2012年超越考研暑期强化班讲义练习题参考答案全部.pdf

2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 1 页 共 23 页 练习题参考解答练习题参考解答练习题参考解答练习题参考解答 第一章第一章第一章第一章函数 极限与连续函数 极限与连续函数 极限与连续函数 极限与连续 练习练习练习练习 1 1 1 1 1 1 1 1 解 当 解 当0 xf 从而 从而 1 xff 当当0 x时 时 01 0 x时 时 01 xf 从而 从而 1 xff 于是 于是 2 2 k充分大充分大 故故 xx xf 1 sin 1 在区间在区间 1 0 上是无界函数 上是无界函数 练习练习练习练习 2 2 2 2 1 1 解 法 解 法 1 1 1 1 排除法 特例法 排除法 特例法 反例反例 1 1 1 1 0 1 n n n yx 排除 排除 A A A A 反例反例 2 2 nyx nn 0 排除 排除 B B B B 反例反例 3 3 n nn yx 1 1 排除 排除 C C C C 法法 2 2 2 2 直接法 直接法 000 1 limlim n nn n n n x yxy 练习练习练习练习 3 3 3 3 1 1 1 1 解 原式 解 原式 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 lim e e e x x x x x 2 2 2 2 解 法 解 法 1 1 重要极限 重要极限 原式原式a ax ax ax ax axax axaxax cos 2 coslim 2 2 sin lim 2 cos 2 sin2 lim 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 2 页 共 23 页 法法 2 2 洛必达法则 洛必达法则 原式原式ax ax coscoslim 法法 3 3 导数定义 导数定义 原式原式ax ax cos sin 练习练习练习练习 4 4 4 4 1 1 1 1 解 由等价无穷小和重要极限可得 解 由等价无穷小和重要极限可得 原式原式 2 1 sin 2 1 lim 2 0 x xx x 2 2 2 2 2 2 1 1 lim1 2 1 sin 1 1ln 2 sinlim 2ln 2 tanlim 111 x x x xx x x xxx 原式原式 2 e 练习练习练习练习 5 5 5 5 1 1 1 1 解 有理化可得 解 有理化可得 原式原式1 tan1tan1 1tan lim2 tan1tan1 tan2 lim 00 xxx x xxx x xx 2 2 2 2 解 利用恒等变形及连续性 解 利用恒等变形及连续性 xln在在ex 处 可得 处 可得 原式原式1ln 1 1ln lim e x x x 练习练习练习练习 6 6 6 6 1 1 1 1 解 由两角和三角公式可得 解 由两角和三角公式可得 1sin 2 nnn nn n 1 sin 1 2 1 1 n 有界有界 00sin 1 limsin 1 sinlim 22 nnnn nn 无穷小无穷小 由无穷小性质可得 原式由无穷小性质可得 原式0 2 2 2 2 解 解 2 arctan n 0 1 1 lim 2 n n 0 1 arctan lim 2 n n n 练习练习练习练习 7 7 7 7 1 1 1 1 解 设 解 设 max 1 i ki aa 则 则 akaaaa n n n k nn 1 21 L 1lim n n k 由夹挤准则可得 原式由夹挤准则可得 原式 max 1 i ki a 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 3 页 共 23 页 2 2 2 2 解 法 解 法 1 1 夹挤准则 夹挤准则 xxx 1 1 1 1 当当0 x xx 而而1 1 lim 0 x x 由夹逼准则可得由夹逼准则可得1 1 lim 0 x x x 当当0 x时时 1 1 1 x xx 而而1 1 lim 0 x x 由夹逼准则可得由夹逼准则可得1 1 lim 0 x x x 于是 由极限与左右极限关系可得 于是 由极限与左右极限关系可得 1 1 lim 0 x x x 法法 2 2 2 2 有界函数与无穷小积 有界函数与无穷小积 1 1 1 11 1 1 xx x xxx x x x 其中 其中1 1 1 n n n n xx 4434421 L 44443444421 L n x单调增加单调增加 222222222 1 0 1 1 1 0 1 1 x x x xx xf 从而由几何意义可得 从而由几何意义可得 存在跳跃存在跳跃间断点间断点1 x 练习练习练习练习 12121212 1 1 证 证 1n xxCxf xf在在 