广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中高三数学上学期期中联考试卷 理（含解析）.doc

广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考2015届高 三上学期期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知=（0，2），=（1，1），则下列结论中正确的是（）a（）（+）b（）cd|=|2（5分）若直线l1：x+（1+m）y=2m与直线l2：2mx+4y=16平行，则m=（）am=2bm=1cm=2或 m=1d3（5分）已知f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时f（x）=ex+m（m为常数），则f（ln5）的值为（）a4b4c6d64（5分）曲线+=1与曲线+=1（12k16）的（）a长轴长与实轴长相等b短轴长与虚轴长相等c焦距相等d离心率相等5（5分）下列命题中，错误的是（）a一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交b平行于同一平面的两个不同平面平行c如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面d若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的直线6（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）a6b5c8d77（5分）“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的（）条件a充分必要b充分不必要c必要不充分d既不充分也不必要8（5分）定义一种新运算：ab=已知函数f（x）=（1+）log2x，若函数g（x）=f（x）k恰有两个零点，则k的取值范围为（）a（1，2b（1，2）c（0，2）d（0，1）二.填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的体积为10（5分）已知数列an满足log3an+1=log3an1，且a2+a4+a8=9，则log（a6+a8+a12）=11（5分）在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinc=2sinb，则a=12（5分）13（5分）已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）x2+4y2恒成立，则k的最大值是一、选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）坐标系与参数方程选做题14（5分）极坐标系中，曲线=4sin和cos=1相交于点a，b，则|ab|=一、几何证明选讲选做题15如图所示，已知ab，bc是o的两条弦，aobc，ab=2，bc=2，则o的半径等于三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinxcosx）+1（xr）（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值17（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖，中奖概率为甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料（1）求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率；（2）求中奖人数的分布列及数学期望e18（14分）如图，正三棱柱abca1b1c1的底面边长为1，点m在bc上，amc1是以m为直角顶点的等腰直角三角形（1）求证：点m为bc的中点；（2）求点b到平面amc1的距离；（3）求二面角mac1c的大小19（14分）已知椭圆e：+=1（ab0）的离心率为，右焦点为f（1，0）（1）求椭圆的方程；（2）设点o为坐标原点，过点f作直线l与椭圆e交于m，n两点，若omon，求直线l的方程20（14分）设数列an的前n项和为sn，已知sn=2an2n+1（nn*）（1）求a1的值，并证明数列是等差数列；（2）设bn=log2，数列的前n项和为bn，若存在整数m，使对任意nn*且n2，都有b3nbn成立，求m的最大值21（14分）已知函数f（x）=x2+2lnx与g（x）=x+有相同极值点（1）求实数a的值；（2）若x1，x2是区间内任意两个不同的数，求证：|f（x1）f（x2）|6|x1x2|；（3）若对于任意x1，x2，不等式1恒成立，求实数k的取值范围广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知=（0，2），=（1，1），则下列结论中正确的是（）a（）（+）b（）cd|=|考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：平面向量及应用分析：根据平面向量数量积的概念与应用，判断两向量是否平行、垂直以及求它们的模长即可解答：解：=（0，2），=（1，1），（）（+）=42=2，（）与（+）不垂直，a错误；（）=22=0，（），b正确；0121=20，与不平行，c错误；|=2，|=，|，d错误；故选：b点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，解题时应利用平面向量的数量积判断向量是否平行或垂直，以及求模长，是基础题2（5分）若直线l1：x+（1+m）y=2m与直线l2：2mx+4y=16平行，则m=（）am=2bm=1cm=2或 