2011年考研数学春季基础班线性代数讲义-铁军-.pdf

万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 1 1 1 1 20112011 年万学海文线性代数年万学海文线性代数 春季基础班考研辅导讲义春季基础班考研辅导讲义 主讲主讲铁军铁军教授教授 铁军教授简介 著名考研数学辅导专家 近几年在全铁军教授简介 著名考研数学辅导专家 近几年在全国国 各大城市声名鹊起 成为与王式安 赵达夫齐名的考研数各大城市声名鹊起 成为与王式安 赵达夫齐名的考研数学学 辅导辅导 三驾马车三驾马车 之一 铁军教授从事考研数学辅导工作之一 铁军教授从事考研数学辅导工作以以 来 以其高屋建瓴 大气磅礴 睿智幽默的风格 对考点 来 以其高屋建瓴 大气磅礴 睿智幽默的风格 对考点 重点 难点全面 深刻 透彻的把握 关爱学生 高度负重点 难点全面 深刻 透彻的把握 关爱学生 高度负责责 的态度以及对考题的精准预测 令考生受益无穷 特别是的态度以及对考题的精准预测 令考生受益无穷 特别是铁铁 军老师的数学全程保过班 更是以无与伦比的连续性 系军老师的数学全程保过班 更是以无与伦比的连续性 系统统 性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱 戴 戴 20112011 年 考研竞争空前激烈 万学海文邀请铁军教授年 考研竞争空前激烈 万学海文邀请铁军教授亲亲 临面授 为您考研成功保驾护航 您的理想将在您临面授 为您考研成功保驾护航 您的理想将在您我的共我的共同同 努力下实现 这是我们的信心 也将是您的信心 努力下实现 这是我们的信心 也将是您的信心 线性代数在考研数学中占有重要地位 必须予以高度重视 线性代数试题的特点比较线性代数在考研数学中占有重要地位 必须予以高度重视 线性代数试题的特点比较突突 出 以计算题为主 证明题为辅 主要用证明题的方法技巧来解决计算题 因此 必须掌出 以计算题为主 证明题为辅 主要用证明题的方法技巧来解决计算题 因此 必须掌 握证明题的证明技巧 并会在计算题中灵活应用 难点在于线性代数的内容比较抽象 综握证明题的证明技巧 并会在计算题中灵活应用 难点在于线性代数的内容比较抽象 综 合性强 特别是关于向量的线性相关性 矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题合性强 特别是关于向量的线性相关性 矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题 难度较大 必须突破这一难点 难度较大 必须突破这一难点 第一章第一章行列式行列式 行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法 计算行列式的主要方法是降阶法 用按行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法 计算行列式的主要方法是降阶法 用按 行 按列展开公式将行列式降阶 但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等行 按列展开公式将行列式降阶 但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等 变形 化简之后再展开 另外 用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握 变形 化简之后再展开 另外 用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握 大纲内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行 列 展开定理 大纲内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行 列 展开定理 大纲要求 了解行列式的概念 掌握行列式的性质 会应用行列式的性质和行列式按行 大纲要求 了解行列式的概念 掌握行列式的性质 会应用行列式的性质和行列式按行 列 展开定理计算行列式 列 展开定理计算行列式 考点分析 考研试题中关于行列式的题型主要是填空题 考点分析 考研试题中关于行列式的题型主要是填空题 纯粹考行列式的题目很少 但行纯粹考行列式的题目很少 但行 列式是线性代数中必不可少的工具 它在处理以下问题中都有重要应用 列式是线性代数中必不可少的工具 它在处理以下问题中都有重要应用 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 2 2 2 2 1 1 1 1 判定方阵是否可逆以及应用公式 判定方阵是否可逆以及应用公式求逆矩阵 求逆矩阵 A A A 1 1 2 2 2 2 判定 判定个个维向量的线性相关性 维向量的线性相关性 nn 3 3 3 3 计算矩阵的秩 计算矩阵的秩 4 4 4 4 讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解 讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解 5 5 5 5 求方阵的特征值 求方阵的特征值 6 6 6 6 判定二次型及实对称矩阵的正定性 判定二次型及实对称矩阵的正定性 同时 