1n xx上存在最大值上存在最大值M与最小值与最小值m 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 5 页 共 23 页 Mxfm i ni 2 1L nMxfnm n i i 1 即 即Mxf n m n i i 1 1 由介值定理可得 存在由介值定理可得 存在 1 baxx n 使得 使得 n i i xf n f 1 1 2 2 2 2 证 设 证 设144 4 xxxf 则 则 Cxf 注意到 注意到 f f 012 4 1 2 1 f 故由 推广的 零点定理知 方程在故由 推广的 零点定理知 方程在 2 1 2 1 内各至内各至 少存在一个根 即方程少存在一个根 即方程0144 4 xx至少有两个不同的实根 至少有两个不同的实根 练习练习练习练习 13131313 1 1 1 1 解 解 2 1 3 1 2 2 3 xx x x xx x y 且 且 0 2 3 lim 2 xx x x 2 3 lim 2 1 xx x x 2 3 lim 2 2 xx x x 曲线有垂直渐近线曲线有垂直渐近线1 2 xx和斜渐近线和斜渐近线1 xy 2 2 2 2 解 解 0 1 1 1 lim 1 limlim 2323232232 3232 xxxx xxy xxx 0 y为水平渐近线 为水平渐近线 第二章第二章第二章第二章一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学 练习练习练习练习 1 1 1 1 1 1 1 1 解 解 xf 存在 存在 1 1 1 1 lim 1 1 lim n n xfxf n xf n xf n xf n xfn nn 2 1 1 lim 1 1 limxf n n xfxf n xf n xf nn 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 6 页 共 23 页 2 2 解 解 1 1 确定不可导点范围 确定不可导点范围 3 3 2 1 22 xxxxxf 而 而 2 2 x 3 3 2 xx处处可导 处处可导 1 x在在1 x处不可导 处不可导 不可导点只可能是不可导点只可能是1 x 2 2 甄别 甄别 设设 3 2 32 xxx 则 则 1 xxxf 0 1 1 x是是 xf的不可导点 的不可导点 练习练习练习练习 2 2 2 2 1 1 1 1 解 由导数定义可得 解 由导数定义可得 541 2 2sin lim 2 2 lim 2 22 22 xx x x x fxf f xx 2 2 2 2 解 法 解 法 1 1 导数定义 导数定义 由导数定义及复合函数求导法则可得 由导数定义及复合函数求导法则可得 ln 1 ln 1 ln lim af af xf n af n af ax n 原式原式 af af e 法法 2 2 泰勒公式 泰勒公式 由一阶泰勒公式可得 由一阶泰勒公式可得 1 1 1 n o n afaf n af 原式原式 1 1 1 lim af af n n e n o naf af 练习练习练习练习 3 3 3 3 1 1 1 1 解 解 222222 1 2 2 1 1 1 ax x axaxx y x axax y2 2 1 1 22222322 ax x 练习练习练习练习 4 4 4 4 1 1 1 1 解 由 解 由 yyf exe 取对数得取对数得ln xf yy 两边同时对 两边同时对x求导 视求导 视y为为x的函数 的函数 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 7 页 共 23 页 1 fy yy x 解得解得 1 1 y xfy 于是 于是 2 2223 1 1 1 1 fyxfy yfyfy y xfyxfy 2 2 2 2 解 解 2 1 1 3 1 3 1 12 1 3 2 32 3 t t tt dt dx dt dy dx dy 6 33 4 1 1 tt t 练习练习练习练习 5 5 5 5 1 1 1 1 解 解 xx ey sinln cotsin ln sinxxxxy x 练习练习练习练习 6 6 6 6 1 1 1 1 解 解 0 0 1 0 arctan arctan xe x xe xf x x 当当0 x时 时 2 arctan 1 x e xf x 当 当0 x时 时 2 arctan 1 x e xf x 当当0 x时 时 1 arctan lim 1 lim 0 lim 0 0 arctan 00 x x x e x fxf f x x xx 1 arctan lim 1 lim 0 lim 0 0 arctan 00 x x x e x fxf f x x xx 0 0 ff 故故 xf在在0 x处不可导 即处不可导 