江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题2012.3.doc

欢迎光临中学数学信息网 江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1若，定义其中，则 . 2已知正三棱锥PABC的外接球O的半径为1，且满足，则正三棱锥PABC的体积为 . 3若，则的取值范围是 . 4函数 （）是上的减函数，则的取值范围是 . 5不等式的解集为 .6已知正实数满足等式，给出下列五个等式，其中可能成立的关系式是 （填序号）7已知点A(0，2)和抛物线上两点B、C使得ABBC，则点C的纵坐标的取值范围 .8已知P为四面体SABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是 .9已知，则的值是 .10边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 .二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11已知平面上两定点、，P为一动点，满足.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且. 分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明为定值.12设，是圆心在抛物线上的一系列圆，它们圆心的横坐标分别记为，已知，都与轴相切，且顺次逐个相邻外切.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.13田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a，b，c，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A，a，B，b，C，c. 两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜. （1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率； （2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马. 那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？14有一个的长方体盒子，另有一个的长方体盒子， 其中均为正整数()，并且前者的体积是后者一半，求的最大值.答案：1、解：计算可知是最小正周期为6的函数。即得，所以. 2、 3、 4、 5 、 6、 7、简解：设点坐标为（y214,y1），点坐标为(y24,y)，显然y214，故kAB=(y12)/(y214)=1/(y1+2).由于ABBC，所以kBC=(y1+2).从而yy1=(y1+2)x(y214),y2=x+4消去x，注意到yy1得:(2+y1)(y+y1)+1=0y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由0解得：y0或y4. 当y=0时，点的坐标为(3,1)；当y=4时，点的坐标为(5,3)，均满足题意。故点的纵坐标的取值范围是y0或y4. 8、抛物线或椭圆 9、 10、设直角三角形的三边为a,b,则有=a+b+,两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0, (a-4)(b-4)=8,a,b都是正整数，a=5时b=12;a=6时b=8，所以满足题意的三角形有2个.11、解：（I）设 即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为（II）解法一：由已知N（0，2）.（1）（2） 将（1）式两边平方并把 解（2）、（3）式得，且有抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 所以为定值，其值为0.解法二：由已知N（0，2） .以下同解法一12、解：（1）设相邻两圆心为，相应的半径为，则。如图，作于，则， 即， 为等差数列，公差为2，. （2） 13、记A与a比赛为（A，a），其它同理（l）（方法1）齐王与田忌赛马，有如下6种情况：（A，a）,（B，b）,（C，c）；（A，a）,（B，c）,（C，b）；（A，b）,（B，c）,（C，a）；（A，b）,（B，a）,（C，c）；（A，c）,（B，a）,（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）. 其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）.故田忌获胜的概率为. （方法2）齐王与田忌赛马对局有6种可能：A B Ca b ca c bb a c b c a c a bc b a 其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）.若齐王出马顺序还有ACB , BAC , BCA，CAB，CBA等五种；每种田忌有一种可以获胜故田忌获胜的概率为 （2）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c 后两场有两种情形：若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）,（C，b）或（B，b）,（C，a）田忌获胜的概率为. 若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：（C，a）,（B，b）或（C，b）,（B，a）田忌获胜的概率也为 所以，田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大答：（l）田忌获胜的概率（2）田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为14、解：由题意，得.（1）当时，由，则，矛盾；（2）当时，矛盾；（3）