上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型 在复习过程中同时 上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型 在复习过程中 请大家注意及时归纳总结 请大家注意及时归纳总结 重要考点 重要考点 1 1 1 1 行列式按行 按列展开公式为 行列式按行 按列展开公式为 knknkkkk AaAaAaD L 2211nknkkkkk AaAaAa L 2211 2 1 nkL 2 2 2 2 两个特殊公式 设 两个特殊公式 设是是阶方阵 阶方阵 是是阶方阵 则阶方阵 则AmBn 1 1 1 1 2 2 2 2 AOAC A B CBOB 1 mn OACA AB BCBO 3 3 3 3 范德蒙行列式 范德蒙行列式 111 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 ji nij n n nn n n xx xxx xxx xxx L MMM L L L 4 4 4 4 余子式和代数余子式的定义 其中 余子式和代数余子式的定义 其中的余子式为的余子式为 的代数余子式为的代数余子式为 ij a ij M ij a ij ji ij MA 1 典型例题 典型例题 1 1 1 1 计算计算阶行列式阶行列式n 12321 10000 01000 00000 00010 00001 aaaaaa x x x x x D nnn n L L L OO L L L 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 3 3 3 3 2 2 阶行列式阶行列式 n 000 000 0000 000 000 ab ba a ba ba L L MMMMM L L L 范德蒙行列式 范德蒙行列式 12 222 12 1 111 12 111 n nnij j i n nnn n xxx Dxxxxx xxx L L L MMM L 阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式的结构特点是每列元素的结构特点是每列元素按按的升幂排列 构的升幂排列 构n n D 21 1 n iii x xx L i x 成一个等比数列 成一个等比数列 3 3 计算四阶行列式计算四阶行列式 1111 2314 49116 827164 D 4 4 计算四阶行列式计算四阶行列式 其中 其中均不为均不为 0 0 0 0 3 4 3 3 3 3 3 1 2 44 2 33 2 22 2 11 4 2 43 2 32 2 21 2 1 3 4 3 3 3 2 3 1 bbbb babababa babababa aaaa D 4321 aaaa 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 4 4 4 4 5 5 计算四阶行列式计算四阶行列式 1234 2222 11223344 32232323 11223344 1111 1 sin1 sin1 sin1 sin sinsinsinsinsinsinsinsin sinsinsinsinsinsinsinsin D 形如形如的行列式称为三对角型 三斜线形 行列式 三对角型行的行列式称为三对角型 三斜线形 行列式 三对角型行列列 O O O O O O O O O O 式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零 其余元素均为零 对于这类三对角型式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零 其余元素均为零 对于这类三对角型行行 列式通常可用递推法 列式通常可用递推法 6 6 6 6 计算计算阶行列式阶行列式1 n n nn n b bb b bb b D 110000 10000 000 00110 00011 00001 1 2 21 1 1 OOO O 7 7 五阶行列式 五阶行列式的值为的值为 5 43000 14300 01430 00143 00014 D 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 5 5 5 5 8 8 五阶行列式五阶行列式 1000 1100 0110 0011 00011 aa aa Daa aa a 形如形如的行列式称为箭形 爪形或扇形行列式 其特点是行列式中的行列式称为箭形 爪形或扇形行列式 其特点是行列式中主主 L L L M O MO MO 对角线上的元素和第一行 第一列上的元素不为零 其余元素均为零 对于箭形对角线上的元素和第一行 第一列上的元素不为零 其余元素均为零 对于箭形 爪形或扇形行列式 可用主对角线上的元素化其为上 下 三角型行列式进行计爪形或扇形行列式 可用主对角线上的元素化其为上 下 三角型行列式进行计 算 算 9 9 计算计算阶行列式阶行列式1 n n n a a a a D L MOMMM L L L 001 001 001 111 2 1 0 1 0 21 n aaaL 10 10 计算计算阶行列式阶行列式n n Dn 0001 000 00301 00021 1110 OM L 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 