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专题12：押轴题江苏泰州锦元数学工作室 编辑一、选择题1. （2013年江苏常州2分）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（ba）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为【 】 Aa+b B2a+b C3a+b Da+2b2. （2013年江苏淮安3分）如图，点A、B、C是O上的三点，若OBC=50，则A的度数是【 】A40 B50 C80 D1003. （2013年江苏连云港3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EFAB，垂足为F，则EF的长为【 】A1 B C D4. （2013年江苏南京2分）如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是【 】的三角形与下面的三角形重叠，故错误。故选B。5. （2013年江苏南通3分）如图，RtABC内接于O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于【 】A4 B3.5 C3 D2.56. （2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PAPC的最小值为【】A B C D27. （2013年江苏宿迁3分）在等腰ABC中，ACB=90，且AC=1过点C作直线lAB，P为直线l上一点，且AP=AB则点P到BC所在直线的距离是【 】A1 B1或 C1或 D或【分析】分点P与点A在BC同侧和异侧两种情况讨论：8. （2013年江苏泰州3分）事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0时冰融化3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是【 】AP（C）P（A）=P（B） BP（C）P（A）P（B） CP（C）P（B）P（A） DP（A）P（B）P（C）事件C：在标准大气压下，温度低于0时冰融化是不可能事件，P（C）=0。P（C）P（A）P（B）。故选B。9. （2013年江苏无锡3分）已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）. 记N（t）为ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为【 】A6、7 B7、8 C6、7、8 D6、8、910. （2013年江苏徐州3分）二次函数图象上部分点的坐标满足下表：则该函数图象的顶点坐标为【 】A（3，3） B（2，2） C（1，3） D（0，6）11. （2013年江苏盐城3分）如图是33正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【 】 A4种 B5种 C6种 D7种12. （2013年江苏扬州3分）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根x0所在的范围是【 】A B C D二、填空题1. （2013年江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OAOB，OB=OA，则k= 2. （2013年江苏淮安3分）观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，则第2013个单项式是 第2013个单项式是4025x2。3.（2013年江苏连云港3分）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，在射线OA上，点B1，B2，B3，在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为 秒4. （2013年江苏南京2分）计算的结果是 。5. （2013年江苏南通3分）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于 。【答案】3。6. （2013年江苏苏州3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将ADE沿AE折叠后得到AFE，且点F在矩形ABCD内部将AF延长交边BC于点G若，则 （用含k的代数式表示）7. （2013年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标为x0若kx0k+1，则整数k的值是 8. （2013年江苏泰州3分）如图，O的半径为4cm，直线l与O相交于A、B两点，AB=cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的P与O没有公共点设PO=dcm，则d的范围是 【答案】2cmd3cm或d5cm。9. （2013年江苏无锡2分）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为 .10. （2013年江苏徐州3分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为 cm211. （2013年江苏盐城3分）如图，在以点O为原点的直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于A、与y轴交于点B，点C在直线AB上，且OC=AB，反比例函数的图象经过点C，则所有可能的k值为 .【答案】或。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，直角三角形斜边上中线的12. （2013年江苏扬州3分）如图，已知O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且MEB=NFB=60，则EM+FN= 【答案】。三、解答题1. （2013年江苏常州9分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的O上，连接OC，过O点作ODOC，OD与O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB（1）当OCAB时，BOC的度数为 ；（2）连接AC，BC，当点C在O上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的面积的最大值（3）连接AD，当OCAD时，求出点C的坐标；直线BC是否为O的切线？请作出判断，并说明理由2. （2013年江苏常州10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a0），直线l过动点M（0，m）（0m2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA（1）写出A、C两点的坐标；（2）当0m1时，若PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若HNK满足HN=2HK，则称HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；（3）当1m2时，是否存在实数m，使CDAQ=PQDE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由3. （2013年江苏淮安12分）甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟y1、y2与x之间的函数图象如图1，s与x之间的函数图象（部分）如图2（1）求小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式；（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式；（3）在图2中，补全整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数图象，并确定a的值【答案】解：（1）设小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y1=k1x+b，由图象，得：4. （2013年江苏淮安12分）如图，在ABC中，C=90，BC=3，AB=5点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿BCAB的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿CAB方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒（1）当t= 时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当为何值时，PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设PCQ的面积为s平方单位求s与之间的函数关系式；当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积根据题意得：，解得：t=7。