即 0 f 不存在 不存在 于是 于是 2 arctan sgn 1 sgn x e xxf xx 0 x 评注 左右可导 函数未必可导 但一定连续 评注 左右可导 函数未必可导 但一定连续 练习练习练习练习 7 7 7 7 1 1 1 1 解 解 4 cos 2 sin cos xexxey xx 4 2 cos 2 4 sin 4 cos 2 2 xexxey xx 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 8 页 共 23 页 4 cos 2 n xey xnn 2 2 2 2 解 法 解 法 1 1 利用 利用 1ln x 的高阶导数公式 的高阶导数公式 1ln 1ln xxy 11 eF 0 1 x C x x 1 arctanarctan 0 x 当当0 x时 取时 取1 x可得 可得 2 1arctan2 C 故故 2 1 arctanarctan x x 0 x 注 原题中 注 原题中 0 x 改为改为 0 x 当 当0 x时 时 2 1 arctanarctan x x 练习练习练习练习 14141414 1 1 1 1 解 解 2 1 1 2 1 212 n xx x n xx xexf nn x LL x n e n x 当当n为偶数时 为偶数时 0 xf 0 0 0 0 x x xf故故 0 0 xfxf 有极大值有极大值 也是最大值 也是最大值 1 0 max ff 2 2 2 2 解 在方程 解 在方程 两边对两边对x求导求导 220 xyxyyy 令令0y 得 得2yx 将其代入原方程解得 将其代入原方程解得1 1x 且 且 1 2 1 2yy 在在 式两边对式两边对x再求导再求导 2 2 2220 xy yyy 将将1 1 2 1 0 xyy 代入代入 式 得式 得 2 1 0 3 y 所以 所以 y x取极小值取极小值 1 2y 将将1 1 2 1 0 xyy 代入代入 式式 得得 2 1 0 3 y 所以所以 y x取极大取极大 值值 1 2y 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 11 页 共 23 页 练习练习练习练习 15151515 1 1 1 1 答案 选择 答案 选择 B B B B 解 解 0 0 xf 在 在 x exfxxf x 13 2 中取中取 0 xx 可得 可得 0 0 11 0 00 0 0 00 x ex e x e xf x xx 0 xf为为 xf的极小值 的极小值 2 2 2 2 答案 答案 C C C C 解 解 012 43 23 13 3 3 0 3 3 3 42 ffff 0 3 是曲线的拐点 是曲线的拐点 练习练习练习练习 16161616 1 1 1 1 解 定义域 解 定义域 连续函数 在 连续函数 在1 0 x处不可导 其余点处均可导处不可导 其余点处均可导 xf 1 0 1 0 1 3 1 0 3 1 0 3 1 0 1 3 31 1 3 22 x x x x x xx xx 且且 lim limxfxf xx 3 4 3 1 0 1 3 ffff 极大值极大值极大值极大值极小值极小值极小值极小值 没有最大值与最小值 没有最大值与最小值 练习练习练习练习 17171717 1 1 1 1 证 单调性法 注意到 证 单调性法 注意到xx tan均为奇函数 故只需证明均为奇函数 故只需证明xxtan 2 0 x 设设xxxf tan 2 0 xxxf 2 0 fxf 即 即xxtan 2 2 2 2 证 最值法 证 最值法 设函数设函数1 2ln 32 xxxxf 2 x 转化为求转化为求 xf在在 2 内的最大内的最大 值 值 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 12 页 共 23 页 x x x x x xxf 2 1 2ln 21 2 32 2ln 2 21 0 1 0 1 0 x x x 0 1 fff 极大值极大值极大值极大值最大值最大值最大值最大值 由最大值概念可得 由最大值概念可得 1 2ln 32 xxx 2 xf bxa 0 bfaf xf在在 ba上为凹函数 从而 对任意的上为凹函数 从而 对任意的 bax 0 1 1 x 0 0 0 0 ln1 2 ex ex ex x x xf xf在在 0 e内单增 在内单增 在 e内单减 内单减 极大值 最大值 极大值 最大值 e ef 1 3 0 3 0 30 0 3 3 4 x x x x x x 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 13 页 共 23 页 且且 11 lim 3 0 xx x 0 11 lim 3 xx x 33 2 3 yy最大值 