中考数学复习 第七单元 三角形 第23课时 等腰三角形课件.ppt

第23课时等腰三角形 1 2016 怀化 等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm 则它的周长为 a 16cmb 17cmc 20cmd 16cm或20cm2 等腰三角形的一个内角是80 则它的顶角的度数是 a 80 b 80 或20 c 80 或50 d 20 小题热身 c b 3 如图23 1 在 abc中 ab ac d为bc中点 bad 35 则 c的度数为 a 35 b 45 c 55 d 60 图23 1 c 4 2017 丽水 等腰三角形的一个内角为100 则顶角的度数是 解析 根据三角形的内角和等于180 又 等腰三角形的一个内角为100 这个100 的内角只可能是顶角 故填100 100 5 2016 遵义 如图23 2 在 abc中 ab bc abc 110 ab的垂直平分线de交ac于点d 连结bd 则 abd 度 解析 在 abc中 ab bc abc 110 a c 35 ab的垂直平分线de交ac于点d ad bd abd a 35 图23 2 35 6 如图23 3 bd是 abc的角平分线 abd 36 c 72 则图中的等腰三角形有 个 图23 3 3 一 必知5知识点1 等腰三角形的概念和性质定义 有两 相等的三角形是等腰三角形 性质 1 等腰三角形是 顶角平分线所在直线是它的对称轴 2 等腰三角形的两个底角相等 简称 3 等腰三角形的顶角 底边上的 和高线互相重合 简称等腰三角形三线合一 考点管理 边 轴对称图形 等边对等角 平分线 中线 智慧锦囊 等腰三角形常见结论 1 等腰三角形两腰上的高线相等 2 等腰三角形两腰上的中线相等 3 等腰三角形两底角的平分线相等 4 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半 5 等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 6 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线 7 等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高线 2 等腰三角形的判定判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这个三角形是等腰三角形 简称等角对等边 拓展 1 一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形 2 一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形 3 一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形 3 等边三角形的性质定理 等边三角形的各个角都等于60 4 等边三角形的判定 判定定理 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 2 有一个角等于60 的 三角形是等边三角形 5 线段的垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 判定 到线段两端距离相等的点在这条线段的 上 等腰 相等 垂直平分 线 智慧锦囊 1 等腰三角形的性质常用于证明角相等 线段相等 直线垂直 其用途较广 题型变化多 2 已知等腰三角形 常添的辅助线是作底边上的高线 或顶角平分线或底边上的中线 3 等腰三角形是轴对称图形 对称轴是底边的垂直平分线 二 必会2方法1 分类讨论在等腰三角形中 若条件中没有明确底和腰时 一般应从某一边是底还是腰进行讨论 还要注意构造三角形的条件 满足三边关系 同样在条件中没有明确底角和顶角时 也要进行分类讨论 2 方程思想与等腰三角形有关的角度计算 常用方程思想 结合三角形内角和等于180 来解 是中考的热点考题 等腰三角形的性质 2017 滨州 如图23 4 在 abc中 ab ac d为bc上一点 且cd ad ab bd 则 b的度数为 a 40 b 36 c 30 d 25 图23 4 b 解析 ab ac b c ab bd bad bda c cad cd ad c cad bad cad b c 180 5 b 180 b 36 点悟 根据等腰三角形的性质进行角度计算 常与三角形内角和结合 利用方程求解 1 2018 中考预测 如图23 5 在 abc中 d为ab上一点 e为bc上一点 且ac cd bd be a 50 则 cde的度数为 a 50 b 51 c 51 5 d 52 5 图23 5 d 2 如图23 6 在 abc中 已知ab ac ad平分 bac 点m n分别在ab ac边上 am 2mb an 2nc 求证 dm dn 证明 am 2mb an 2nc ab ac am an ad平分 bac mad nad 图23 6 线段的垂直平分线的性质与判定 2017 益阳 如图23 7 在 abc中 ab ac bac 36 de是线段ac的垂直平分线 若be a ae b 则用含a b的代数式表示 abc的周长为 图23 7 解析 ab ac be a ae b ac ab a b de是线段ac的垂直平分线 ae ce b eca bac 36 abc acb 72 bce acb eca 36 bec 180 