2007年全国中考数学压轴题精选全解之三.pdf

2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之三年全国各地中考试题压轴题精选全解之三 45 山东省济南市 24 已知 如图 在平面直角坐标系中 ABC 是直角三角形 90ACB o 点 AC 的坐标分别为 30 A 10 C 3 tan 4 BAC 1 求过点AB 的直线的函数表达式 2 在x轴上找一点D 连接DB 使得ADB 与ABC 相似 不包括全等 并求 点D的坐标 3 在 2 的条件下 如PQ 分别是AB和AD上的动点 连接PQ 设APDQm 问是否存在这样的m使得APQ 与ADB 相似 如存在 请求出m的值 如不存在 请说明理由 解 1 Q点 30 A 10 C 4AC 3 tan43 4 BCBACAC B点坐标为 13 设过点AB 的直线的函数表达式为ykxb 由 0 3 3 kb kb 得 3 4 k 9 4 b 直线AB的函数表达式为 39 44 yx 2 如图 1 过点B作BDAB 交x轴于点D 在RtABC 和RtADB 中 BACDAB Q RtRtABCADB D 点为所求 又 4 tantan 3 ADBABC 49 tan3 34 CDBCADB 13 4 ODOCCD 13 0 4 D 3 这样的m存在 在RtABC 中 由勾股定理得5AB 如图 1 当PQBD 时 APQABD A C O B x y 第 24 题图 A B C D Q O y x 第 24 题图 1 P A B C D Q O y x 第 24 题图 2 P 则 13 3 4 13 5 3 4 m m 解得 25 9 m 如图 2 当PQAD 时 APQADB 则 13 3 4 13 5 3 4 m m 解得 125 36 m 46 青岛市青岛市 24 已知 如图 ABC 是边长 3cm 的等边三角形 动点 P Q 同时从 A B 两点出发 分别沿 AB BC 方向匀速移 动 它们的速度都是 1cm s 当点 P 到达点 B 时 P Q 两 点停止运动 设点 P 的运动时间为 t s 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PBQ 是直角三角形 2 设四边形 APQC 的面积为 y cm2 求 y 与 t 的 关系式 是否存在某一时刻 t 使四边形 APQC 的面积是 ABC 面积的三分之二 如果存在 求出相应的 t 值 不存在 说明理由 3 设 PQ 的长为 x cm 试确定 y 与 x 之间的关系式 解 根据题意 AP t cm BQ t cm ABC 中 AB BC 3cm B 60 BP 3 t cm PBQ 中 BP 3 t BQ t 若 PBQ 是直角三角形 则 BQP 90 或 BPQ 90 当 BQP 90 时 BQ 1 2 BP 即 t 1 2 3 t t 1 秒 当 BPQ 90 时 BP 1 2 BQ 3 t 1 2 t t 2 秒 答 当 t 1 秒或 t 2 秒时 PBQ 是直角三角形 过 P 作 PM BC 于 M Rt BPM 中 sin B PM PB PM PB sin B 3 2 3 t A CQB P M A CQB P S PBQ 1 2 BQ PM 1 2 t 3 2 3 t y S ABC S PBQ 1 2 32 3 2 1 2 t 3 2 3 t 2 33 39 3 444 tt y 与 t 的关系式为 y 2 33 39 3 444 tt 假设存在某一时刻 t 使得四边形 APQC 的面积是 ABC 面积的 2 3 则 S四边形APQC 2 3 S ABC 2 33 39 3 444 tt 2 3 1 2 32 3 2 t 2 3 t 3 0 3 2 4 1 3 0 方程无解 无论 t 取何值 四边形 APQC 的面积都不可能是 ABC 面积的 2 3 在 Rt PQM 中 MQ BMBQ 3 1 2 t MQ 2 PM 2 PQ 2 x2 3 2 1 t 2 3 2 3 t 2 22 93 2196 44 tttt 2 3 41212 4 tt 3t2 9t 9 t2 3t 2 1 9 3 x y 2 33 39 3 444 tt y 2 39 33 44 tt 2 319 93 434 x 2 33 3 122 x y 与 x 的关系式为 y 2 33 3 122 x 47 山东省泰州市 29 如图 RtABC 中 90B o 30CAB o 它的顶点 A的 