6 6 6 6 11 11 计算计算阶行列式阶行列式n 1 2 3n n abbbb babb Dbbab bbba L L LLL LL L 2 1 nibaiL 计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式 掌握简化行列式运算的两个重要公式 计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式 掌握简化行列式运算的两个重要公式 设设是是阶方阵 阶方阵 是是阶方阵 则阶方阵 则AmBn 1 1 1 1 2 2 2 2 AOAC A B CBOB 1 mn OACA AB BCBO 1212 计算计算 12030 01040 00050 711657 18181 13 13 计算五阶行列式计算五阶行列式 89500 78650 67321 43000 21000 D 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 7 7 7 7 1414 设 设均是均是阶矩阵 阶矩阵 A Bn 1 3 1 2 AA Aa Bb C BO 则则 C 15 15 四阶行列式四阶行列式的值等于的值等于 11 22 33 44 00 00 00 00 ab ab ba ba A A A A B B B B 1 2 3 41 2 3 4 a a a ab b b b 1 2 3 41 2 3 4 a a a ab b b b C C C C D D D D 43432121 bbaabbaa 41413232 bbaabbaa 若行列式中含有变量若行列式中含有变量 则该行列式展开后成为关于 则该行列式展开后成为关于的多项式 可考查该多项式的多项式 可考查该多项式xx 的次数 零点等问题 的次数 零点等问题 1616 设行列式设行列式 则 则的展开式中 的展开式中 的系数是的系数是 4 5123 213 23 1213 x x D xx x 4 D 4 x 的系数是的系数是 3 x 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 8 8 8 8 17 17 设行列式设行列式 2123 22212223 33324535 4435743 xxxx xxxx f x xxxx xxxx 则方程则方程的根的个数为 的根的个数为 0 xf A A A A 1 1 1 1 B B B B 2 2 2 2 C C C C 3 3 3 3 D D D D 4 4 4 4 18 18 设多项式设多项式 11121314 21222324 31323334 41424344 axaxaxax axaxaxax p x axaxaxax axaxaxax 则则的次数至多是 的次数至多是 xp A A A A 1 1 1 1 B B B B 2 2 2 2 C C C C 3 3 3 3 D D D D 4 4 4 4 计算计算代数余子式线性组合的值 代数余子式线性组合的值 1 1 1 1 余子式和代数余子式 余子式和代数余子式 在在 n n n n 阶行列式阶行列式 余下的元素按原有顺序构成的 余下的元素按原有顺序构成的 nij Dai中 划去元素所在的第 行和第j列 阶行列式 称为元素阶行列式 称为元素的余子式 记作的余子式 记作1n ij a ij M 之前加上符号 称为元素之前加上符号 称为元素的代数余子式 记作的代数余子式 记作 ij M余子式 ij a 1 i j ijij AM 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 9 9 9 9 2 2 2 2 代数余子式的性质 代数余子式的性质 1 1 1 1 和和的大小无关 的大小无关 ij A ij a 2 2 1122iiiiinin a Aa Aa AA L 1122jjjjnjnj a Aa Aa AA L 1 2 i jn L 3 3 1122 0 ijijinjn a Aa Aa Aij L 4 4 的伴随矩阵的伴随矩阵 则则A 11211 12222 12 n n jin n nnnn AAA AAA AA AAA L L MMMM L 由 于由 于中 的 元 素 为中 的 元 素 为 可 先 求 可 先 求 再 求 再 求 jin n AA ji A 1 AA A 和和 12iiin AAA L 12jjnj AAA L 设设的特征值为的特征值为 则 则 A 12 n L 112212nnn AAA LL 评注 设 评注 设 的代数余子式为的代数余子式为 则 则只与只与的的位位 1111 1 1 jn iijin nnjnn aaa aaaA aaa LL LLLLL LL LLLLL LL ij a ij A ij A ij a 置有关 而与置有关 而与的大小无关 所以若改变的大小无关 所以若改变中中的值而其他元素不变 则的值而其他元素不变 则的的值值 ij aA ij a ij A 不变 因此可用元素置换法不变 因此可用元素置换法计算计算代数余子式线性组合的值 代数余子式线性组合的值 1919 设设 4521 0111 3011 2101 A 求 求 1 1 1 1 2 2 2 2 42322212 AAAA 44434241 AAAA 