图形与证明.doc

第十一章 图形与证明（一）你的判断对吗教学目标 1经历一些观察、操作活动，并对获得的数学猜想进行实验验证，体验直观判断有时不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明2在交流中，感受数学思考的合理性和严密性 教学过程 1情境创设 观察、思考和实验是人类发现、发明、创造的发端我们曾通过观察、操作、实验等探索活动，发现了许多正确的结论 所有探索活动获得的结论都正确吗? 课本提供了一个生活中产生错觉的现象(在一只透明的玻璃杯下面放一枚硬币，猜想向杯中注水后，从杯子的侧面仍能看到这枚硬币，但实际却看不到这枚硬币)，实际教学中还可以创设其他的生活情境，如，装有半杯水的透明玻璃杯中插一根笔直的筷子，这时看到筷子进人水里的部分被弯折并变长；从凹面镜和凸面镜里的看到的像是倒立的和变小的；夏天，平静无风的海面或沙漠上，有时能看到楼台、亭阁、集市、庙宇出现在远方的空中等现象 事实上，在数学中有时也有产生错觉的现象 2探索活动 观察活动的组织，可以设置以下问题进行： (1)通过观察，你得到什么结论? (2)如何确认你的结沦是正确的? (3)从上面的活动中你想到了什么? (4)你有过类似的体验吗? (5)还可以适当补充一些数学中观察、猜想有时不一定正确的例子，如：图1中，直线和直线平行吗?请你先观察，再用推平行线的方法验证一下 如图2，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪个大些? 实际教学中引导学生运用已有的知识和方法进行验证观察该题的结论是否正确时，如果学生有困难，教师可以提供帮助，这里应更多的关注引导学生感受观察、猜想不一定可靠，数学思考必须是严密的，合理的 关于操作活动，实际教学中可以由2个学生合作完成由于学生缺少验证这个操作活动得到的结论的知识储备，教师可以在课前准备一个较大的正方形，课内将这个正方形按课本图115(1)剪开，并在黑板上(或在投影屏幕上)按课本图115(2)重新拼合，使学生可以比较清楚的观察到：直角三角形的斜边与直角梯形的腰不在一条直线上，两个直角三角形的两条斜边与两个直角梯形的两条腰组成了一个狭长的平行四边形缝隙，它的面积正好是1。由于视觉的关系，这4条线段似乎在一条直线上，于是得到了面积为64的正方形变成面积为65的长方形的错误结论对于“为什么拼合后图形的中间会有一个狭长的平行四边形缝隙，且面积为17”这个问题，学生虽然暂时还不能解决，但这个悬念有利于学生感受说理的必要性，为112节“说理”的教学铺垫 3小结 从本节课的观察、猜想、操作活动中，我们感受到仅凭观察、猜想、操作、实验是不够的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，还要学会说理。说理教学目标 1经历探索一些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受说理的必要性 2尝试用说理的方法解决问题，体验说理必须步步有据。 3了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的条件和结论 4在交流中发展有条理思考和有条理表达的能力教学过程(第一课时) 1情境创设 课本以“图116中的一条直道、一条曲径占用草坪的面积相等吗?”作为本节的问题情境，由于学生在探索这个问题时，直观无法做出确定的判断，因此可以在学生广泛交流不同意见的过程中引导他们主动地进行“说理”，从而感受“说理”是确定一个数学结论正确性的有力工具 实际教学中，学生可能会有以下的想法：因为小路曲曲弯弯，比直路长，而且处处1m宽，所以曲路的面积比直路的面积大；作长方形草坪一边的垂线，可以把小路割补成长方形，所以直路的面积与曲路的面积相等；换一个角度计算小路的面积通 过计算草坪的面积就知道了小路的面积等 教学中还可以选用学生有兴趣的素材，以利于学 生感受说理的必要性例如： (1)水结成冰时，体积增加了，冰化成水时，体积减少了几分之几? (2)如果用一根很长的钢缆沿赤道绕地球1圈，然后把钢缆放长10m，你想象一下，这时钢缆与地球赤道之间的缝隙有多大?