坐标为 10 0 顶点B的坐标为 5 5 3 10AB 点P从点A出发 沿ABC 的 方向匀速运动 同时点Q从点 0 2 D 出发 沿y轴正方向以相同速度运动 当点P到达点 C时 两点同时停止运动 设运动的时间为t秒 1 求BAO 的度数 2 当点P在AB上运动时 OPQ 的面积S 平方单位 与时间t 秒 之间的函数 图象为抛物线的一部分 如图 求点P的运动速度 3 求 2 中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标 4 如果点PQ 保持 2 中的速度不变 那么点P沿AB边运动时 OPQ 的大小随 着时间t的增大而增大 沿着BC边运动时 OPQ 的大小随着时间t的增大而减小 当点 P沿这两边运动时 使90OPQ o 的点P有几个 请说明理由 解 1 60BAO o 2 点P的运动速度为 2 个单位 秒 3 103 Ptt 05t 1 22 10 2 Stt Q 2 9121 24 t 当 9 2 t 时 S有最大值为 121 4 第 29 题图 A C B Q D O P x y 30 10 O 5 t S 第 29 题图 此时 11 9 3 22 P 4 当点P沿这两边运动时 90OPQ o 的点P有 2 个 当点P与点A重合时 90OPQ 从而90OPQ o 所以当点P在AB边上运动时 90OPQ o 的点P有 1 个 同理当点P在BC边上运动时 可算得 10 3 1217 8 3 OQ 而构成直角时交y轴于 35 3 0 3 35 3 20 217 8 3 所以90OCQ o 从而90OPQ o 的点P也有 1 个 所以当点P沿这两边运动时 90OPQ o 的点P有 2 个 48 山东省东营市山东省东营市 24 根据以下 10 个乘积 回答问题 11 29 12 28 13 27 14 26 15 25 16 24 17 23 18 22 19 21 20 20 1 试将以上各乘积分别写成一个 2 2 两数平方差 的形式 并写出其中 一个的思考过程 2 将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来 3 试由 猜测一个一般性的结论 不要求证明 解 11 29 202 92 12 28 202 82 13 27 202 72 14 26 202 62 15 25 202 52 16 24 202 42 17 23 202 32 18 22 202 22 19 21 202 12 20 20 202 02 例如 11 29 假设 11 29 2 2 因为 2 2 所以 可以令 11 29 第 29 题图 y Q M H D O A x C B P 解得 20 9 故 22 9202911 或 11 29 20 9 20 9 202 92 这 10 个乘积按照从小到大的顺序依次是 1129122813271426 152516241723 182219212020 若40 ba a b 是自然数 则 ab 202 400 若 a b 40 则 ab 202 400 若 a b m a b 是自然数 则 ab 2 2 m 若 a b m 则 ab 2 2 m 若 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn 40 且 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn 则 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 若 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn m 且 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn 则 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 49 山东枣庄 25 已知 如图 在 ABC 中 D 为 A 月边上一点 A 36 AC BC AC 2 AB AD 1 试说明 ADC 和 BDC 都是等腰三角形 2 若 AB 1 求 AC 的长 3 试构造一个等腰梯形 要求该梯形连同它的两条对角线所形成的 8 个三角形中有尽可能 多的等腰三角形 解 1 在 ABC 中 AC BC A 36 B A 36 ACB 108 在 ABC 与 CAD 中 A B 36 AC 2 AB