m=1d考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0平行（m0、n0、d0）解得即可解答：解：直线x+（1+m）y=2m与2mx+4y=16平行解得：m=1故选：b点评：本题考查直线与直线平行的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答3（5分）已知f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时f（x）=ex+m（m为常数），则f（ln5）的值为（）a4b4c6d6考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：利用奇函数的性质f（0）=0可得m，再利用f（x）=f（x）即可得出解答：解：f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=ex+m（m为常数），f（0）=e0+m=0，解得m=1当x0时，f（x）=ex1，f（ln5）=eln51=4f（ln5）=f（ln5）=4故选：a点评：本题考查了奇函数的性质与对数的运算法则，属于基础题4（5分）曲线+=1与曲线+=1（12k16）的（）a长轴长与实轴长相等b短轴长与虚轴长相等c焦距相等d离心率相等考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由曲线的标准方程分别计算其焦距即可判断出解答：解：曲线+=1是焦点在x轴上的椭圆，半焦距=2曲线+=1（12k16）表示焦点在x轴上的双曲线，半焦距c2=2两曲线的截距相等故选：c点评：本题考查了标准方程及其性质，属于基础题5（5分）下列命题中，错误的是（）a一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交b平行于同一平面的两个不同平面平行c如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面d若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的直线考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：计算题；压轴题；空间位置关系与距离分析：由直线与平面相交的性质，知a正确；由平面平行的判定定理，知b正确；由直线与平面垂直的性质定理，知c正确；当l时，在平面内存在与l平行的直线，故d不正确解答：解：由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故a正确；由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故b正确；由直线与平面垂直的性质定理，知如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，故c正确；若直线l不平行平面，则当l时，在平面内存在与l平行的直线，故d不正确故选d点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面间的位置关系，是基础题解题时要认真审题，仔细解答6（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）a6b5c8d7考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据直到型循环结构的程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件ts，运行终止，输出n值解答：解：由程序框图知：第一次运行的结果是t=22=4，n=2+1=3，s=32=9；第二次运行的结果是t=23=8，n=3+1=4，s=42=16；第三次运行的结果是t=24=16，n=4+1=5，s=52=25；第四次运行的结果是t=25=32，n=5+1=6，s=62=36；第五次运行的结果是t=26=64，n=6+1=7，s=72=49，满足条件ts，运行终止，输出n=7故选d点评：本题流程了直到型循环结构的程序框图，读懂框图的流程是关键7（5分）“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的（）条件a充分必要b充分不必要c必要不充分d既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：数系的扩充和复数分析：ac=bd时，（a+bi）（c+di）=（acbd）+（ad+bc）i=（ad+bc）i，该复数不一定是纯虚数，当ad+bc=0时就不是；若“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”时，（a+bi）（c+di）=（acbd）+（ad+bc）i，所以ac=bd，所以得到“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要不充分条件解答：解：（1）若ac=bd，则（a+bi）（c+di）=（acbd）+（ad+bc）i=（ad+bc）i，而（ad+bc）i不一定是纯虚数，当ad+bc=0时就不是；“ac=bd”不是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的充分条件；（2）若复数a+bi与c+di的积是纯虚数，则由（a+bi）（c+di）=（acbd）+（ad+bc）i得：acbd=0，即ac=bd；“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要条件；综上得“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要不充分条件故选c点评：考查复数的概念，纯虚数的概念，复数的乘法运算，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念8（5分）定义一种新运算：ab=已知函数f（x）=（1+）log2x，若函数g（x）=f（x）k恰有两个零点，则k的取值范围为（）a（1，2b（1，2）c（0，2）d（0，1）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：由新定义可得函数f（x）的解析式，问题等价于函数f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数的图象可得答案解答：解：令1+=log2x，可解得x=4，此时函数值为2，而且当0x4时，1+log2x，当x4时1+log2x，故f（x）=（1+）log2x=，函数g（x）=f（x）k恰有两个零点等价于函数f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数的图象：由图象可知，k的取值范围为（1，2）故选b点评：本题考查根的存在性即个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题二.