形 利用基本积分公式和运算法则 计算积分 利用基本积分公式和运算法则 计算积分 2 换元积分法 换元积分法 运动中观察对象运动中观察对象 df xx 第一类换元法第一类换元法 dfttt 第二类换元法第二类换元法 xt 3 分部积分法 分部积分法 不同性质的函数积分不同性质的函数积分 udvuvvdu 仅供参考 4 几种特殊函数积分 有理函数 几种特殊函数积分 有理函数 裂项裂项 多项式及 部分分式 指数函数有理式 多项式及 部分分式 指数函数有理式 指数代换指数代换 三角函数有理式三角函数有理式 万能代换万能代换 简单无理函数简单无理函数 三角代换三角代换 根式代换根式代换 仅供参考 21 22 00 1 1 x yy f xedyxf x dx 例 设求例 设求 1 2 0 1 dxf xx 解 解 1 1 33 0 0 11 1 1 d 33 xf xxfxx 21 32 0 1 1 d 3 xx xex 21 2 1 12 0 1 1 d 1 6 x xex 2 1 ux 令 令 1 0 d 6 u e ueu 1 0 1 6 u e ue 1 2 6 e 仅供参考 2 0 1 0 1 2 3 2 5 fxfff 例 设在连续 且 例 设在连续 且 11 00 1 2 dd 2 2 x fxxxfx 解 解 1 1 0 0 1 2 2 d 2 x fxfxx 1 0 51 2 24 fx 2 分部积分 分部积分 1 0 2 d x fxx 求求 仅供参考 0 3 0 0 2 1 sin fxff If xfxxdx 例设在上连续 求 例设在上连续 求 00 sin sin If xxdxfxxdx 解 解 00 cos sin f x dxxd fx 0 0 cos cos f xxfxxdx 0 0 sin cosfxxfxxdx 0 ff 213 仅供参考 cos 4 d x f xx fxx x 例已知的一个原函数为求例已知的一个原函数为求 dd xfxxxf x 解 解 dx f xf xx coscosxx xC xx cos sin2 x xC x 说明 说明 此题若先求出此题若先求出 fx 再求积分反而复杂 再求积分反而复杂 2 2sin2cos dcosd xx xfxxxx xx 仅供参考 1sin 1cos x x e Idx x 例5求积分例5求积分 1sin 1cos 1cos 1cos x xx e Idx xx 解 解 22 cos cot sinsinsin xx x x eex dxexdxdx xx e dx x 1 cotcot sisnin xx x x e de dxxdee d x x x sinsin xx ee dx xx cot sin x x e exC x cotcotc sin ot xxx x e dxexxdexde x 仅供参考 2 22 21 1 x xxe Idx x 例6求积分例6求积分 222 2 1 1 xx exe Idxdx xx 解 解 22 1 11 x x e dxe d xx 222 111 xxx eee dxdx xxx 2 1 x e C x 仅供参考 2 4 4 sin 7d 1 x x Ix e 例 计算例 计算 22 0 4 0 4 sinsin dd 11 xx xx Ixx ee 解 解 xt 第一式令 第一式令 2 4 0 11 sin d 11 xx xx ee 2 4 0 sindxx 1 2 8 仅供参考 2012 0 2 20122012 0 2 1 tan 1 cot 1 tan x Idtdx tx 2 2012 0 1 8 1 tan Idx x 例 计算例 计算 2 xt 解 令 则 解 令 则 2 2012 0 1 21 tan dx x 4 I 仅供参考 2 sin 9arctan 1cos x xx Ie dx x 例 计算例 计算 2 sin arctan 1cos x xx f xeg xg x x 解 设为偶函数 解 设为偶函数 0 Ig x f x dxfx gxg x f x dx 0 fxf x g x dx arctanarctan xx F xee 设 设 0 FxF xA 即 即 0 0 22 xAFf xfx 令得即 令得即 仅供参考 0 Ig x f x dx 2 2 0 sin 21cos x dx x 2 0 sin 21cos xx dx x 3 2 仅供参考 101 d xx 例求例求 1 1 1 1 1 xx Fxx x x 解 设 解 设 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 xxCx F x xxCx 1 1 1 F