AD AC ADAD ABACBC ABC CAD ACD B 36 CDB 72 DCB 108 36 72 ADC 和 BDC 都是等腰三角形 2 设 AC x 则 AD 1 BD 1 BC 1 2x x 2 1 1 x 即 x 2 x 1 0 解得 12 1515 22 xx 舍去 51 2 AC 3 说明 按照画出的梯形中 有 4 个 6 个和 8 个等腰三角形三种情况分类得分 有 4 个等腰三角形 得 1 分 有 6 个等腰三角形 得 2 分 有 8 个等腰三角形 得 4 分 50 山东省滨州市滨州市 26 如图 12 1 所示 在ABC 中 2ABAC 90A o O为 BC的中点 动点E在BA边上自由移动 动点F在AC边上自由移动 1 点EF 的移动过程中 OEF 是否能成为45EOF o 的等腰三角形 若能 请 指出OEF 为等腰三角形时动点EF 的位置 若不能 请说明理由 2 当45EOF o 时 设BEx CFy 求y与x之间的函数解析式 写出x的 取值范围 3 在满足 2 中的条件时 若以O为圆心的圆与AB相切 如图 12 2 试探究直线EF 与O 的位置关系 并证明你的结论 解 如图 1 点EF 移动的过程中 OEF 能成为45EOF 的等腰三角形 此时点EF 的位置分别是 图 12 1 A B C O E F 图 12 2 A BC O E F A E F O C B A E F O C B 图 12 1 图 12 2 E是BA的中点 F与A重合 2BECF E与A重合 F是AC的中点 2 在OEB 和FOC 中 135EOBFOC 135EOBOEB FOCOEB 又BC OEBFOC BEBO COCF BEx CFy 22 1 222 2 OBOC 2 12 yx x 3 EF与O 相切 OEBFOC BEOE COOF BEOE BOOF 即 BEBO OEOF 又45BEOF BEOOEF BEOOEF 点O到AB和EF的距离相等 AB 与O 相切 点O到EF的距离等于O 的半径 EF 与O 相切 51 日照市日照市 24 如图 直线 EF 将矩形纸片 ABCD 分成面积相等的两部分 E F 分别与 BC 交于点 E 与 AD 交于点 F E F 不与顶点重合 设 AB a AD b BE x 求证 AF EC 用剪刀将纸片沿直线 EF 剪开后 再将纸片 ABEF 沿 AB 对称翻折 然后平移拼接 在梯形 ECDF 的下方 使一底边重合 直腰落在边 DC 的延长线上 拼接后 下方的梯形记 作 EE B C 1 求出直线 EE 分别经过原矩形的顶点 A 和顶点 D 时 所对应的 x b 的值 2 在直线 EE 经过原矩形的一个顶点的情形下 连接 BE 直线 BE 与 EF 是否平行 你若认为平行 请给予证明 你若认为不平行 请你说明当 a 与 b 满足 什么关系时 它们垂直 解 证明 AB a AD b BE x S梯形ABEF S梯形CDFE 2 1 a x AF 2 1 a EC b AF 2AF EC b x 又 EC b x 2AF 2EC 即 AF EC 1 当直线 EE 经过原矩形的顶点 D 时 如图 一 EC E B BE EC BD DC 由 EC b x E B EB x DB DC CB 2a 得 a a x xb 2 x b 3 2 当直线 E E 经过原矩形的顶点 A 时 如图 二 在梯形 AE B D 中 EC E B 点 C 是 DB 的中点 CE 2 1 AD E B 即 b x 2 1 b x x b 3 1 2 如图 一 当直线 EE 经过原矩形的顶点 D 时 BE EF 证明 连接 BF FD BE FD BE 四边形 FBED 是平行四边形 FB DE FB DE 又 EC E B 点 C 是 DB 的中点 DE EE FB EE FB EE 四边形 BE EF 是平行四边形 BE EF 如图 二 当直线 EE 经过原矩形的顶点 A 时 显然 BE 与 EF 不平行 设直线 EF 与 BE 交于点 G 过点 E 作 E M BC 于 M 则 E M a x b 3 1 EM 3 1 BC 3 1 b 若 BE 与 EF 垂直 则有 GBE BEG 90 又 BEG FEC MEE MEE ME E 90 GBE ME E 在 Rt BME 中 tan E BM tan GBE BM M E b a 3 2 在 Rt EME 中 tan ME E ME EM a b 3 1 b a 3 2 a b 3 1 又 a 0 