你估计可以通过一头牛，还是一只老鼠? (3)从小明、小丽多次进行60m赛跑中，发现小明比小丽先到达终点，而且小明到达终点时小丽总是还离终点10m如果小明在起点处后退10m，两人同时出发，他们能同时到达终点吗? 2探索活动 问题一 七年级某班的学生通过多次计算代数式的值，得到了以下的一些结论： (1)无论x取什么数，代数式的值总是偶数； (2)无论x取什么数，代数式的值总是正数； (3)无论x取什么数，代数式的值不是负数； (4)无论x取什么数，代数式的值大于1 你认为这些结论是否正确? 实际教学中，对于结论(1)、(4)，学生容易发现当x=1时，这个代数式的值为1，不是偶数，从而说明这两个结论是错误的设计判断结论(1)、(4)真、假性的活动，实质是初步引导学生感受利用反例可以说明一个命题是错误的 问题二 你能确认问题一中的结论(2)、(3)是正确的吗? 实际教学中，在判断问题一的结论(2)、(3)的真假性时，学生各自通过一些计算代数式的值后，既有强力的确认结论真、假性的欲望，又有不可能无穷地计算代数式的值的无奈营造这样的教学氛围，以利于引导学生借助已有的知识和方法来说理，从而再一次感受“说理”的必要性以及“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具 问题三 通过本节数学实验室的探索活动，对你探索得到的结论有什么看法? 由于学生已有通过观察、度量、猜想所得到的结论有时不一定可靠的体验，以及初步感受到“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具，因此学生对本节数学实验室探索得到的结论就有如何“说理”的需求，虽然学生暂时不能解决，但这个悬念促使学生向往、追求着“说理” 3小结 (1)说说你对“说理”的感受；(2)本节课我们不仅用举例的方法来说明一个数学结论是错误的；而且我们用“说理”的方法来确认一个数学结论的正确性从而使我们能更全面地、深入地认识一些数学现象。教学过程(第二课时) 1情境创设 日常生活中，人们为了交流思想，常常用到一些名称和术语，只有对这些名称和术语有了共识，才可以正常的交流类似地，数学中要进行说理，必须对涉及的概念有共识，也就是需要对概念下定义 2探索活动 问题一 (1)什么是总体的一个“样本”? (2)怎样的两个数叫“互为相反数”? (3)怎样的两个图形叫“全等形”? 设计问题一，学生回忆这些概念的定义，引导学生感受数学中如何给概念下定义； 定义的规则是：(1)应相等，即定义概念和定义概念的外延相等；(2)不应循环；(3)一般不应是否定判断；(4)应清楚确切 教学中只要通过具体的例子来引导学生感受就可以了 问题二 (1)“等角的余角相等”与“等角的余角相等吗?”这两句话一样吗?如不一样，它们有什么不同? (2)“经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”与“经过一点画已知直线的垂线”有什么不同? (3)“四边形不是多边形”与“四边形不一定是多边形”又有什么不同? 问题二中的句子，一类是对某一件事情做出了判断；另一类是没有对某一件事情做出判断引导学生通过这两类(命题与非命题)具体例子的辨析，了解什么是命题，什么不是命题 对某一件事情做出判断的句子，有的做出了正确的判断，有的做出了错误的判断。比如，“四边形不是多边形”这个句子的判断是错误的，教学中学生可能会误认为这样的句子不是命题可以结合这个例子，说明凡做出判断的句子都是命题，不论判断是否正确 问题三 请你例举一些命题 问题四 观察下列命题，你能发现它们有什么共同的结构特征吗? 命题(1)如果a0，bb，那么a2b2”是假命题 反例：a=1，b=3 a=1，b=3符合命题的条件(ab)，但不符合命题的结论(a2b2) 又如： “3个角对应相等的两个三角形全等”是假命题 反例：两个大小不等的等边三角形 两个等边三角形的内角都是60，符合命题的条件(两个三角形的3个角对应相等)，但不符合命题的结论(这两个三角形全等) 4小结 (1)说说你对互逆命题有哪些了解； (2)数学学习中，你曾经用反例来说明一个命题是假命题吗? (3)举出一个反例可以简明地说明一个命题是假命题其实反例还是数学发展的“功臣”公元前500年希帕索斯发现等腰直角三角形的直角边与斜边的比不是有理数，这就举出了当时毕达哥拉斯学派认为的“一切量都可用有理数来表示”的一个反例。