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 10101010 2020 设行列式设行列式 则第四行各元素余子式之和的值为 则第四行各元素余子式之和的值为 2235 0070 2222 0403 D 2121 设 设是三阶可逆矩阵 是三阶可逆矩阵 的特征值为的特征值为求求的代数余子式之和 的代数余子式之和 A 1 A 1 2 3 A 112233 AAA 计算抽象矩阵的行列式 主要利用矩阵行列式的性质 计算抽象矩阵的行列式 主要利用矩阵行列式的性质 设设为为阶矩阵 则有阶矩阵 则有An 1 1 n kAkA 2 2 k k ABA BAA 3 3 TTTT AAABABAB 4 4 设 设为为阶可逆矩阵 则阶可逆矩阵 则An 1 1 A A 5 5 利用行列式加法运算的性质 利用行列式加法运算的性质 设设为为维列向量 维列向量 为为维行向量 则维行向量 则 i n i n 1231241234 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 11111111 111 222 3434 2222 设设 A A A A 为为 3 3 3 3 3 3 矩阵 矩阵 把 把 A A 按列分块为按列分块为 其中 其中是是 A A 的的2 A 321 AAA 3 2 1 jAj 第第列 则列 则 j 1213 3 2AAAA 2323 设设均为均为 4 4 4 4 维列向量 且维列向量 且 则 则 321 a 321 b 132 321 2 2424 设设阶矩阵阶矩阵 其中 其中n 21n A L 13221 n BL 12 n L 为为维列向量 已知行列式维列向量 已知行列式 求行列式 求行列式的值 的值 n 0 aaAB 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 12121212 2525 若若 A A A A 是是阶方阵 且阶方阵 且 证明 证明 nEAAT 1 A0 EA 2626 设 设 A A B B 均为均为阶矩阵 阶矩阵 则 则 n3 2 BA 1 2BA 第二章第二章矩阵矩阵 矩阵是线性代数的主要研究对象 有着广泛的应用 矩阵考试的重点矩阵是线性代数的主要研究对象 有着广泛的应用 矩阵考试的重点 是 矩阵的乘法运算 逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 以计算题为主 技巧性强 是 矩阵的乘法运算 逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 以计算题为主 技巧性强 大纲内容 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 大纲内容 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变 换 初等矩阵 矩阵的等价 矩阵的秩 初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 分块矩阵换 初等矩阵 矩阵的等价 矩阵的秩 初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 分块矩阵 及其运算 及其运算 大纲要求 掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算 特别是矩阵的乘法 矩阵的转置 逆矩 大纲要求 掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算 特别是矩阵的乘法 矩阵的转置 逆矩 阵 方阵的行列式等 要掌握它们的运算规律 逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件阵 方阵的行列式等 要掌握它们的运算规律 逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件 会用各种方法求出矩阵的逆矩阵 矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各会用各种方法求出矩阵的逆矩阵 矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各 种问题的重要方法 因此必须掌握矩阵的初等变换 会用初等变换解决有关问题 种问题的重要方法 因此必须掌握矩阵的初等变换 会用初等变换解决有关问题 考点分析 矩阵乘法有分配律 结合律 但是没有交换律 没有消去律 考点分析 矩阵乘法有分配律 结合律 但是没有交换律 没有消去律 1 1 矩阵乘法运算一般不满足交换律 即矩阵乘法运算一般不满足交换律 即 因此要注意运算次序 因此要注意运算次序 BAAB 2 2 一般地 一般地 或或 00 AAB0 B00 AAk 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 13131313 3 3 除非 除非 A A 是列满秩矩阵是列满秩矩阵ABACBC 4 4 TTT ABAB 5 5 设设 其中 其中均为均为维行向量 即维行向量 即 则 则 T A n 21 2 1 n n bbb a a a AL M 非零阵非零阵 A A 可表为可表为的形式的充要条件为 的形式的充要条件为 秩秩 T T