b 0 b a 3 2 当 b a 3 2 时 BE 与 EF 垂直 52 山东省聊城市聊城市 25 某市为了进一步改善居民的生活环境 园林处决定增加公园A和 公园B的绿化面积 已知公园AB 分别有如图 1 图 2 所示的阴影部分需铺设草坪 在甲 乙两地分别有同种草皮 2 1608m和 2 1200m出售 且售价一样 若园林处向甲 乙两地购买 草皮 其路程和运费单价见下表 公园A 公园B 路程 千米 运算单价 元 路程 千米 运费单价 元 甲地 30 0 25 32 0 25 乙地 22 0 3 30 0 3 注 运费单价指将每平方米草皮运送 1 千米所需的人民币 1 分别求出公园AB 需铺设草坪的面积 结果精确到 2 1m 2 请设计出总运费最省的草皮运送方案 并说明理由 解 1 设公园AB 需铺设草坪的面积分别为 12 SS 根据题意 得 2m 2m 32m 62m 25m 65m 120o 60o 图 1 图 2 1 62 3262 232 22 21800S 设图 2 中圆的半径为R 由图形知 圆心到矩形较长一边的距离为 25 2 所以 25 cos30 2 R 有 25 3 R 于是 2 2 1202512525 65 252 21008 3602233 S 所以公园AB 需铺设草坪的面积分别为 2 1800m和 1008 2 m 2 设总运费为y元 公园A向甲地购买草皮x 2 m 向乙地购买草皮 1800 x 2 m 由于公园AB 需要购买的草皮面积总数为1800 10082808 2 m 甲 乙两地出售的草皮面积总数为 2 1608 12002808 m 所以 公园B向甲地购买草皮 2 1608 mx 向乙地购买草皮 2 1200 1800 600 m xx 于是 有 01608 018001200 x x 所以6001608x 又由题意 得 30 0 2522 0 3 1800 32 0 25 1608 30 0 3 600 yxxxx 1 919344x 因为函数1 919344yx 随x的增大而增大 所以 当600 x 时 有最小值1 9 600 1934420484y 元 因此 公园A在甲地购买 600 2 m 在乙地购买 2m 公园B在甲地购买16086001008 2 m 此时 运送草皮的总运费最省 53 山东省泰安市非课改区山东省泰安市非课改区 26 如图 在ABC 中 90BAC o AD是BC边 上的高 E是BC边上的一个动点 不与BC 重合 EFAB EGAC 垂足分 别为FG 1 求证 EGCG ADCD 2 FD与DG是否垂直 若垂直 请给出证明 若不垂直 请说明理由 3 当ABAC 时 FDG 为等腰直角三角形吗 并说明理由 解 1 证明 在ADC 和EGC 中RtADCEGC Q CC ADCEGC EGCG ADCD 2 FD与DG垂直 证明如下 在四边形AFEG中 90FAGAFEAGE o Q 四边形AFEG为矩形 AFEG 由 1 知 EGCG ADCD AFCG ADCD ABCQ 为直角三角形 ADBC FADC AFDCGD ADFCDG 又90CDGADG o 90ADFADG o 即90FDG o FDDG 3 当ADAC 时 FDG 为等腰直角三角形 F A G C E D B 第 26 题 F A G C E D B 第 26 题 理由如下 ABAC Q 90BAC o ADDC 由 2 知 AFDCGD 1 FDAD GDDC FDDG 又90FDG o FDG FDG 为等腰直角三角形 54 山东省德州市德州市 23 已知 如图 14 在ABC 中 D为AB边上一点 36A o ACBC 2 ACAB AD 1 试说明 ADC 和BDC 都是等腰三角形 2 若1AB 求AC的值 3 请你构造一个等腰梯形 使得该梯形连同它的两条对角线得到 8 个等腰三角形 标 明各角的度数 解 1 在ABC 中 ACBC 36108BAACB oo 在ABC 与CAD 中 36AB o 2 ACAB AD Q ACABAB ADACBC ABCCAD 721083672CDBDCB oooo ADC 和BDC 都是等腰三角形 4 分 2 设ACx 则 2 11xx 即 2 10 xx 解得 1551 22 xx 负根舍去 图 14 36o36o 36o 36o 36o 36o 72o72o 108o 有 8 个等腰三角形 55 河南省实验区河南省实验区 23 如图 对称轴为直线 7 2 x 的抛物线经过点 A 6 0 和 B 0 4 1 