高考数学知识点题型测试10.doc

2014高考数学知识点题型测试10高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)|pf1|pf2|2a(2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a， |y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e (0e1)e1准线x渐近线yx考点一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)设椭圆1和双曲线x21的公共焦点分别为f1、f2，p为这两条曲线的一个交点，则|pf1|pf2|的值等于_(2)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线c：y28x相交于a、b两点，f为c的焦点若|fa|2|fb|，则k_.答案(1)3(2)解析(1)焦点坐标为(0，2)，由此得m24，故m6.根据椭圆与双曲线的定义可得|pf1|pf2|2，|pf1|pf2|2，两式平方相减得4|pf1|pf2|43，所以|pf1|pf2|3.(2)方法一抛物线c：y28x的准线为l：x2，直线yk(x2)(k0)恒过定点p(2,0)如图，过a、b分别作aml于点m，bnl于点n.由|fa|2|fb|，则|am|2|bn|，点b为ap的中点连接ob，则|ob|af|，|ob|bf|，点b的横坐标为1，故点b的坐标为(1,2)k.方法二如图，由图可知，bbbf，aaaf，又|af|2|bf|，即b是ac的中点与联立可得a(4,4)，b(1,2)kab.(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|pf1|pf2|f1f2|，双曲线的定义中要求|pf1|pf2|f1f2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化(2)注意数形结合，提倡画出合理草图(1)(2012山东)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线交抛物线于点a，b，交其准线l于点c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则此抛物线的方程为()ay29x by26xcy23x dy2x答案(1)d(2)c解析(1)椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆c的方程为1.(2)如图，分别过a，b作aa1l于a1，bb1l于b1，由抛物线的定义知，|af|aa1|，|bf|bb1|，|bc|2|bf|，|bc|2|bb1|，bcb130，afx60.连接a1f，则aa1f为等边三角形，过f作ff1aa1于f1，则f1为aa1的中点，设l交x轴于n，则|nf|a1f1|aa1|af|，即p，抛物线方程为y23x，故选c.考点二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2013辽宁)已知椭圆c：1(ab0)的左焦点为f，c与过原点的直线相交于a，b两点，连接af，bf.若|ab|10，|bf|8，cosabf，则c的离心率为()a. b. c. d.(2)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1、f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|4|pf2|，则双曲线的离心率e的最大值为_答案(1)b(2)解析 (1)在abf中，由余弦定理得|af|2|ab|2|bf|22|ab|bf|cosabf，|af|21006412836，|af|6，从而|ab|2|af|2|bf|2，则afbf.c|of|ab|5，利用椭圆的对称性，设f为右焦点，则|bf|af|6，2a|bf|bf|14，a7.因此椭圆的离心率e.(2)设f1pf2，由得由余弦定理得cos e2.(0,180，cos1,1)，1e21，10，b0)的左焦点f作圆x2y2的切线，切点为e，延长fe交双曲线右支于点p，若e为pf的中点，则双曲线的离心率为_答案(1)(2)解析(1)设椭圆c的焦点在x轴上，如图，b(0，b)，f(c,0)，d(xd，yd)，则b(c，b)，f(xdc，yd)，b2f，又点d在椭圆c上，1，即e2.e.(2)设c，双曲线的右焦点为f.则|pf|pf|2a，|ff|2c.e为pf的中点，o为ff的中点，oepf，且|pf|2|oe|.oepf，|oe|，pfpf，|pf|a，|pf|pf|2a3a.|pf|2|pf|2|ff|2，9a2a24c2，.双曲线的离心率为.考点三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆c：1(ab0)的离心率e，点f为椭圆的右焦点，点a、b分别为椭圆的左、右顶点，点m为椭圆的上顶点，且满足1.(1)求椭圆c的方程；(2)是否存在直线l，当直线l交椭圆于p、q两点时，使点f恰为pqm的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)根据题意得，f(c,0)(c0)，a(a,0)，b(a,0)，m(0，b)，(c，b)，(ac,0)，acc21.又e，ac，c2c21，c21，a22，b21，椭圆c的方程为y21.(2)假设存在满足条件的直线l.kmf1，且mfl，kl1.设直线l的方程为yxm，p(x1，y1)，q(x2，y2)，由消去y得3x24mx2m220，则有16m212(2m22)0，即m2b0时，表示焦点在y轴上的椭圆；ba0时，表示焦点在x轴上的椭圆；ab0)的焦点弦， f为抛物线的焦点，a(x1，y1)、b(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2；(2)|ab|x1x2p(为弦ab的倾斜角)；(3)saob；(4)为定值；(5)以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.1 已知点f是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()a(1，) b(1,2)c(1,1) d(2,1)答案b解析由abx轴，可知abe为等腰三角形，又abe是锐角三角形，所以aeb为锐角，即aef45，于是|af|ef|，ac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得1e1，从而1eb0)的离心率为e，右焦点为f(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点p(x1，x2)()a必在圆x2y22内 b必在圆x2y22上c必在圆x2y22外 d以上三种情形都有可能答案a解析x1x2，x1x2.xx(x1x2)22x1x2.e，ca，b2a2c2a22a2.xx0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为()ay24x或y28x by22x或y28xcy24x或y216x dy22x或y216x答案c解析由题意知：f，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xm5，设以mf为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，又因为圆过点(0,2)，所以ym4，又因为点m在c上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线c的方程为y24x或y216x，故选c.2 与椭圆1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是()ay21 b.x21c.1 d.1答案a解析椭圆1的离心率为，且焦点为(0，2)，所以所求双曲线的焦点为(0，2)且离心率为2，所以c2，2得a1，b2c2a23，故所求双曲线方程是y21.3 (2013江西)已知点a(2,0)，抛物线c：x24y的焦点为f，射线fa与抛物线c相交于点m，与其准线相交于点n，则|fm|mn|等于()a2 b12 c1 d13答案c解析由抛物线定义知m到f的距离等于m到准线l的距离mh.