填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（9-13题）9（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的体积为考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱锥，求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个三棱锥由一视图和俯视图可得底面底边长为2，由左视图可得底面底边上的高为1，故底面积s=由主视图和左视图可得棱锥的高h=2故棱锥的体积v=sh=故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解答的关键10（5分）已知数列an满足log3an+1=log3an1，且a2+a4+a8=9，则log（a6+a8+a12）=2考点：等差数列的性质；对数的运算性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：先由数列an满足log3an+1=log3an1探讨数列，得到数列是以为公比的等比数列，再由a2+a4+a6=a2（1+q2+q4），a6+a8+a12=a6（1+q2+q4）=a2q4（1+q2+q4）求解解答：解：log3an1=log3an+1an+1=an数列an是以为公比的等比数列，a2+a4+a6=a2（1+q2+q4）=9a6+a8+a12=a6（1+q2+q4）=a2q4（1+q2+q4）=9=，log（a6+a8+a12）=2故答案为：2点评：本题考查了等比数列的定义及其性质、对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题11（5分）在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinc=2sinb，则a=30考点：正弦定理 专题：解三角形分析：已知sinc=2sinb利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosa的值，即可确定出a的度数解答：解：将sinc=2sinb利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2b2=bc=6b2，即a2=7b2，由余弦定理得：cosa=，a为三角形的内角，a=30故答案为：30点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键12（5分）考点：定积分 专题：计算题；导数的概念及应用分析：根据积分计算公式，求出被积函数xsinx的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案解答：解：根据题意，可得=（x2+cosx）=（2+cos）（02+cos0）=故答案为：点评：本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题13（5分）已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）x2+4y2恒成立，则k的最大值是考点：基本不等式；函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得xy=1，k应小于或等于的最小值令 x+2y=t，可得 t2，且 =t，故k应小于或等于t 的最小值根据函数 t在上的最大值和最小值；（2）若f（x0）=，x0，求cos2x0的值考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）函数f（x）可化简为f（x）=2sin（2x），从而可求最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）先求出sin（2x0），cos（2x0）的值，从而cos2x0=cos=解答：解：（1）由f（x）=2cosx（sinxcosx）+1（xr）得f（x）=（2sinxcosx）（2cos2x1）=sin2xcos2x=2sin（2x）所以函数f（x）的最小正周期为因为f（x）=2sin（2x）在区间上是增函数，在区间上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=，所以函数f（x）在区间上的最大值为2，最小值为1（）解：由（1）可知f（x0）=2sin（2x0）又因为f（x0）=，所以sin（2x0）=由x0，得2x0从而cos（2x0）=所以cos2x0=cos=cos（2x0）cossin（2x0）sin=点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基础题17（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖，中奖概率为甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料（1）求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率；（2）求中奖人数的分布列及数学期望e考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为a、b、c，那么p（a）=p（b）=p（c）=，由此能求出甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率（2）的可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中奖人数的分布列及数学期望e解答：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为a、b、c，那么p（a）=p（b）=p（c）=，（2分）p（）=p（a）p（b）p（）=（）2=（5分）答：甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为（6分）（2）的可能值为0，1，2，3（7分）p（=k）=，（k=0，1，2，3）（9分）所以中奖人数的分布列为0123p（10