求抛物线解析式及顶点坐标 2 设点 E x y 是抛物线上一动点 且位于第四象限 四边形 OEAF 是以 OA 为对 角线的平行四边形 求平行四边形 OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式 并写出自变量x 的取值范围 当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时 请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形 是否存在点 E 使平行四边形 OEAF 为正方形 若存在 求出点 E 的坐标 若不存 在 请说明理由 解 1 由抛物线的对称轴是 7 2 x 可设解析式为 2 7 2 ya xk 把 A B 两点坐标代入上式 得 2 2 7 6 0 2 7 0 4 2 ak ak 解之 得 225 36 ak 故抛物线解析式为 2 2725 326 yx 顶点为 725 26 2 点 E x y在抛物线上 位于第四象限 且坐标适合 2 2725 326 yx y0 y 表示点 E 到 OA 的距离 OA 是OEAF 的对角线 2 17 2264 25 22 OAE SSOA yy 因为抛物线与x轴的两个交点是 1 0 的 6 0 所以 自变量x的 取值范围是 1 x 6 7 2 x B 0 4 A 6 0 E F x y O 根据题意 当 S 24 时 即 2 7 4 2524 2 x 化简 得 2 71 24 x 解之 得 12 3 4 xx 故所求的点 E 有两个 分别为 E1 3 4 E2 4 4 点 E1 3 4 满足 OE AE 所以OEAF 是菱形 点 E2 4 4 不满足 OE AE 所以OEAF 不是菱形 当 OA EF 且 OA EF 时 OEAF 是正方形 此时点 E 的 坐标只能是 3 3 而坐标为 3 3 的点不在抛物线上 故不存在这样的点 E 使OEAF 为正方形 56 武汉市 如图 在平面直角坐标系中 Rt AOB Rt CDA 且 A 1 0 B 0 2 抛物线 y ax2 ax 2 经过点 C 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线 对称轴的右侧 上是否存在两点 P Q 使四边形 ABPQ 是正方形 若存在 求点 P Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 E 为 BC 延长线上一动点 过 A B E 三点作 O 连结 AE 在 O 上 另有一点 F 且 AF AE AF 交 BC 于点 G 连结 BF 下列结论 BE BF 的值 不变 AG BG AF BF 其中有且只有一个成立 请你判断哪一个结论成立 并证明 成立的结论 解 由 Rt AOB Rt CDA 得 OD 2 1 3 CD 1 C 点坐标为 3 1 抛物线经过点 C O 第 25 题图 A B C D x y O x y B F A E C O G 第 25 题图 1 3 2 a 3 2 2 1 a 抛物线的解析式为2 2 1 2 1 2 xxy 在抛物线 对称轴的右侧 上存在点 P Q 使四边形 ABPQ 是正方形 以 AB 边在 AB 右侧作正方形 ABPQ 过 P 作 PE OB 于 E QG x 轴于 G 可证 PBE AQG BAO PE AG BO 2 BE QG AO 1 P 点坐标为 2 1 Q 点坐标为 1 1 由 1 抛物线2 2 1 2 1 2 xxy 当 x 2 时 y 1 当 x 1 时 y 1 P Q 在抛物线上 故在抛物线 对称轴的右侧 上存在点 P 2 1 Q 1 1 使四边形 ABPQ 是 正方形 另解 在抛物线 对称轴的右侧 上存在点 P Q 使四边形 ABPQ 是正方形 延长 CA 交抛物线于 Q 过 B 作 BP CA 交抛物线于 P 连 PQ 设直线 CA BP 的解析式分别为 y k1x b1 y k2x b2 A 1 0 C 3 1 CA 的解析式 2 1 2 1 xy 同理 BP 的解析式为 2 1 2 1 xy 解方程组 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 xxy xy 得 Q 点坐标为 1 1 同理得 P 点坐标为 2 1 由勾股定理得 AQ BP AB 5 而 BAQ 90 四边形 ABPQ 是正方形 故在抛物线 对称轴的右侧 上存在点 P 2 1 Q 