xFFF 连续 则 连续 则 12 11 22 CCC 2 2 1 1 1 2 1 d 1 1 1 2 xCx xxF x xCx 仅供参考 仅供参考 99 1 cos d0 b a cxcxcx 例 选择常数 使例 选择常数 使 txc 解 令则 解 令则 9999 cos dcosd bb c aa c xcxcxtt t 因为被积函数为奇函数因为被积函数为奇函数 故选择故选择c 使使 acbc 2 ab c 即 即 可使原式为可使原式为 0 仅供参考 2sin ln Ix dx 例 求例 求 sin ln x dx 解 解 sin ln sin ln xxxdx 1 sin ln cos ln xxxxdx x sin ln cos ln cos ln xxxxxdx sin ln cos lsin n lnxx dxxx sin ln sin ln cos ln 2 x x dxxxC 仅供参考 3cossin 3d cossin xx Ix xx 例 求例 求 解 令解 令 cos sinABxABx 3 1 2 1 AB AB AB d cossin d2 cossin xx Ix xx ln cossinxxxC cossin d cossin axbx x cxdx 说明 此方法适用于形如的积分 说明 此方法适用于形如的积分 3cossin cossin cossin xxAxxBx x 仅供参考 12 sincos 4dd cossincossin xx IxIx axbxaxbx 例 求及例 求及 211 cossin d cossin axbx a Ib IxxC axbx 解 解 2 lncossinaxbxC 122 222 1 lncossin 1 lncossin IbxaaxbxC ab IaxbaxbxC ab 21 cossin d cossin bxax bIa Ix axbx d cossin cossin axbx axbx 仅供参考 4 2 ln 9 5 ln 9 ln 3 x dx I xx 例 求例 求 93xy 解 换元得 解 换元得 4 2 ln 3 ln 3 ln 9 y Idy yy 4 2 ln 9 ln 3 22 ln 9 ln 3 xx Idx xx 1I 仅供参考 2 0 6 1tan r dx IrR x 例 求例 求 2 xu 解 令 解 令 0 2 1cot r du I u 22 00 tantan 1tan1tan rr rr udux dx ux 2 0 1tan 2 1tan2 r r u Idu u 4 I 仅供参考 2 0 d 1 1 a x IaR xx 计算例7 计算例7 tan xt 解 令 解 令 2 0 d 1tana t I t 2 0 cosd sincos a aa tt tt 2 tu 令则 令则 0 2 sind cossin a aa u u I uu 2 0 sind sincos a aa tt tt 2 0 cossin d 2 sincos aa aa ttt I tt 2 4 I 仅供参考 仅供参考 1 0 1 f x例 设为上单调递减连续函数例 设为上单调递减连续函数 1 00 0 1 d d q qf xxqf xx 证明 有证明 有 用积分中值定理用积分中值定理 1 00 d d q f xxqf xx 1 0 1 d d q q qf xxqf xx 12 1 1 qq fqqf 1 2 0 1 q q 0 101qqq 证明 时结论成立 当时 证明 时结论成立 当时 12 1 qqff 0 故所给不等式成立 故所给不等式成立 仅供参考 22 sincos 00 arcsindarccosd 0 42 xx ttttx 22 sincos 00 arcsindarccosd xx f xtttt 证明 令证明 令 2sincos2sincos0fxxxxxxx 0 2 f xCx 例 设且 证明 例 设且 证明 2 d d bb aa x f xxba f x 2 d d xx aa t F xf ttxa f t 证明 设 证明 设 2d x a f xf t t f tf x 2 d x a f xf t t f x f t 0 xaf x 0 故故F x 单调不减单调不减 0F bF a 即即 成立成立 d1 d2 xx aa t Fxf xf ttxa f tf x 则则 仅供参考 静止是相对的 运动是绝对的静止是相对的 运动是绝对的 仅供参考 解 将解 将I看成为看成为b的函数 的函数 a固定 记为固定 记为I b 即 即 ln 01 aICaaIab显然令显然令 ln 求导得两端对令求导得两端对令bdx x xx bI ab 1