A1 A 注意 与注意 与相关的问题 是考研数学中常见题型 相关的问题 是考研数学中常见题型 T 典型例题典型例题 计算计算阶矩阵的高次幂是一种重要题型 包括 阶矩阵的高次幂是一种重要题型 包括 n 1 1 1 1 计算一般矩阵的高次幂 计算一般矩阵的高次幂 2 2 计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次幂 高次幂 3 3 计算分块对角矩阵的计算分块对角矩阵的高次幂 高次幂 设设 则 则 1 2 s A A A A O 1 2 n n n n s A A A A O 4 4 计算能相似对角化的矩阵的 计算能相似对角化的矩阵的高次幂高次幂 1 1 设设 而 而为正整数 则为正整数 则 101 020 101 A2 n 1 2 nnn AAA 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 14141414 2 2 2 2 设 设 令 令 求 求 10 01 43 21 p 13 24 QQpA n A2 3 3 已知已知 则 则 363 242 121 A 20 A A 4 4 已知已知 设 设 则 则 3 2 1 3 1 2 1 1 T A n A 5 5 设设维行向量维行向量 矩阵 矩阵 其中 其中为为阶单阶单n 2 1 0 0 2 1 L 2 TT AEBE En 位矩阵 则位矩阵 则 ABABABAB 等于 等于 A A A A O O O O B B B B C C C C D D D D E E T E 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 15151515 6 6 设 设 若存在秩大于 若存在秩大于 的三阶矩阵的三阶矩阵 使得 使得 则 则 213 1 46 Aab c 1BABO n A 7 7 设 设 求 求 10000 01000 00010 00001 00000 A 10 A 逆矩阵与伴随矩阵 逆矩阵与伴随矩阵 1 1 1 1 求逆矩阵方法 用初等变换 不能行 列变换混用 求逆矩阵方法 用初等变换 不能行 列变换混用 1 AEEA 只用行变换 1 A E E A 只用列变换 2 2 2 2 矩阵矩阵 A A A A 可逆的充要条件 可逆的充要条件 1 1 1 1 存在 存在阶方阵阶方阵 B B B B 使 使nEBAAB 2 2 2 2 0 A 3 3 3 3 秩 秩 A A A A 为为阶方阵 阶方阵 nA n 4 4 4 4 A A A A 与同阶单位矩阵与同阶单位矩阵 E E E E 等价等价 5 5 5 5 A A A A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积可以表示成若干个初等矩阵的乘积 6 6 6 6 齐次线性方程组 齐次线性方程组只有零解只有零解0 AX 7 7 7 7 对任意 对任意维列向量维列向量 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组有唯一解 有唯一解 nbbAX 8 8 8 8 A A A A 的行 列 向量组线性无关 的行 列 向量组线性无关 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 16161616 9 9 9 9 A A A A 的特征值均不为的特征值均不为 21n AO LQ 3 3 3 3 逆矩阵常用公式 逆矩阵常用公式 1 1 1 1 2 2 2 2 AA 1 1 T T AA 1 1 3 3 3 3 4 4 4 4 111 ABAB A A 1 1 5 5 5 5 0 1 11 kA k kA 4 4 4 4 思维定势 思维定势 1 1 1 1 题设条件与 题设条件与有关 则立即联想到用公式有关 则立即联想到用公式 AEAAAAA 2 2 2 2 若涉及到 若涉及到 A A A A B B B B 是否可交换 即是否可交换 即 则立即联想到用逆矩阵的定义去分析 则立即联想到用逆矩阵的定义去分析BAAB 3 3 3 3 若题设 若题设阶方阵阶方阵 A A A A 满足满足 要证 要证可逆 则先分解出因子可逆 则先分解出因子再再n0 AfbEaA bEaA 说 说 5 5 5 5 伴随矩阵的主要定理和公式伴随矩阵的主要定理和公式 1 1 1 1 2 2 2 2 EAAAAA 0 1 1 时当 AA A A 3 3 3 3 0 1 1 时当 AA A A 4 4 4 4 为常数 为常数 A A A A 为为阶矩阵 阶矩阵 Ak kA n1 kn2 n 5 5 5 5 A A A A 为为阶矩阵 阶矩阵 1 n AAn2 n 6 6 6 6 A A A A 为任为任阶矩阵 阶矩阵 AAA n2 n2 n 7 7 7 7 8 8 8 8 T T AA ABAB 9 9 设设 A A A A 是是阶矩阵阶矩阵 则 则n 2 n n 1 n1 0 n1 nA AA A 若秩 秩若秩 若秩 8 8 设设 A A A A 为为阶非零矩阵 证明当阶非零矩阵 证明当时 时 A A A A 可逆 可逆 n T AA 9 9 设设维向量维向量 E E E E 为为阶单位矩阵 矩阵阶单位矩阵 矩阵 n oaaooa T L n T EA 其中 其中 A A A A 的逆矩阵为的逆矩阵为 B B B B 则 则 T a EB 1 a 