高考数学一轮复习 12.2 直接证明与间接证明考点及自测 理 新人教A版.doc

第2讲直接证明与间接证明【2014年高考会这样考】考查直接证明为主，多隐含于各种题目中，如数列、不等式、立体几何等 考点梳理1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中p表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，q表示要证的结论)思维过程：由因导果(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法框图表示：(其中q表示要证明的结论)思维过程：执果索因2间接证明(1)反证法的定义假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法(2)利用反证法证题的步骤假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立简言之，否定归谬断言【助学微博】一个思路分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用两点提醒(1)适合使用反证法证明的命题有：否定性命题；唯一性命题；至多、至少型命题；明显成立命题；直接证明有困难的命题(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论p，再说明所要证明的数学问题成立考点自测1(人教a版教材改编题)要证明2，则x，y至少有一个大于1d对于任意nn，ccc都是偶数 解析空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故a为真命题；令z11bi，z23bi(br)，显然z1z24r，但z1，z2不互为共轭复数，b为假命题；假设x，y都不大于1，则xy2不成立，故与题设条件“xy2”矛盾，假设不成立，故c为真命题；ccc2n为偶数，故d为真命题排除a，c，d，应选b.答案b5下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0且0，即a，b不为0且同号即可，故有3个答案3 考向一分析法的应用【例1】用分析法证明：若a0，则 a2.审题视点 采用分析法，移项、平方、整理证明要证 a2.只需证 2a.a0，两边均大于零，只需证22，只需证a244 a2222，只需证 ，只需证a2，即证a22，显然成立，原不等式成立 分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范【训练1】 已知a0，1.求证：.证明要证成立，只需证1a，只需证(1a)(1b)1(1b0)，即1baab1，abab，只需证：1，即1.由已知a0，1成立，成立 考向二综合法与分析法的综合应用【例2】设b0，数列an满足a1b，an(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2anbn11.审题视点 (1)把题中所给的已知式等价变形为cncn1形式，转化成特殊数列求解(2)利用基本不等式证明(1)解由已知得(n2)，当b1时，上式变形为：，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得：n1，解得an；当b1时，有1，即是首项公差均为1的等差数列，n，则an1.综上所述an(2)证明当b1时，欲证2anbn11，只需证2nbn(bn11)，(bn11)(bn11)(1bb2bn2bn1)b2nb2n1bn1bn1bn21bnbn(222)2nbn，2an2f(b)证明如下：因为a，b，c是不相等的正数，所以ac2.因为b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，从而(a2)(c2)(b2)2.因为f(x)log2x是增函数，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2，即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b) 考向三反证法的应用【例3】已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数(2)用反证法证明f(x)0没有负根审题视点 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x00后，应推导出x0的范围与x00矛盾即可证明(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x1x2，则x2x10，ax2x11，且ax10.所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110，x210，所以0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0，又0ax01，所以01，即x02，与x00(x01)假设矛盾故f(x0)0没有负根 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的【训练3】 等差数列an的前n项和为sn，a11，s393.(1)求数列an的通项an与前n项和sn；(2)设bn(nn*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解由已知得d2，故an2n1，snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rn*，2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列 规范解答18利用反证法证明数学问题 【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，直接在此知识点命题的概率不大，但作为证明和推理数学命题的方法，多隐含于各种题目中此类证明题对知识的考查面广、涉及知识点多，题目难度较大【真题探究】 (本小题满分13分)(2011安徽)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2y21上教你审题 一审 采用反证法，先假设l1与l2不相交，之后推出矛盾；二审 求出交点坐标，代入椭圆方程验证规范解答 证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1k2，(2分)代入k1k220，得k20.(4分)这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(6分)(2)由方程组解得交点p的坐标(x，y)为.(10分)从而2x2y22221，所以l1与l2的交点p(x，y)在椭圆2x2y21上(13分)阅卷老师手记 (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法 用反证法证明数学命题的答题模板：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真【试一试】 已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根证明假设三个方程都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.上述三个式子相加并除以2得：a22abb2b22bcc2c22aca20.即(ab)2(bc)2(ca)20.由已知a，b，c是互不相等的非零实数，上式“”不能成立，即(ab)2(bc)2(ca)21；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()a b c d解析若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2，与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.答案c二、填空题(每小题5分，共10分)5用反证法证明命题“a，bn，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_解析“至少有n个”的否定是“最多有n1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除答案a，b中没有一个能被5整除6设ab0，m，n，则m，n的大小关系是_解析取a2，b1，得mn.再用分析法证明：a0，显然成立答案mn三、解答题(共25分)7(12分)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，故上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg(abc)，lglglglg alg blg c.8(13分)(2013鹤岗模拟)设数列an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和(1)求证：数列sn不是等比数列；(2)数列sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列sn是等比数列，则ss1s3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列sn不是等比数列(2)解当q1时，snna1，故sn是等差数列；当q1时，sn不是等差数列，否则2s2s1s3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾 b级能力突破(时间：30分钟满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1(2013漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c() a都大于2 b都小于2c至少有一个不大于2 d至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案d2(2012滨州期末)如果a1b1c1的三个内角的余弦值分别等于a2b2c2的三个内角的正弦值，则 ()aa1b1c1和a2b2c2都是锐角三角形ba1b1c1和a2b2c2都是钝角三角形ca1b1c1是钝角三角形，a2b2c2是锐角三角形da1b1c1是锐角三角形，a2b2c2是钝角三角形解析由条件知，a1b1c1的三个内角的余弦值均大于0，则a1b1c1是锐角三角形，假设a2b2c2是锐角三角形不妨令得那么，a2b2c2，这与三角形内角和为相矛盾所以假设不成立，所以a2b2c2是钝角三角形答案d二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013株洲模拟)已知a，b，(0，)且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a，b(0，)且1，ab(ab)1010216，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，016.答案(0,164(2012金华一模改编)已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.x35689lg x2abac11abc3(1ac)2(2ab)试将错误的对数值加以改正_解析由2ablg 3，得lg 92lg 32(2ab)从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5ac1错误，则由得所以lg 51lg 2ac.因此lg 5ac1错误，正确结论是lg 5ac.答案lg 5ac三、解答题(共25分)5(12分)已知f(x)x2axb.(1)求：f(1)f(3)2f(2)；(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.(1)解f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9，f(1)f(3)2f(2)2.(2)证明假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于.则f(1)，f(2)，f(3)，12f(2)1，1f(1)f(3)1.2f(1)f(3)2f(2)2，这与f(1)f(3)2f(2)2矛盾假设错误，即所证结论成立6(13分)对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x