第二章第6讲指数与指数函数.DOC

第6讲指数与指数函数1根式的概念如果xna，那么x叫做a的n次方根， 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数， 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数做一做1计算_.解析：原式8129.答案：92幂的有关概念(1)正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；(2)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义做一做2用分数指数幂的形式表示下列各式(a0): (1)a2；(2).解： (1)a2a2aaa.(2)(a)a3有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)做一做3计算：(0.000 1)271.5.解：原式(0.14) (33)0.11321310927.4指数函数的图象和性质函数yax(a0，且a1)图象0a1a1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域R值域(0，)单调性减函数增函数函数值变化规律当x0时，y1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1做一做4若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_解析：由y(a21)x在(，)上为减函数，得0a211，所以1a22，即1a或a0且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.解析：当a1时，x0,2，y0，a21因定义域和值域一致，故a212，即a.当0a0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a0，a1)在1,2中的最大值比最小值大，则a的值为_解析：当0a1时，a2a，所以a或a0(舍去)综上所述，a或.答案：或2常用的2个结论(1)(2)()na(注意a必须使有意义)练一练2求使等式(3a)成立的实数a的取值范围解：因为(3a)，所以解之得3a3，故实数a的取值范围是3,33必会的1种方法学会用换元法解决与指数函数有关的问题练一练3函数y()的值域是_解析：设tx22x1，则y()t.因为t(x1)222，y()t为关于t的减函数，所以00，且a1)恒过点_(2)方程2x2x的解的个数为_(3)已知函数f(x)，则函数f(x)的单调递增区间为_，单调递减区间为_若f(x)的最大值等于，则a_.解析 (1)因为a01，所以该函数的图象过点(2 015,2 016)(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解 (3)令t|x|a，则f(t)t，不论a取何值，t在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，又yt是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(，0，单调递减区间是0，)所以f(x)maxf(0)a2，即a2，a2.答案(1)(2 015,2 016)(2)1(3)(，00，)2名师点评与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究2.求函数f(x)3的定义域、值域及单调区间解：依题意x25x40，解得x4或x1，所以f(x)的定义域是(，14，)因为0，所以f(x)3301，所以函数f(x)的值域是1，)令u ，x(，14，)，所以当x(，1时，u是减函数，当x4，)时，u是增函数而31，所以由复合函数的单调性，可知f(x)3在(，1上是减函数，在4，)上是增函数3k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？解：函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有惟一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解考点三指数函数的综合应用学生用书P27已知定义在R上的函数f(x)2x.(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围解(1)当x0，所以x1.(2)当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，因为22t10，所以m(22t1)，因为t1,2，所以(22t1)17，5，故m的取值范围是5，)设f(x)(a0)是定义在R上的函数，(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若f(x)是偶函数，试研究其单调性解(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，所以f(x)f(x)，即，整理得(a)(exex)0，即a0，即a210，显然无解所以f(x)不可能是奇函数(2)因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即，整理得(a)(exex)0，所以有a0，得a1.所以f(x)exex，以下讨论其单调性，取x1，x2R且x1x2，则f(x1)f(x2)ex1ex1ex2ex2，其中ex1ex20，ex1ex20，当ex1ex210时，f(x1)f(x2)，f(x)为增函数，此时需要x1x20，即增区间为0，)，反之(，0为减区间名师点评求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决4.已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，从而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.经检验，a2，b1符合题意，所以a2，b1.(2)法一：由(1)知f(x)，又由题设条件得0，即1，因底数21，故3t22tk0.上式对一切tR均成立，从而412k0，解得k.法二：由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0，等价于f(t22t)2t2k.即对一切tR有3t22tk0，从而412k0，解得k0，b0，所以2a2a2b3b2b2b.令f(x)2x2x(x0)，则函数f(x)为单调增函数所以ab.答案名师点评本题有以下创新点：命题方式的创新：本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式考查内容的创新：本题将指数函数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解5.