最大值最大值最大值 2 2 讨论方程根 讨论方程根 当当0 k或或 33 2 k时 原方程在时 原方程在 0 有唯一根 有唯一根 练习练习练习练习 20202020 1 1 1 1 解 解 2 1 1 x y x y 22 3 2 2 32 1 1 1 1 1 1 xx x x x y y K 0 x 0 1 21 52 2 令令令令 x x K 当当 2 1 x时 时 33 2 max K 第三章第三章第三章第三章一元函数积分学一元函数积分学一元函数积分学一元函数积分学 练习练习练习练习 1 1 1 1 1 1 1 1 解 解 xxf2sin 1 2cos 2 1 2sin Cxxdxxf 21 2sin 4 1 CxCxdxxf 2 2 2 2 解 解 两边同时对两边同时对x求导数得求导数得 22 222 12coscossin1 2 2 cos 2cos 2cos 2cos 2cos xxxababx ab xxxx 故故21ab 20ab 解得 解得 1 2 3 3 a b 练习练习练习练习 2 2 2 2 1 1 1 1 解 解 1 ln 1ln 2 1ln 1 ln 1ln 21ln xd x xxd x x I Cxx 1ln4 1ln 3 2 3 2 2 2 2 解 凑微分 解 凑微分 22 cos sin3 cos sin1cossin222sin2xxxxxxx xxxxdsincos cos sin xxxxdsincos cos sin 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 14 页 共 23 页 dx x xxxx I 2sin2 cos sin cos sin 2 1 技巧 技巧 cos sin1 cossin cos sin3 cossin 2 1 22 dx xx xx dx xx xx I cos sin1 cos sin cos sin3 cos sin 2 1 22 dx xx xxd xx xxd Cxxx xx 2sin2cossin ln 3 cossin arcsin 2 1 练习练习练习练习 3 3 3 3 1 1 1 1 解 解 dxxxxd 2 3 1 Cxx xx xxd I 1 3 4 1 1 3 2 2 2 2 2 解 解 arcsinln 2 arcsin2ln tx xx dxtt dt x 2 12 2 arcsin2ln 2 1 ttttdx t t 2 2 arcsin2ln 2 2 1 t tttdt t 2 2 arcsin2ln 2 14tttttC 2 arcsinln 2 14xxxxxc 练习练习练习练习 4 4 4 4 1 1 1 1 解 解 0 M 奇函数在对称区间上的定积分 奇函数在对称区间上的定积分 0cos 2 2 4 xdxN 奇偶性 连续函数积分性质 奇偶性 连续函数积分性质 0 NP NMP 2 2 2 2 解 解 1 1 n k nn nk 2 1L n n k n k n k n k n n k n k n k n k n xe n e k n ye n e nn n x n n 1111 1 1 1 1 11 11 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 15 页 共 23 页 而而1 1 limlim 1 0 1 edxee n x x n k n k n n n 于是 于是 n n y lim1 e 练习练习练习练习 5 5 5 5 1 1 1 1 解 可导函数 定义域 解 可导函数 定义域 f D 偶函数 只需考虑 偶函数 只需考虑 0 内最值 内最值 由分部积分法可得 由分部积分法可得 dteetdetxf x txt x t 2 2 2 0 0 0 2 2 12 2 2 2 2222 2 0 2 xxxtx eexeex1 1 2 2 x ex 2 2 2 2x exxxf 驻点为驻点为2 x 2 1 2 ef 0 0 f f11 1 lim1 1 lim lim 2 2 2 罗比塔 t t xt x xx e t e x xf 比较可知 比较可知 2 1 2 0 0 effff 最大值最小值 2 2 2 2 解 由 解 由 x xx x xx xx xx dtt xxx L x xx coslim 34 sin lim 34 cos sin sin lim sin limlim 0 23 2 0 23 2 0 0 0 34 sin 0 2 00 3 1 34 lim 23 2 0 xx x x 故当故当0 x时 无穷小时 无穷小dtt x sin 0 2 sin 与与 34 xx 相比是同阶不等价无穷小 相比是同阶不等价无穷小 练习练习练习练习 6 6 6 6 1 1 1 1 解 由周期函数 奇偶函数积分性质可得 解 由周期函数 