高考数学大一轮复习 第十三章 系列4选讲 13.2 不等式选讲课件 文 北师大版.ppt

13 2不等式选讲 第十三章系列4选讲 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 知识梳理 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c a a c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 通过构造函数 利用函数的图像求解 体现了函数与方程的思想 2 含有绝对值的不等式的性质 1 如果a b是实数 则 a b 当且仅当时 等号成立 2 如果a b c是实数 那么 当且仅当 时 等号成立 a b a b ab 0 a c a b b c b b c 0 a 3 不等式证明的方法 1 比较法 作差比较法知道a b a b 0 ab 只要证明 即可 这种方法称为作差比较法 作商比较法 a b 0 2 综合法从已知条件出发 利用不等式的有关性质或定理 经过推理论证 最终推导出所要证明的不等式成立 这种证明方法叫作综合法 即 由因导果 的方法 3 分析法从待证不等式出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 已知条件 定理等 从而得出要证的不等式成立 这种证明方法叫作分析法 即 执果索因 的方法 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若 x c的解集为r 则c 0 2 不等式 x 1 x 2 b 0时等号成立 4 对 a b a b 当且仅当 a b 时等号成立 5 对 a b a b 当且仅当ab 0时等号成立 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 不等式3 5 2x 9的解集为a 2 1 4 7 b 2 1 4 7 c 2 1 4 7 d 2 1 4 7 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解答 解 当x 1时 原不等式可化为1 x 5 x 2 4 2 不等式恒成立 x 1 当1 x 5时 原不等式可化为x 1 5 x 2 x 4 1 x 4 当x 5时 原不等式可化为x 1 x 5 2 该不等式不成立 综上 原不等式的解集为 4 1 2 3 4 5 6 3 求不等式 x 1 x 5 2的解集 题组三易错自纠4 若不等式 kx 4 2的解集为 x 1 x 3 则实数k 1 2 3 4 5 6 2 答案 解析 解析 kx 4 2 2 kx 4 2 2 kx 6 不等式的解集为 x 1 x 3 k 2 1 2 3 4 5 6 9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解析设y 2x 1 x 2 当x5 1 2 3 4 5 6 题型分类深度剖析 1 2017 全国 已知函数f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 当a 1时 求不等式f x g x 的解集 解答 题型一绝对值不等式的解法 自主演练 解当a 1时 不等式f x g x 等价于x2 x x 1 x 1 4 0 当x1时 式化为x2 x 4 0 2 若不等式f x g x 的解集包含 1 1 求a的取值范围 解答 解当x 1 1 时 g x 2 所以f x g x 的解集包含 1 1 等价于当x 1 1 时 f x 2 又f x 在 1 1 上的最小值必为f 1 与f 1 之一 所以f 1 2且f 1 2 得 1 a 1 所以a的取值范围为 1 1 2 已知函数f x x a 其中a 1 1 当a 2时 求不等式f x 4 x 4 的解集 解答 解方法一当a 2时 由题意知 x 2 x 4 4 利用几何意义可知不等式表示数轴上x的对应点到2与4对应点的距离之和大于等于4 又2和4之间的距离为2 即x在以2和4为标准分别向左或者向右平移1个单位长度的位置上 故不等式的解集为 x x 1或x 5 方法二当a 2时 当x 2时 由f x 4 x 4 得 2x 6 4 解得x 1 当2 x 4时 f x 4 x 4 无解 当x 4时 由f x 4 x 4 得2x 6 4 解得x 5 故原不等式的解集为 x x 1或x 5 2 已知关于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集为 x 1 x 2 求a的值 解答 解记h x f 2x a 2f x 又已知 h x 2的解集为 x 1 x 2 解绝对值不等式的基本方法 1 利用绝对值的定义 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 2 当不等式两端均为正号时 可通过两边平方的方法 转化为解不含绝对值符号的普通不等式 3 利用绝对值的几何意义 数形结合求解 题型二利用绝对值不等式求最值 师生共研 解答 典例 1 对任意x y r 求 x 1 x y 1 y 1 的最小值 解 x y r x 1 x x 1 x 1 当且仅当0 x 1时等号成立 y 1 y 1 y 1 y 1 2 当且仅当 1 y 1时等号成立 x 1 x y 1 y 1 1 2 3 当且仅当0 x 1 1 y 1同时成立时等号成立 x 1 x y 1 y 1 的最小值为3 解答 2 对于实数x y 若 x 1 1 y 2 1 求 x 2y 1 的最大值 解 x 2y 1 x 1 2 y 1 x 1 2 y 2 2 1 2 y 2 2 5 即 x 2y 1 的最大值为5 求含绝对值的函数最值时 常用的方法有三种 1 利用绝对值的几何意义 2 利用绝对值三角不等式 即 a b a b a b 3 利用零点分区间法 解答 当且仅当 2a b 2a b 0时等号成立 解答 2 若不等式 2a b 2a b a 2 x 2 x 恒成立 求实数x的取值范围 x的取值范围即为不等式 2 x 2 x 4的解集 解不等式得 2 x 2 故实数x的取值范围为 2 2 题型三绝对值不等式的综合应用 师生共研 解答 典例已知函数f x x 2 x 2 m m r 1 若m 1 求不等式f x 0的解集 解 当m 1时 f x x 2 x 2 1 当x 2时 f x 3 不满足题意 当 2 x 2时 f x 2x 1 当x 2时 f x 5 0恒成立 解答 2 若方程f x x有三个实根 求实数m的取值范围 解由方程f x x可变形为m x x 2 x 2 令h x x x 2 x 2 作出图像如图所示 数形结合 可得 2 m 2 即实数m的取值范围为 2 2 1 解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值 化为分段函数来解决 2 数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法 解答 跟踪训练 2017 全国 已知函数f x x 1 x 2 1 求不等式f x 1的解集 当x 1时 f x 1无解 当 1 x 2时 由f x 1 得2x 1 1 解得1 x 2 当x 2时 由f x 1 解得x 2 所以f x 1的解集为 x x 1 