若函数f(x)则不等式f(x)的解集为_解析：函数f(x)和函数g(x)的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间当x1)当K时，函数fK(x)的单调递减区间是_解析：函数f(x)a|x|(a1)的图象为图中实线部分，yK的图象为图中虚线部分，由图象知fK(x)在(1，)上为减函数答案：(1，)1已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)_.解析：由f(a)3得2a2a3，两边平方得22a22a29，即22a22a7，故f(2a)7.答案：72已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则a，b，c的大小关系为_解析：由0.20.6,0.40.40.6，即bc；因为a20.21，b0.40.2b.综上，abc.答案：abc3已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为_解析：由f(x)过定点(2,1)可知b2，因f(x)3x2在2,4上是增函数，可知值域为1,9答案：1,94.08 _.解析：原式1222.答案：25函数yaxb(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为_解析：函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在负半轴上而当x0时，ya0b1b，由题意得解得所以ab(0,1)答案：(0,1)6若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)且f(1)9.则f(x)的单调递减区间是_解析：由f(1)9得a29，所以a3.因此f(x)3|2x4|，又因为g(x)|2x4|的递减区间为(，2，所以f(x)的单调递减区间是(，2答案：(，27函数y()x()x1在x3,2上的值域是_解析：因为x3,2，若令t()x，则t，8则yt2t1(t)2.当t时，ymin；当t8时，ymax57.所以所求函数值域为，57答案：，578已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_解析：因为yeu是R上的增函数，所以f(x)在1，)上单调递增，只需u|xa|在1，)上单调递增，由函数图象可知a1.答案：(，19若存在负实数使得方程2xa成立，则实数a的取值范围是_解析：在同一坐标系内分别作出函数y和y2xa的图象知，当a(0,2)时符合要求答案：(0,2)10若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：令axxa0即axxa，若0a1，yax与yxa的图象如图所示有两个公共点答案：(1，)11已知函数f(x)bax(其中a，b为常量且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)试确定f(x)；(2)若不等式()x()xm0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围解：(1)因为f(x)bax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，所以得a24，又a0且a1，所以a2，b3，所以f(x)32x.(2)由(1)知()x()xm0在(，1上恒成立化为m()x()x在(，1上恒成立令g(x)()x()x，则g(x)在(，1上单调递减，所以mg(x)ming(1)，故所求实数m的取值范围是(，12求函数ya2x2ax1(a0，a1)的单调区间和值域解：y(ax1)22(a0，a1)，设uax.因为y(u1)22在u1，)时是关于u的增函数，在u(，1)时是关于u的减函数，所以当ax1时，原函数的单调性与uax的单调性相同；当ax1，ax1x0；ax1x0，所以在0，)上，函数ya2x2ax1是增函数；在(，0)上，函数ya2x2ax1是减函数若0a1，ax1x0；ax0，所以在(0，)上，函数ya2x2ax1是增函数；在(，0上，函数ya2x2ax1是减函数因为ax0，所以函数值域是2，)1设函数f(x)若F(x)f(x)x，xR，则F(x)的值域为_解析：当x0时，F(x)x2；当x0时，F(x)exx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)F(0)1，所以F(x)的值域为(，12，)答案：(，12，)2若关于x的方程|ax1|2a(a0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是_解析：方程|ax1|2a(a0且a1)有两个不同实数根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点当0a1时，如图(1)，所以02a1，即0a1时，如图(2)，而y2a1不符合要求 综上，0a.答案：3已知函数f(x)是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是_解析：因为函数f(x)是定义域上的递减函数，所以即解得a.答案：4已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是_a0，b0，c0；a0；2a2c；2a2c2.解析：画出函数f(x)|2x1|的图象(如图)，由图象可知，a0.故错；因为f(a)|2a1|，f(c)|2c1|，所以|2a1|2c1|，即12a2c1，故2a2c2，所以2ac1，所以acc，所以2a2c，不成立答案：5设函数f(x)kaxax(a0且a1)是定义域为R的奇函数(1)若f(1)0，试求不等式f(x22x)f(x4)0的解集；(2)若f(1)，且g(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在1，)上的最小值解：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以k10，即k1.(1)因为f(1)0，所以a0，又a0且a1，所以a1，f(x)axax，因为f(x)axln aax ln a(axax)ln a0，所以f(x)在R上为增函数原不等式可化为f(x22x)f(4x)，所以x22x4x，即x23x40，所以x1或x1或x4(2)因为f(1)，所以a，即2a23a20，所以a2或a(舍去)，所以g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令t(x)2x2x(x1)，则t(x)在(1，)为增函数(由(1)可知)，即t(x)t(1)，所以原函数变为w(t)t24t2(t2)22，所以当t2时，w(t)min2，此时xlog2(1)即g(x)在xlog2(1)时取得最小值2.6(选做题)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求函数f(x)