奇偶函数积分性质可得 dx x I 2 cos1 1 被积函数是被积函数是偶函数偶函数 dx x 0 2 cos1 1 2 可加性 可加性 换元 或被积函数关于换元 或被积函数关于 2 x对称性 对称性 dx x 2 0 2 cos1 1 4 0 2 tan 2 4 t dt xt 2 22 4 2 arctan 2 4 0 t 2 2 2 2 解 解 dxexdxexI xx 1ln 1ln 1 0 0 1 对前一个积分换元 对前一个积分换元tx 可得可得 dxexdtetdxex xtx 1ln 1ln 1ln 1 0 1 0 0 1 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 16 页 共 23 页 故故dxexdxexI xx 1ln 1ln 1 0 1 0 3 1 1 1 ln 1 0 2 1 0 dxxdx e e x x x 练习练习练习练习 7 7 7 7 1 1 证 作辅助函数 证 作辅助函数 x a dttfxF 则 则 0 bFaFbaDxFbaCxF 由罗尔定理可得 则至少存在一点由罗尔定理可得 则至少存在一点 ba 使得 使得0 F 即 即0 f 2 2 证 换元 证 换元tx 则 则ttxsin sin sin JdttfdttftdxxxfJ 0 0 0 sin sin sin 故故 0 sin 2 dxxfJ 利用奇偶函数积分性质和上述结论可得利用奇偶函数积分性质和上述结论可得 dx x xx dx x xx dx x x I 0 222 cos1 sin 20 cos1 sin cos1 0 0 2 0 2 cosarctan cos1 cos cos1 sin x x xd dx x x 2 1arccos 1 arctan 2 3 3 证 证 法法法法 1 1 1 1 单调性 单调性 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 作辅助函数作辅助函数 x dttf xF x 0 则对任意的 则对任意的 x 0 2 0 f x x fxf x dttfxxf xF 定积分 中值定理 其中其中 0 x 于是 于是 xF 从而 从而 FF dxxfdxxf 0 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 17 页 共 23 页 由加强的积分中值定理可得 存在点由加强的积分中值定理可得 存在点 于是 于是 dxxfdxxf 0 得证 得证 评注 特例 评注 特例1 就是例就是例 34 34 34 34 练习练习练习练习 8 8 8 8 1 1 1 1 解 法 解 法 1 1 1 1 定义法 由广义牛顿 莱布尼兹公式可得 定义法 由广义牛顿 莱布尼兹公式可得 dt tt dt t t dx x xt 1 32 1 3 1 0 3 11 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 11 2 1 2 tt 评注 本题若只需判定反常积分的敛散性 则可以采用下面的方法 评注 本题若只需判定反常积分的敛散性 则可以采用下面的方法 比较判别法 比较判别法 2 3 3 1 1 1 0 xx x 且 且dx x 0 2 3 1 收敛 收敛 1 2 3 p积分积分 由比较法可得 由比较法可得 dx x 0 3 1 1 收敛 收敛 极限形式比较法 极限形式比较法 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 3 2 3 3 xx x xx 且 且dx x 0 2 3 1 收敛 收敛 1 2 3 p积分积分 由极限形式比较法可得 由极限形式比较法可得 dx x 0 3 1 1 收敛 收敛 2 2 解 解 法法法法 1 1 1 1 计算 计算 2ln 2 1 ln 1 lnlim 1 ln 1 1 1 1 x x x x dx xx x 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 18 页 共 23 页 1 lnlim 2 1 ln 1 ln 1 1 0 1 0 1 0 x x x x dx xx x dx xx 1 1 1 收敛 收敛 1 0 1 1 dx xx 发散 发散 法法法法 2 2 2 2 判定敛散性 判定敛散性 观察 观察 1 1 1 xx dx I被积函数结构被积函数结构 想起想起 p积分 积分 0 1 1 1 0 2 p 由比较法可得 由比较法可得 1 1 1 xx dx I收敛 收敛 观察 观察 1 0 2 1 xx dx I被积函数结构被积函数结构 想起想起 q积分 积分 01 1 1 1 1 0 2 q 由比较法可得 由比较法可得 1 0 2 1 xx dx I发散 发散 练习练习练习练习 