abc ecb 72 ce bc b abc的周长为ab ac bc 2a 3b 2a 3b 1 2016 长沙 如图23 8 在 abc中 ac 8 bc 5 ab的垂直平分线de交ab于点d 交边ac于点e 则 bce的周长为 图23 8 13 2 2017 酒泉 如图23 9 一张三角形纸片abc c 90 ac 8cm bc 6cm 现将纸片折叠 使点a与点b重合 那么折痕长等于 cm 图23 9 变式跟进2答图 3 在 abc中 ab ac ab的垂直平分线与ac所在的直线相交所得锐角为50 则 b 变式跟进3答图 20 或70 等腰三角形的判定 2017 连云港 如图23 10 已知等腰三角形abc中 ab ac 点d e分别在边ab ac上 且ad ae 连结be cd 相交于点f 1 判断 abe与 acd的数量关系 并说明理由 2 求证 过点a f的直线垂直平分线段bc 解析 1 根据全等三角形的判定sas可证明 abe acd 然后证 abe acd 2 根据 1 的结论可得ab ac 从而得 abc acb abe acd 图23 10 fbc fcb fb fc 得点a f均在线段的垂直平分线上 即可证出结论 解 1 abe acd 理由 ab ac bae cad ae ad abe acd abe acd 2 证明 ab ac abc acb 由 1 可知 abe acd fbc fcb fb fc 又 ab ac 点a f均在线段bc的垂直平分线上 即直线af垂直平分线段bc 1 如图23 11 在 abc中 点d e分别在边ac ab上 bd与ce交于点o 给出下列三个条件 ebo dco be cd ob oc 1 上述三个条件中 由哪两个条件可以判定 abc是等腰三角形 用序号写出所有成立的情形 2 请选择 1 中的一种情形 写出证明过程 图23 11 解 1 2 选 证明 在 boe和 cod中 ebo dco eob doc be cd boe cod aas bo co obc ocb ebo obc dco ocb 即 abc acb ab ac 即 abc是等腰三角形 2 如图23 12 点e f在bc上 be cf a d b c af与de交于点o 1 求证 ab dc 2 试判断 oef的形状 并说明理由 解析 1 证明 abf dce 2 由等角对等边可判断其形状 图23 12 解 1 证明 be cf be ef cf ef 即bf ce 又 a d b c abf dce aas ab dc 2 oef为等腰三角形 理由 abf dce afb dec oe of oef为等腰三角形 点悟 判定等腰三角形的一般方法是 两边相等 和 等角对等边 这两种 这就涉及证明线段相等或角相等的问题 结合三角形全等可以解决 等边三角形的性质与判定 2018 中考预测 如图23 13 abc是等边三角形 d e分别是ab bc边上的动点 与点a b c不重合 并始终保持bd ce 1 当点d e运动到如图 所示的位置时 求证 cd ae 2 把图 中的 ace绕着a点顺时针旋转60 到 abf的位置 如图 分别连结df ef 找出图中所有的等边三角形 abc除外 并对其中一个给予证明 图23 13证明 1 abc是等边三角形 bc ca b eca 60 又 bd ce bcd cae sas cd ae 2 图中有2个等边三角形 分别是 bdf afe 由题意知 ace abf bf ce abf eca 60 又 bd ce bd ce bf bdf是等边三角形 af ae fae 60 afe是等边三角形 点悟 在几何问题的解答过程中 有一部分思路来源于灵感 这种灵感建立在对一些几何图形的基本性质 如本题是等边三角形的基本性质 的掌握之上 借助这些图形的特性 可以启发我们寻找解答问题的思路和方法 如图23 14 在等边三角形abc中 点d e分别在边bc ac上 且de ab 过点e作ef de 交bc的延长线于点f 1 求 f的度数 2 若cd 2 求df的长 解 1 abc为等边三角形 a b acb 60 de ab edf b 60 ef de def 90 f 180 def edf 30 图23 14 2 de ab dec a 60 def 90 cef 30 f ce cf 又 edf ced acb 60 cde为等边三角形 cd ce df dc cf dc ce 2cd cd 2 df 4 必明3易错点1 等边三角形是等腰三角形 但等腰三角形不一定是等边三角形 2 解答等腰三角形的有关问题时 常作辅助线 构造出 三线合一 的基本图形 在添加辅助线时 要根据具体情况而定 表达辅助线的语句不能限制太多 如 作一边上的高线并且要平分这条边 作一个角的平分线并且垂直于对边 等 这些都是不正确的 3 在解有关等腰三角形的问题时 不要总认为腰大于底 实际上底也可以大于腰 此时也能构成三角形 分类讨论防漏解1 已知等腰三角形的一个内角为70 角 则另外两个内角的度数是 a 55 55 b 70 40 c 55 55 或70 40 d 以上都不对 错解 a或b 错因 没有分情况讨论 70 角有可能是顶角或底角 正解 c 2 2017 武汉 如图23 15 在rt abc中 c 90 以 abc的一边为边画等腰三角形 使得它的第三个顶点在 abc的其他边上 则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 a 4b 5c 6d 7 错解 a b或d 图23 15