1 1 使四边形 ABPQ 是正方形 另解 在抛物线 对称轴的右侧 上存在点 P Q 使四边形 ABPQ 是正方形 如图 将线段 CA 沿 CA 方向平移至 AQ C 3 1 的对应点是 A 1 0 A 1 0 的对应点是 Q 1 1 再将 线段 AQ 沿 AB 方向平移至 BP 同理可得 P 2 1 BAC 90 AB AC 四边形 ABPQ 是正方形 经验证 P 2 1 Q 1 1 两点均在抛物线 2 2 1 2 1 2 xxy上 结论 AG BG AF BF 成立 证明如下 连 EF 过 F 作 FM BG 交 AB 的延长线于 M 则 AMF ABG AG BG AF MF 由 知 ABC 是等腰直角三角形 1 2 45 AF AE AEF 1 45 EAF 90 EF 是 O 的直径 EBF 90 FM BG MFB EBF 90 M 2 45 BF MF AG BG AF BF 57 荆门市荆门市 28 如图 1 在平面直角坐标系中 有一张矩形纸片 OABC 已知 O 0 0 A 4 0 C 0 3 点 P 是 OA 边上的动点 与点 O A 不重合 现将 PAB 沿 PB 翻 折 得到 PDB 再在 OC 边上选取适当的点 E 将 POE 沿 PE 翻折 得到 PFE 并 使直线 PD PF 重合 1 设 P x 0 E 0 y 求 y 关于 x 的函数关系式 并求 y 的最大值 2 如图 2 若翻折后点 D 落在 BC 边上 求过点 P B E 的抛物线的函数关系式 3 在 2 的情况下 在该抛物线上是否存在点 Q 使 PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角 形 若不存在 说明理由 若存在 求出点 Q 的坐标 解 1 由已知 PB 平分 APD PE 平分 OPF 且 PD PF 重合 则 BPE 90 OPE APB 90 又 APB ABP 90 OPE PBA Rt POE Rt BPA POBA OEAP 即 3 4 x yx y 2 114 4 333 xxxx 0 x 4 且当 x 2 时 y 有最大值 1 3 2 由已知 PAB POE 均为等腰三角形 可得 P 1 0 E 0 1 B 4 3 设过此三点的抛物线为 y ax2 bx c 则 1 0 1643 c abc abc 1 2 3 2 1 a b c y 2 13 1 22 xx 3 由 2 知 EPB 90 即点 Q 与点 B 重合时满足条件 直线 PB 为 y x 1 与 y 轴交于点 0 1 将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E 0 1 该直线为 y x 1 由 2 1 13 1 22 yx yxx 得 5 6 x y Q 5 6 故该抛物线上存在两点 Q 4 3 5 6 满足条件 图 2 O C A B x y D P E F 图 1 F E P D y x B A C O 58 湖北省宜昌市湖北省宜昌市 25 如图 1 点 A 是直线 y kx k 0 且 k 为常数 上一动点 以 A 为 顶点的抛物线 y x h 2 m 交直线 y x 于另一点 E 交 y 轴于点 F 抛物线的对称轴 交 x 轴于点 B 交直线 EF 于点 C 点 A E F 两两不重合 1 请写出 h 与 m 之间的关系 用含的 k 式子表示 2 当点 A 运动到使 EF与x 轴平行时 如图 2 求线段 AC 与 OF 的比值 3 当点 A 运动到使点 F 的位置最低时 如图 3 求线段 AC 与 OF 的比值 第 25 题图 1 第 25 题图 2 第 25 题图 3 解 1 抛物线顶点 h m 在直线 y kx 上 m kh 1 分 2 方法一 解方程组 2 1 2 kxy khhxy 将 2 代入 1 得到 x h 2 kh kx 整理得 x h x h k 0 解得 x1 h x2 k h B C y x F E O A C B y x FE O A C B y x F E O A 代入到方程 2 y1 h y2 k2 hk 所以点 E 坐标是 k h k2 hk 当 x 0 时 y x h 2 m h2 kh 点 F 坐标是 0 h2 kh 当 EF 和 x 轴平行时 点 E F 的纵坐标相等 即 k2 kh h2 kh 解得 h k h k 舍去 否则 E F O 重合 此时点 E 2k 2k2 F 0 2k2 C k 2k2 A k k2 AC OF k2 2 k2 