9 9 9 9 1 1 1 1 解 由对称性及圆面积公式可知 解 由对称性及圆面积公式可知 2 22 cos1 2 1 2 2 daaA 2 22 2 2cos1 cos21 2 daa 222 2 4 5 2 22 3 2 aaa 2 2 2 2 分析 如图 所求体积可以看成下列两立体体积之差 分析 如图 所求体积可以看成下列两立体体积之差 21 VV 其中其中 1 V 右半圆周绕 右半圆周绕bx 的旋转体积 的旋转体积 2 V 左半圆周绕 左半圆周绕bx 的旋转体积 的旋转体积 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 19 页 共 23 页 解 由 解 由 222 ayx 可解得 可解得 左半圆周方程为左半圆周方程为 22 yax 右半圆周方程为 右半圆周方程为 22 yax a a a a dybyadybyxV 2222 1 a a a a dybyadybyxV 2222 2 故由平方差公式可得 故由平方差公式可得 22222 2 2 1 44 baabdyyabV a a 第八章第八章第八章第八章常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程 练习练习练习练习 1 1 1 1 1 1 解 变形可得 解 变形可得 xyx dx dy 2 1 可分离变量方程 可分离变量方程 分离变量 分离变量 dx x x y dy 12 积分可得通解为 积分可得通解为Cxxy arctan 2 评注 评注 Cttdt t tdt t t dx x x xt arctan 2 1 1 1 22 11 22 2 2 解 全微分方程求解 数学一 解 全微分方程求解 数学一 判定判定 xxyQxyyPsin2 cos 2 y P xy x Q cos2 2 Ryx 即原方程是全微分方程 即原方程是全微分方程 求积求积 法法 1 1 凑微分法 凑微分法 dyxxydxxyy sin2 cos 2 sincos 2 2 xdyxdxyxydydxy sin 2 xyxyd 通解为通解为Cxyxy sin 2 法法 2 2 求积公式 求积公式 0 0 2 sin2 cos yx dyxxydxxyyyxu xyxydyxxydx yx sin sin2 0 2 00 原方程通解为原方程通解为Cxyxy sin 2 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 20 页 共 23 页 法法 3 3 偏积分法 偏积分法 dyxxydxxyydu sin2 cos 2 cos 2 xyy x u xxy y u sin2 从而 从而 sin cos 22 yCxyxydxxyyu 由由 可得 可得 sin2yCxxy y u 比较比较 可得 可得 0 yC 故 故CyC 于是 原函数于是 原函数Cxyxyu sin 2 练习练习练习练习 2 2 2 2 1 1 解 解 特征方程为特征方程为012 2 rr 特征值为 特征值为1 21 rr 通解为通解为 y 21 xCCe x 2 2 勘误 原题 勘误 原题02 yyyy应更正为应更正为0 yyyy 解 解 特征方程为特征方程为01 23 rrr 特征值为 特征值为irr 3 21 1 通解为通解为xCxCeCy x sincos 321 练习练习练习练习 3 3 3 3 1 1 解 特征方程为 解 特征方程为012 2 rr 特征值为 特征值为1 21 rr 由由 x xef 属于属于 x m exP 类型的右端项 类型的右端项 1 1 m 1 为二重特征值 为二重特征值 用待定系数求特解时应设用待定系数求特解时应设 x ebaxxy 2 x ebaxxy 2 x ebaxxaxbaxxy 2 22 x ebaxxaxbaxxaxbaxy 2 44 2 22 代入原方程 整理可得 代入原方程 整理可得 xx xeebax 26 即 即 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 21 页 共 23 页 xbax 26 比较同次幂系数可得 比较同次幂系数可得 02 16 ba 即 即0 6 1 ba 于是 所求特解为于是 所求特解为 x exy 3 6 1 2 2 解 解 01 2 r 1 r xf 1 0 1 m不是特征值 应设不是特征值 应设baxy 1 xfsin 2 1 0 0 nm ii 不是特征值 应设不是特征值 应设 xdxcysincos 2 于是 于是 yxdxcbaxcossin 练习练习练习练习 4 4 4 4 1 1 解 解 sincos 21 xCxCey x 特征值特征值ir 1 特征方程特征方程1 1 2 r 即 即022 2 rr 微分方程 微分方程 022 