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 17171717 1010 设设阶可逆矩阵阶可逆矩阵 A A A A 中每行元素之和均为常数中每行元素之和均为常数 证明 证明 1 1 1 1 常数 常数na0 a 2 2 2 2 的每行元素之和均为的每行元素之和均为 1 A 1 a 1111 设设 A A A A B B B B 均为均为阶方阵 且阶方阵 且 nBAAB 证明 证明 1 1 1 1 2 2 2 2 BEEA 1 BAAB 1212 已知已知可逆 试证可逆 试证也可逆 并求也可逆 并求 ABE BAE 1 BAE 1313 设设 A A A A 是是阶方阵 且阶方阵 且 则 则 n0 3 A A A A A A A A A 不可逆 且不可逆 且不可逆 不可逆 EA B B B B A A A A 可逆 但可逆 但 E AE AE AE A 不可逆 不可逆 C C C C 及及均可逆 均可逆 EAA 2 EAA 2 D D D D A A A A 不可逆 且必有不可逆 且必有 2 0A 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 18181818 1414 已知 已知 A A B B 为为 3 3 阶矩阵 且满足阶矩阵 且满足 其中 其中 E E 是是 3 3阶单位矩阵 阶单位矩阵 1 1 证明 证明 EBBA42 1 矩阵矩阵 A 2EA 2E可逆 可逆 2 2 若 若 求矩阵 求矩阵 A A 200 021 021 B 1515 设矩阵 设矩阵 A A B B 满足满足 其中 其中 E E 为单位矩阵 为单位矩阵 为为的的伴伴EBABAA82 100 020 001 A AA 随矩阵 则随矩阵 则 B B 1616 已知三阶矩阵 已知三阶矩阵 A A 的逆矩阵的逆矩阵 试求 试求 311 121 111 1 A 1 A 1717 设矩阵设矩阵 矩阵 矩阵满足满足 求矩阵 求矩阵 111 111 111 AXXAXA2 1 X 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 19191919 18 18 设矩阵设矩阵 A A A A 满足满足 其中 其中是是 A A A A 的伴随矩阵 的伴随矩阵 为为 A A A A 的转置矩阵的转置矩阵 若若 33 ij a T AA A T A 为三个相等的正数 则为三个相等的正数 则为为 131211 aaa 11 a A A A A B B B B 3 3 3 3 C C C C D D D D 3 3 3 1 3 1 1 只要把子块或子矩阵当做通常的矩阵元素 分块矩阵的加 减 乘法 数乘与转只要把子块或子矩阵当做通常的矩阵元素 分块矩阵的加 减 乘法 数乘与转 置等运算就与通常矩阵的相应运算基本相同 置等运算就与通常矩阵的相应运算基本相同 2 2 设设 A A B B 均为可逆方阵 则均为可逆方阵 则 1 1 1 BO OA BO OA OA BO OB AO 1 1 1 1 111 1 BO CBAA BO CA 111 1 1 BCAB OA BC OA 1919 设设 A A A A 为为阶非奇异矩阵 阶非奇异矩阵 为为维列向量 维列向量 为常数 记分块矩阵为常数 记分块矩阵n nb 其中 其中是矩阵是矩阵 A A A A 的伴随矩阵 的伴随矩阵 I I I I 为为阶单位矩阵 阶单位矩阵 b A Q AA OI P T T An 1 1 1 1 计算并化简 计算并化简 PQPQPQPQ 2 2 2 2 证明 矩阵 证明 矩阵 Q Q Q Q 可逆可逆 bA T 1 2020 设 设 A A B B 为为阶矩阵 阶矩阵 分别为分别为 对应的伴随矩阵 分块矩阵对应的伴随矩阵 分块矩阵 则则n BA AB BO OA C C C 的伴随矩阵的伴随矩阵 C A A B B BBO OAA AAO OBB 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 20202020 C C D D ABO OBA BAO OAB 初等矩阵与初等矩阵与初等变换 初等变换 1 1 1 1 单位矩阵单位矩阵 E E E E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 2 2 2 2 对应于三种初等变换的三种初等矩阵为 对应于三种初等变换的三种初等矩阵为 1 1 交换 交换 E E 的两行或两列得到的两行或两列得到 jiE 2 2 非零常数 非零常数乘乘的的 i i 行或行或 i i 列得到 列得到 kiEkE 3 3 E E 的的行 列 的行 列 的倍加到倍加到 i i 行 列 行 列 kjiEjk 3 3 初等矩阵的逆矩阵 初等矩阵的逆矩阵 1 1 1 jiEjiE 2 2 0 k 1 1 k iEkiE 3 3 1 kjiEkjiE 4 4 1 1 初等矩阵 初等矩阵 P P 左乘左乘 A A 所得所得 PAPA 就是就是 A A 作了一次与作了一次与 P P 同样的初等行变换 同样的初等行变换 2 2 初等矩阵 初等矩阵 P P 右乘右乘 A A 所得所得 APAP 就是就是 A A 作了一次与作了一次与 P P 同样的初等列变换 同样的初等列变换 2121 计算 计算 20042003 001 010 100 987 