即|fm|mn|mh|mn|fo|af|1.4 过双曲线1(a0，b0)的右焦点f，作圆x2y2a2的切线fm交y轴于点p，切圆于点m,2，则双曲线的离心率是()a. b. c2 d.答案a解析由已知条件知，点m为直三角形ofp斜边pf的中点，故ofom，即ca，所以双曲线的离心率为.5 (2013山东)抛物线c1：yx2(p0)的焦点与双曲线c2：y21的右焦点的连线交c1于第一象限的点m.若c1在点m处的切线平行于c2的一条渐近线，则p等于()a. b. c. d.答案d解析抛物线c1的标准方程为x22py，其焦点f为，双曲线c2的右焦点f为(2,0)，渐近线方程为yx.由yx得xp，故m.由f、f、m三点共线得p.6 椭圆m：1(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2，p为椭圆m上任一点，且12的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆m的离心率e的取值范围是()a， b，c(，1) d，1)答案b解析设p(x，y)，f1(c,0)，f2(c,0)，则1(cx，y)，2(cx，y)，12x2y2c2.又x2y2可看作p(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，所以()maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.故选b.二、填空题7 (2012江苏)在平面直角坐标系xoy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_答案2解析建立关于m的方程求解c2mm24，e25，m24m40，m2.8 (2013福建)椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为f1，f2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点m满足mf1f22mf2f1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线方程为y(xc)，知mf1f260，又mf1f22mf2f1，所以mf2f130，mf1mf2，所以|mf1|c，|mf2|c所以|mf1|mf2|cc2a.即e1.9 (2013辽宁)已知f为双曲线c：1的左焦点，p，q为c上的点若pq的长等于虚轴长的2倍，点a(5,0)在线段pq上，则pqf的周长为_答案44解析由双曲线c的方程，知a3，b4，c5，点a(5,0)是双曲线c的右焦点，且|pq|qa|pa|4b16，由双曲线定义，|pf|pa|6，|qf|qa|6.|pf|qf|12|pa|qa|28，因此pqf的周长为|pf|qf|pq|281644.10已知p为椭圆1上的一点，m，n分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|pm|pn|的最小值为_答案7解析由题意知椭圆的两个焦点f1，f2分别是两圆的圆心，且|pf1|pf2|10，从而|pm|pn|的最小值为|pf1|pf2|127.三、解答题11(2013课标全国)平面直角坐标系xoy中，过椭圆m：1(ab0)右焦点的直线xy0交m于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为.(1)求m的方程；(2)c，d为m上的两点，若四边形acbd的对角线cdab，求四边形acbd面积的最大值解(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则11，得0.因为1，设p(x0，y0)，因为p为ab的中点，且op的斜率为，所以y0x0，即y1y2(x1x2)所以可以解得a22b2，即a22(a2c2)，即a22c2，又因为c，所以a26，所以m的方程为1.(2)因为cdab，直线ab方程为xy0，所以设直线cd方程为yxm，将xy0代入1得：3x24x0，即a(0，)，b，所以可得|ab|；将yxm代入1得：3x24mx2m260，设c(x3，y3)，d(x4，y4)，则|cd|，又因为16m212(2m26)0，即3mb0)经过点p，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆c的方程；(2)ab是经过右焦点f的任一弦(不经过点p)，设直线ab与直线l相交于点m，记pa、pb、pm的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)由p在椭圆1上，得1，又e，得a24c2，b23c2，代入得，c21，a24，b23.故椭圆方程为1.(2)设直线ab的方程为yk(x1)，a(x1，y1)，b(x2，y2)由得，(4k23)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2.k1k22k2k2k2k1.又将x4代入yk(x1)得m(4,3k)，k3k，k1k22k3.故存在常数2符合题意13已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为，其一个顶点的抛物线x24 y的焦点(1)求椭圆c的标准方程；(2)若过点p(2,1)的直线l与椭圆c在第一象限相切于点m，求直线l的方程和点m的坐标；(3)是否存在过点p(2,1)的直线l1与椭圆c相交于不同的两点a，b，且满足2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆c的方程为1 (ab0)，由题意得b，解得a2，c1.故椭圆c的标准方程为1.(2)因为过点p(2,1)的直线l与椭圆c在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1 (k0)由得(34k2) x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆c相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得32(6k3)0，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得m点的横坐标