分）e=0+1+2+3=（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题18（14分）如图，正三棱柱abca1b1c1的底面边长为1，点m在bc上，amc1是以m为直角顶点的等腰直角三角形（1）求证：点m为bc的中点；（2）求点b到平面amc1的距离；（3）求二面角mac1c的大小考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得cc1am，ammc1且am=mc1，从而am面cc1m，由此能证明点m为bc中点（2）法一：过点b作bhc1m，交其延长线于h，则amc1m，amcb，从而bh为点b到平面amc1的距离，由此能求出结果法二：设点b到平面amc1的距离为h则，由此利用等积法能求出点b到平面amc1的距离（3）法一：过m作mhac于h，作mgac1于g，连结gh，mgh为二面角mac1c的平面角，由此能求出二面角mac1c的大小法二：过m作mm1cc1，交b1c1于m1以m为坐标原点，bc，am，mm1分别为x轴，y轴，z轴，利用向量法能求出二面角mac1c的大小解答：（1）证明：在正三棱柱abca1b1c1中，有cc1底面abc，am面abc，cc1am，（1分）又amc1是以点m为直角顶点的等腰直角三角形，ammc1且am=mc1cc1c1m=c1，am面cc1m，（2分）bc面cc1m，ambc，（3分）底面abc是边长为1的正三角形，点m为bc中点（4分）（2）解法一：过点b作bhc1m，交其延长线于h，由（1）知amc1m，amcb，am平面c1cbb1，ambh，bh平面amc1，bh为点b到平面amc1的距离，（6分）am=c1m=，在rtcc1m中，解得cc1=，（7分）bhmc1cm，解得bh=（9分）（2）解法二：设点b到平面amc1的距离为h则，（5分）由（i）知 amc1m，amcb，am平面c1cbb1（6分）ab=1，bm=，am=mc1=，cc1=，（7分），（8分），解得h=（9分）（3）解法一：过m作mhac于h，作mgac1于g，连结gh平面ac1平面abc，且面ac1面abc=ac，又mh面abc，mhac，mh面ac1，mhac1，又mgac1，且mhmg=m，ac1面mhg，ac1gh，故mgh为二面角mac1c的平面角，（11分）由（1）知mh=，在等腰直角三角形amc1中，mg=，=（13分）因为二面角mac1c为锐二面角，故，所以二面角mac1c的大小为（14分）（3）解法二：过m作mm1cc1，交b1c1于m1以m为坐标原点，bc，am，mm1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系（10分）设面acc1的一个法向量为，则，取y=1，得=（），（11分）同理可求得面amc1的一个法向量为=（），（12分）设二面角mac1c的大小为，由图知为锐角，故cos=|=，解得（13分）故二面角mac1c的大小为（14分）点评：本题考查点m为bc的中点的证明，考查点b到平面amc1的距离的求法，考查二面角mac1c的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养19（14分）已知椭圆e：+=1（ab0）的离心率为，右焦点为f（1，0）（1）求椭圆的方程；（2）设点o为坐标原点，过点f作直线l与椭圆e交于m，n两点，若omon，求直线l的方程考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；（2）讨论直线mn的斜率是否存在，设出mn的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合omon，=0求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程解答：解：（1）依题意得，c=1，；（2分）解得a=，b=1；椭圆e的标准方程为+y2=1；（4分）（2）设m（x1，y1），n（x2，y2），当mn垂直于x轴时，mn的方程为x=1，不符题意；（5分）当mn不垂直于x轴时，设mn的方程为y=k（x1）；（6分）由得：x24k2x+2（k21）=0，（8分）x1+x2=，x1x2=；（10分）y1y2=k2（x11）（x21）k2=；又omon，=0；x1x2+y1y2=0，解得k=，（13分）直线l的方程为：y=（x1）（14分）点评：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数关系的应用问题，平面向量的应用问题，是综合题20（14分）设数列an的前n项和为sn，已知sn=2an2n+1（nn*）（1）求a1的值，并证明数列是等差数列；（2）设bn=log2，数列的前n项和为bn，若存在整数m，使对任意nn*且n2，都有b3nbn成立，求m的最大值考点：数列的求和；等差关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（1）当n=1时，a1=s1=2a122，解得a1当n2时，由sn=2an2n+1（nn*）可得两式相减可得即可证明（2）由（1）可得=+（n1）=n+1可得bn=log2=n，bn=，b3nbn=+证明为单调递增数列即可得出解答：解：（1）当n=1时，a1=s1=2a122，解得a1=4当n2时，由sn=2an2n+1（nn*）可得两式相减，得an=2an2an12n，=1数列是以首项为2，公差为1的等差数列（2）由（1）可得=+（n1）=n+1bn=log2=n，bn=，则b3nbn=+令f（n）=+则f（n+1）=+，f（n+1）f（n）=0即f（n+1）f（n），数列f（n）为递增数列当n2时，f（n）的最小值为f（2）=据题意，即m19又m为整数，故m的最大值为18点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（14分）已知函数f（x）=x2+2lnx与g（x）=x+有相同极值点（1）求实数a的值；（2）若x1，x2是区间内任意两个不同的数，求证：|f（x1）f（x2）|6|x1x2|；（3）若对于任意x1，x2，不等式1恒成立，求实数k的取值范围考点：利用导数研究函数的极值 专题：计算题；证明题；导数的综合应用分析：（1）求出f（x）的导数，求得单调区间，得到极大值点，再由条件求出g（x）的导数，得到方程，解出即可；（2）|f（x1）f（x2）