5. （2013年江苏连云港12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0t5）以P为圆心，PA长为半径的P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系，并求S的最大值？（3）若P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围6. （2013年江苏连云港14分）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，ADBC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F求证：S四边形ABCDSABF（S表示面积）问题迁移：如图2，在已知锐角AOB内有一定点P过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，MON的面积存在最小值请问当直线MN在什么位置时，MON的面积最小，并说明理由实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部分计划以公路OA、OB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区MON若测得AOB66，POB30，OP4km，试求MON的面积（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin660.91，tan662.25，1.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值 拓展延伸：如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长7. （2013年江苏南京9分）已知二次函数 (a、m为常数，且a0)。（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。 当ABC的面积等于1时，求a的值： 当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值。 8. （2013年江苏南京10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为 逆相似。例如，如图，ABCABC且沿周界ABCA与ABCA环绕的方向相同，因此ABC 与ABC互为顺相似；如图，ABCABC，且沿周界ABCA与 ABCA环绕的方向相反，因此ABC 与ABC互为逆相似。（1）根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： ADE与ABC；GHO与KFO； NQP与NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)（3）如图，在锐角ABC中，ABC，点P在ABC的边上(不与点A、B、C重合)。过点P画直线截ABC，使截得的一个三角形与ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由。9. （2013年江苏南通13分）如图，在RtABC中，ACB=900，AC=，BC=3，DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DEAB，设DEF与ABC重叠部分的周长为T。（1）求证：点E到AC的距离为一常数；（2）若AD=，当a=2时，求T的值；（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T。【答案】解：（1）证明：如图，过点E作EHAC于点H，则EH即为点E到AC的距离。10. （2013年江苏南通13分）如图，直线与抛物线相交于A，B两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设OCD的面积为S，且。（1）求b的值；（2）求证：点在反比例函数的图象上；（3）求证：。 11. （2013年江苏苏州9分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB10cm，BC12cm点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cms，点G的运动速度为1.5cms当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF关于直线EF的对称图形是EBF，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）（1）当t s时，四边形EBFB为正方形；（2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由12. （2013年江苏苏州10分）如图，已知抛物线（b，c是常数，且c0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1，0)（1）b ，点B的横坐标为 （上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AEBC，与抛物线交于点E点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得PBC的面积为S 求S的取值范围；若PBC的面积S为整数，则这样的PBC共有 个13. （2013年江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q（1）求a和b的值；（2）求t的取值范围；（3）若PCQ=90，求t的值14. （2013年江苏宿迁12分）如图，在梯形ABCD中，ABDC，B=90，且AB=10，BC=6，CD=2点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EFAD交边AB于点F将BEF沿EF所在的直线折叠得到GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动设BE=x，GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y（1）证明AMF是等腰三角形；（2）当EG过点D时（如图（3），求x的值；（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值15. （2013年江苏泰州12分）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点（1）求证：ADPABQ；（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围16. （2013年江苏泰州14分）已知：关于x的二次函数（a0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数（1）y1=y2，请说明a必为奇数；（2）设a=11，求使y1y2y3成立的所有n的值；（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由17. （2013年江苏无锡10分）如图1，菱形ABCD中，A=60，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出（1）求点Q运动的速度；（2）求图2中线段FG的函数关系式；（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由18.（2013年江苏无锡10分）下面给出的正多边形的边长都是20 cm请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等【答案】解：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可。19. （2013年江苏徐州10分）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：（1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费 元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？20. （2013年江苏徐州10分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E（1）请直接写出点D的坐标： ；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由（3）存在。21. （2013年江苏盐城12分） 阅读材料：如图，ABC与DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=900，且点D 在AB边上，AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明BOFCOD，则BF=CD。解决问题：（1）将图中的RtDEF绕点O旋转得到图，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，若ABC与DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O,上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请