正是这个反例导致了第一次数学危机，数学向前大大发展了一步，产生了无理数教学过程(第二课时) 1关于课本提供的讨沦活动 这节课应进一步关注标准中“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”等，这些过程性目标的落实。 课本提供了一个根据条件观察图形、做出猜想、证明猜想的讨论活动设计这个活动，学生既经历合情推理，又经历演绎推理，不断发展初步的演绎推理能力实际教学中，在学生做出猜想并表述各自的证明思路后，可以讨论以下问题： (1)在图11-16中，如果DE/BF，BD，那么你得到什么结论?证明你的结论 (2)在图11-16中，如果AB/CD，DE/BF，那么你得到什么结论?证明你的结沦 (3)小明从上面的讨论中，发观：“如果任意两个角的两条边分别互相平行，那么这两个角相等”你认为小明的结论正确吗?为什么? 问题(1)、(2)构造了课本中讨论的关于图1l16的一个命题的逆命题设计这3个问题，实质是在不断依据有关平行线的互逆命题进行推理中，引导学生逐步认识探索图形的性质要关注图形的特殊的“位置关系”和“大小关系”的内在联系，体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的严谨对于问题(3)，目的是引导学生关注反例的作用，小明所说的命题是假命题(符合命题条件的两个角可以互补)，如果学生举反例有困难，教师可以提供适当帮助但是，教学中无须进一步探索满足条件的两个角的大小关系，更不必给出“两条边互相平行的两个角相等或互补”的结沦，设计问题(3)仅仅是为了突出反例的作用 2关于课本提供的探索活动 设计这个活动，实质是促使学生主动地把一个新问题转化为一个已经会解的问题，通过证明这个命题，又一次感受欧几里得“从基本事实出发，证明一个又一个命题”的方法，感受证明的必要性 教学中，可根据学生的实际情况，增加一个探索题比如，从特殊到一般的探索或一题多解的探索。 3例题教学 本课时课本没有编排例题，建议在实际教学中另加一个计算题，为学生提供计算题书写的示范比如， 如图，点D在ABC边BC上，且ADC75，1B，求BAC的度数 解：因为ADCB+BA(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)， 1B(已知)， 所以ADC1+BA(等量代换)，即ADCBAC 因为ADC75(已知)， 所以BAC75(等量代换) 4小结 (1)图形的特殊的“位置关系”常常决定了有某种特殊的“数量关系”。比如，如果两直线平行(位置关系)，那么内错角相等(数量关系)反过来，图形的特殊的“数量关系”常常决定了图形有特殊的“位置关系”比如，如果内错角相等(数量关系)，那么两直线平行(位置关系)，从而体会形与数之间的内在联系；(2)回顾我们曾探索得到的关于图形的“位置关系”和“数量关系”的互逆命题数学活动：尝试“证明”教学目标 1获得一些研究问题的方法和经验，发展有条理的思考和有条理的表达能力，加深理解相关的数学知识 2体验说理必须步步有据，感受说理的必要性3通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学解决问题的自信心 教学过程 1活动前 3-5人为一组，准备8张同样大小的正方形纸片 2活动建议 (1)问题1小组成员可以用“接力”的方式，每人在问题给定的这组数中选择一个数填入方阵，并说明选择这个数的理由，直到方阵中的数都符合问题的要求本题解答如下： (2)问题2 在个人活动的基础上再小组交流探求的结果，并说明探求结果的过程中每一步的理由本题中字母 、B、C分别表示1、4、8 (3)问题3 观察课本提供的纸片交错叠放的图片； 小组交流各自观察的结果，并说明理由； 用准备的8张同样大小的正方形纸片按照观察的结果摆放，验证观察是否正确 (4)问题4 用、B、C分别表示甲、乙、丙3人第一次借阅的书： 可以引导学生从第一次的借阅的情况向第二次、第三次的借阅情况探索比如，假设丙读的第二本书是B，知道乙读的第三本书是丙读的第二本门，由此乙读的第三本：恰仍是B，那么乙就不可能读完这三本书，这与他读