654 321 100 001 010 2222 设设 A A A A 是是阶可逆矩阵 将阶可逆矩阵 将 A A A A 的第的第 行与第行与第行对调后得到的矩阵记为行对调后得到的矩阵记为 B B B B 证明 证明 B B B B可逆 可逆 nij 并求并求 1 AB 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 21212121 2323 设 设 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A 414243 31323334 21222324 11121314 4aaaa aaaa aaaa aaaa B 其中 其中 A A 可逆 则可逆 则等于 等于 0001 0100 0010 1000 1 P 1000 0010 0100 0001 2 P 1 B A A B B C C D D 21 1 PPA 2 1 1 PAP 1 21 APP 1 1 2 PAP 2424 设设 A A A A 为为n n n n 阶可逆矩阵 交换 阶可逆矩阵 交换 A A A A 的第的第 1 1 1 1 行与第行与第 2 2 2 2 行得矩阵行得矩阵 B B B B 分别为分别为 A BA BA BA B2 n B A 的伴随矩阵 则 的伴随矩阵 则 A A A A 交换交换的第的第 1 1 1 1 列与第列与第 2 2 2 2 列得列得 A B B B B B 交换交换的第的第 1 1 1 1 行与第行与第 2 2 2 2 行得行得 A B C C C C 交换交换的第的第 1 1 1 1 列与第列与第 2 2 2 2 列得列得 A B D D D D 交换交换的第的第 1 1 1 1 行与第行与第 2 2 2 2 行得行得 A B 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 22222222 第三章第三章向量向量 本章是考研复习的重点 也是难点 一定要吃透线性相关 线性无关的概念 性质和本章是考研复习的重点 也是难点 一定要吃透线性相关 线性无关的概念 性质和 判别法 并能灵活运用 熟记一些常见结论 并能将线性相关 线性无关的概念与矩阵的判别法 并能灵活运用 熟记一些常见结论 并能将线性相关 线性无关的概念与矩阵的 秩 线性方程组的解的结构定理进行转换 连接 开阔思路 提高综合能力 秩 线性方程组的解的结构定理进行转换 连接 开阔思路 提高综合能力 大纲内容 向量的概念 大纲内容 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向 量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 数学一还要求掌握 向量空间以及相关概念 数学一还要求掌握 向量空间以及相关概念 n n n n 维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 大纲要求 理解 大纲要求 理解 n n n n 维向量的概念 向量的线性组合与线性表示 理解向量组线性相关与维向量的概念 向量的线性组合与线性表示 理解向量组线性相关与 线性无关的概念 了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法 会求向量线性无关的概念 了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法 会求向量 组的极大线性无关组和向量组的秩 了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 会用矩阵的组的极大线性无关组和向量组的秩 了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 会用矩阵的 秩解决有关问题 数学一还要求 了解秩解决有关问题 数学一还要求 了解n n n n 维向量空间 基 维数 坐标等概念 会求基变维向量空间 基 维数 坐标等概念 会求基变 换的过渡矩阵 并通过过渡矩阵求向量在新 旧基下的坐标 了解内积的概念 掌握向量换的过渡矩阵 并通过过渡矩阵求向量在新 旧基下的坐标 了解内积的概念 掌握向量 组正交规范化的施密特 组正交规范化的施密特 SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt 方法 以及正交矩阵的概念与性质 方法 以及正交矩阵的概念与性质 考点分析 判别向量组线性相关 线性无关的方法 考点分析 判别向量组线性相关 线性无关的方法 1 1 1 1 定义法 定义法 1 1 1 1 若存在不全为 若存在不全为 0 0 0 0 的数的数 使 使 m kkk 21 L 则 则线性相关 线性相关 0 2211 mm kkk L m 21 L 2 2 2 2 令 令而而 则 则0 2211 mm kkk L0 21 m kkkL 线性无关 定义法的关键是恒等变形 线性无关 定义法的关键是恒等变形 m 21 L 2 2 2 2 思维定势 思维定势 1 1 1 1 若要证明向量组 若要证明向量组线性无关 先考虑用定义线性无关 先考虑用定义 s 21 L 再说 再说 2 2 2 2 若已知条件涉及线性相关的话 先用定义处理一下再说 若已知条件涉及线性相关的话 先用定义处理一下再说 