解答 2 若不等式f x x2 x m的解集非空 求m的取值范围 解由f x x2 x m 得m x 1 x 2 x2 x 而 x 1 x 2 x2 x x 1 x 2 x2 x 题型四用综合法与分析法证明不等式 师生共研 证明 证明 只需证明 a b c 2 3 即证a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故需证明a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即证a2 b2 c2 ab bc ca 所以原不等式成立 用综合法证明不等式是 由因导果 用分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 充分利用这一辩证关系 可以增加解题思路 开阔视野 证明 跟踪训练 2017 全国 已知a 0 b 0 a3 b3 2 证明 1 a b a5 b5 4 证明 a b a5 b5 a6 ab5 a5b b6 a3 b3 2 2a3b3 ab a4 b4 4 ab a4 b4 2a2b2 4 ab a2 b2 2 4 证明 2 a b 2 证明因为 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 2 3ab a b 所以 a b 3 8 因此a b 2 课时作业 基础保分练 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解不等式 x 1 x 2 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解方法一如图 设数轴上与 2 1对应的点分别是a b 则不等式的解就是数轴上到a b两点的距离之和不小于5的点所对应的实数 显然 区间 2 1 不是不等式的解集 把点a向左移动一个单位到点a1 此时 a1a a1b 1 4 5 把点b向右移动一个单位到点b1 此时 b1a b1b 5 故原不等式的解集为 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法二由原不等式 x 1 x 2 5 原不等式的解集为 3 2 方法三将原不等式转化为 x 1 x 2 5 0 令f x x 1 x 2 5 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作出函数的图像 如图所示 由图像可知 当x 3 2 时 y 0 原不等式的解集为 3 2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 不等式log3 x 4 x 5 a对于一切x r恒成立 求实数a的取值范围 解由绝对值的几何意义知 x 4 x 5 9 则log3 x 4 x 5 2 所以要使不等式log3 x 4 x 5 a对于一切x r恒成立 则需a 2 所以实数a的取值范围为 2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即 4a 3b 2 的最大值为6 所以m 4a 3b 2 max 6 即实数m的取值范围为 6 3 对于任意实数a b 已知 a b 1 2a 1 1 且恒有 4a 3b 2 m 求实数m的取值范围 解因为 a b 1 2a 1 1 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 若 a b c d 则 a b 2 c d 2 即 a b 2 4ab c d 2 4cd 因为a b c d 所以ab cd 因为a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab c d 2 4cd c d 2 因此 a b c d 即充分性成立 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 2017 洛阳模拟 已知关于x的不等式 2x 1 x 1 log2a 其中a 0 1 当a 4时 求不等式的解集 解当a 4时 不等式为 2x 1 x 1 2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 若不等式有解 求实数a的取值范围 解答 6 已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解当a 3时 f x x 3 x 2 当x 2时 由f x 3 得 2x 5 3 解得x 1 当2 x 3时 f x 3无解 当x 3时 由f x 3 得2x 5 3 解得x 4 所以f x 3的解集为 x x 1或x 4 解答 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解由f x x 4 得 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时 x 4 x 2 x a 得4 x 2 x x a 即 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围为 3 0 证明 证明 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 4 2a2 2b2 2c2 4ab 4bc 4ca 8 8 2a2 2b2 2c2 4ab 4bc 4ca 6ab 6bc 6ac 当且仅当a b c时取等号 ab bc ac 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解由题意可知 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 4 4 a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 a2 c2 3 a2 b2 c2 当且仅当a b c时取等号 a2 b2 2 若a b c都小于1 求a2 b2 c2的取值范围 0a2 同理b b2 c c2 a2 b2 c2 a b c 2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 已知函数f x m x 1 x 2 m r 且f x 1 0的解集为 0 1 1 求m的值 解由f x 1 0 得 x x 1 m x x 1 1恒成立 若m 1 不等式 x x 1 m的解集为 不合题意 若m 1 不等式 x x 1 1的解集为 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当0 x 1时 得x 1 x m 0 x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意知 原不等式的解集为 0 1 m 1 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 若a b c x y z r 且x2 y2 z2 a2 b2 c2 m 求证 ax by cz 1 证明 x2 a2 2ax y2 b2 2by z2 c2 2cz 当且仅当x a y b z c时等号成立 三式相