1 2 方法二 当 x 0 时 y x h 2 m h2 kh 即 F 0 h2 kh 当 EF 和 x 轴平行时 点 E F 的纵坐标相等 即点 E 的纵坐标为 h2 kh 当 y h2 kh 时 代入 y x h 2 kh 解得 x 2h 0 舍去 否则 E F O 重合 即点 E 坐标为 2h h2 kh 将此点横纵坐标代入 y kx 得到 h k h 0 舍去 否则点 E F O 重合 此时点 E 2k 2k2 F 0 2k2 C k 2k2 A k k2 AC OF k2 2 k2 1 2 方法三 EF 与 x 轴平行 根据抛物线对称性得到 FC EC AC FO ECA EFO FOE CAE OFE ACE AC OF EC EF 1 2 3 当点 F 的位置处于最低时 其纵坐标 h2 kh 最小 h2 kh 2 22 k khh 4 2 k 当 h 2 k 点 F 的位置最低 此时 F 0 4 2 k 解方程组 kxy kk xy 2 2 2 2 得 E 2 k 2 2 k A 2 k 2 2 k 方法一 设直线 EF 的解析式为 y px q B C y x F E O A C B y x FE O A 将点 E 2 k 2 2 k F 0 4 2 k 的横纵坐标分别代入得 q k qp kk 4 22 2 2 解得 p k 2 3 q 2 4 1 k 直线 EF 的解析式为 y k 2 3 x 2 4 1 k 当 x 2 k 时 y k2 即点 C 的坐标为 2 k k2 点 A k 2 1 2 2 k 所以 AC 2 2 k 而 OF 2 4 1 k AC 2OF 即 AC OF 2 方法二 E 2 k 2 2 k A 2 k 2 2 k 点 A E 关于点 O 对称 AO OE AC FO ECA EFO FOE CAE OFE ACE AC OF EC EF 1 2 59 湖北省十堰市湖北省十堰市 25 已知矩形 ABCD 中 AB 2 AD 4 以 AB 的垂直平分线为 x 轴 AB 所在的直线为 y 轴 建立平面直角坐标系 如图 1 写出 A B C D 及 AD 的中点 E 的坐标 2 求以 E 为顶点 对称轴平行于 y 轴 并且经过点 B C 的抛物线的解析式 3 求对角线 BD 与上述抛物线除点 B 以外的另一交点 P 的坐标 4 PEB 的面积 S PEB与 PBC 的面积 S PBC具有怎样的关系 证明你的结论 A B C D O E x y 第25题图 60 湖北省孝感市 25 在我们学习过的数学教科书中 有一个数学活动 其具体操作过程是 第一步 对折矩形纸片 ABCD 使 AD 与 BC 重合 得到折痕 EF 把纸片展开 如图 1 第二步 再一次折叠纸片 使点 A 落在 EF 上 并使折痕经过点 B 得到折痕 BM 同时得 到线段 BN 如图 2 图 1 图 2 请解答以下问题 1 如图 2 若延长 MN 交 BC 于 P BMP 是什么三角形 请证明你的结论 2 在图 2 中 若 AB a BC b a b 满足什么关系 才能在矩形纸片 ABCD 上剪出符合 1 中结论的三角形纸片 BMP 3 设矩形 ABCD 的边 AB 2 BC 4 并建立如图 3 所示的直角坐标系 设直线 BM 为 ykx 当M BC 60 时 求 k 的值 此时 将 ABM 沿 BM 折叠 点 A 是否落在 EF 上 E F 分别为 AB CD 中点 为什么 图 3 解 1 BMP 是等边三角形 证明 连结 AN EF 垂直平分 AB AN BN 由折叠知 AB BN AN AB BN ABN 为等边三角形 ABN 60 PBN 30 又 ABM NBM 30 BNM A 90 BPN 60 MBP MBN PBN 60 BMP 60 MBP BMP BPM 60 BMP 为等边三角形 2 要在矩形纸片 ABCD 上剪出等边 BMP 则 BC BP 在 Rt BNP 中 BN BA a PBN 30 BP cos30 a o b cos30 a o a 2 3 b 当a 2 3 b时 在矩形上能剪出这样的等边 BMP 3 M BC 60 ABM 90 60 30 在Rt ABM 中 tan ABM AM AB tan30 2 AM AM 2 3 3 M 2 3 3 2 代入y kx中 得k 2 2 3 3 3 设 ABM 沿BM 折叠后 点A落在矩形ABCD内的点为A 过A 作A H BC交BC于H A BM ABM A BM ABM 30 A B AB 2 A BHM