3 3 3 3 利用向量组的秩 利用向量组的秩 1 1 1 1 当秩 当秩 时 向量组时 向量组线性相关 线性相关 m 21 Lm t 21 L 简记为 多数向量能用少数向量表示 则线性相关 简记为 多数向量能用少数向量表示 则线性相关 4 4 4 4 逆否命题 若 逆否命题 若可由可由线性表示 且线性表示 且线性无关线性无关 t 21 L s 21 L t 21 L 则必有则必有 st 7 7 7 7 利用定理 利用定理 1 1 1 1 任 任个个维向量必线性相关 维向量必线性相关 1 nn 2 2 2 2 若向量组 若向量组的一个部分组线性相关 则向量组的一个部分组线性相关 则向量组亦线性相亦线性相关 关 s 21 L s 21 L 反之 若反之 若线性无关 则它的任一部分组都线性无关 线性无关 则它的任一部分组都线性无关 s 21 L 此定理简记为 部分组线性相关 则整体组线性相关 整体组线性无关 则其此定理简记为 部分组线性相关 则整体组线性相关 整体组线性无关 则其任任 一部分组也线性无关 一部分组也线性无关 3 3 3 3 设 设是是维 向 量 维 向 量 是是维 向 量 令维 向 量 令 s 21 Lm s 21 Ln 其中 其中是是维向量 通常称维向量 通常称 s s s 2 2 2 1 1 1 L s L 21 nm 是向量组是向量组的延伸组 的延伸组 称为称为的缩短的缩短 s L 21s 21 L s 21 L s L 21 组 组 若缩短组线性无关 则延伸组也线性无关 若延伸组相关 则缩短组也线性相若缩短组线性无关 则延伸组也线性无关 若延伸组相关 则缩短组也线性相 关 关 4 4 4 4 相同结论 对线性无关向量组中每个向量在相同位置上任意添加分量 所得向 相同结论 对线性无关向量组中每个向量在相同位置上任意添加分量 所得向量量 组仍线性无关 对线性相关向量组中每个向量去掉相同位置上的分量 则所得向组仍线性无关 对线性相关向量组中每个向量去掉相同位置上的分量 则所得向 量组仍线性相关 量组仍线性相关 8 8 8 8 用反证法 用反证法 9 9 9 9 用观察法 用观察法 10101010 向量组 向量组线性无关线性无关对任意一组不全为对任意一组不全为 0 0 0 0 的数的数 m 21 L 都有 都有 m kk 1 L0 2211 mm kkk L 典型例题典型例题 1 1 设向量组 设向量组线性无关 则 线性无关 则 321 A A 线性无关 线性无关 21 32 13 B B B B 线性无关 线性无关 21 32 321 2 C C C C 线性无关 线性无关 21 2 32 32 13 3 D D D D 线性无关 线性无关 321 321 32 321 34 2 2 设向量组设向量组 I I I I 可由向量组可由向量组 线性表示 则 线性表示 则 r 21 L s 21 L A A A A 当 当时 向量组时 向量组 必线性相关 必线性相关 sr 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 24242424 C C C C 当 当时 向量组时 向量组 I I I I 必线性相关 必线性相关 sr 3 3 对任意实数对任意实数 线性无关的向量组是 线性无关的向量组是 cba A A A A 2 1 a 3 2 b 0 0 0 B B B B 1 1 b 3 1 a 3 2 c 1 0 c C C C C 1 1 1 a 0 1 1 b 0 0 1 c D D D D 1 1 1 a 2 2 2 b 0 0 0 c 4 4 设设A A A A是是阶 矩 阵 阶 矩 阵 是是维 列 向 量 且维 列 向 量 且 n 321 n0 1 证明 证明 线性无关 线性无关 32321211 AAA 321 5 5 设向量组设向量组 12 1 1 2 1 1 0 0 2 线性相关 则参数线性相关 则参数 3 1 4 8 k k 6 6 设三阶矩阵设三阶矩阵三维向量三维向量 已知 已知与与线性相关 则线性相关 则 403 212 221 A T a 1 1 A a 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 25252525 7 7 设向量组设向量组线性无关 若向量组线性无关 若向量组 321 也 线 性 无 关 则 参 数也 线 性 无 关 则 参 数满 足 的 条 件满 足 的 条 件 13232211 kk 21 k k 是是 8 8 设在 向 量 组设在 向 量 组中 中 且 每 一 个 且 每 一 个都不 能 由都不 能 由 m 21 L0 2 1 mi i L 线性表示 证明 此向量组线性无关 线性表示 证明 此向量组线性无关 121 i L 9 9 设向量组设向量组线性相关 向量组线性相关 向量组线性无关 问 线性无关 问 321 432 1 1 1 1 能否由能否由线性表出 证明你的结论 线性表出 证明你的结论 1 32 2 2 2 2 能不由能不由线性表出 证明你的结论 线性表出 证明你的结论 4 321 1010 若向量组若向量组线性无关 线性无关 线性相关 则 线性相关 则 A A A A 必可由必可由线性表示 线性表示 万学教育万学教育 海文考研海文考研2011201120112011 春季数学基础班春季数学基础班 线性代数线性代数 圆圆工作室 友情提示 购买原版 饮水思源 26262