yyy 练习练习练习练习 5 5 5 5 1 1 1 1 解解 dxyxxdxydy 222 2 dxyxyxd 22222 dx yx yxd 222 22 1 22 1 Cx yx 2 2 解 变形可得 解 变形可得 x y x y yy 22 tan2 作未知函数的换元 作未知函数的换元 x y u 2 则 则xuy 2 uxuyy 2 原方程化为 原方程化为uu dx du xutan u dx du xtan 可分离变量方程 可分离变量方程 分离变量 分离变量 x dx u udu sin cos 积分 积分 Cxulnlnsinln 即 即Cxu sin 故原方程通解为故原方程通解为Cx x y 2 sin 练习练习练习练习 6 6 6 6 1 1 解 二阶欧拉方程 换元 解 二阶欧拉方程 换元 t ex 则 则xtln xdx dt1 dt dy xdx dt dt dy dx dy1 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 22 页 共 23 页 11 1 22 2 dt dy dx d xdt dy xdt dy xdx d dx dy dx d dx yd 111 2 2 22 2 2 dt dy dt yd xdx dt dt yd xdt dy x dt dy dx dy x dt dy dt yd dx yd x 2 2 2 2 2 原方程原方程 可化为 可化为 2 2 dt dy dt yd 1 y dt dy 即 即 1 2 2 y dt yd 二阶线性常系数非齐次微分方程 二阶线性常系数非齐次微分方程 由特征值法由特征值法 观察法易得观察法易得 的通解为的通解为1cossin 21 tCtCy 故原方程通解为 故原方程通解为 1lncoslnsin 21 xCxCy 练习练习练习练习 7 7 7 7 1 1 解 不显含 解 不显含y 设设py 则 则 dx dp y 原方程可化为 原方程可化为 1 2 2 pp dx dp x 可分离变量方程 可分离变量方程 分离变量 分离变量 x dx pp dp 1 22 2 即 即 x dx dp pp 2 22 1 1 1 积分可得 积分可得 xC p 1 2 ln 1 1ln 即 即xC p 1 2 1 1 故 故 1 1 1 xC p 1 1 1 xCdx dy 积分可得 积分可得 21 1 1 2 CxC C y 练习练习练习练习 8 8 8 8 1 1 解 由平面曲线积分与路径无关的判定条件可得 解 由平面曲线积分与路径无关的判定条件可得 2 242 xxyf y xxf x 即即 24 2 232 xxfxxf x 约去 约去x2可得可得 2 222 xfxxf 作自变量换元作自变量换元 2 xu 即为 即为uufuf2 其通解为 其通解为 1 2 uCeuf u 故 故 1 2 xCexf x 2 2 解 由复合函数求导法则可得 解 由复合函数求导法则可得 2012 年暑期强化班讲义一元函数微积分 常微分方程练习题参考解答何先枝 第 23 页 共 23 页 22 yx x rf x u 222 22 2 222 2 2 yx xxyx rf yx x rf x u 222 22 2 22 yx xy rf yx x rf 同理 对称性 可得 同理 对称性 可得 222 22 2 222 2 yx yx rf yx y rf y u 于是 于是 222 2 2 2 1 yx rf y u x u 由题意可得 由题意可得 r eyx 22 故 故 r erf 连续积分两次可得 连续积分两次可得 21 CrCerf r 勘误表勘误表勘误表勘误表 页码页码错误错误更正更正备注备注 第一章第一章 函数 极限与连续函数 极限与连续 11111111 练习 练习 6 16 16 16 1 x n 12121212 例 例 141414140 n n 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 26262626 练习 练习 2 22 22 22 2 0 0 f f e 0 0 f f e 50505050 练习 练习 17 117 117 117 1 2 x 2 0 x或不等式加等号或不等式加等号 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学 61616161 例 例 18181818 1 1 2 2 不改可算 但较繁不改可算 但较繁 第八章第八章 常微分方程常微分方程 144144144144 练习 练习 2 22 22 22 202 yyyy 0 yyyy 或改答案或改答案 1 多元微分学 P85 练习 1 设 cos 2 zyew x 而 3 xy 1 xz 求 dx dw 解 dwww dyw dz dxxy dxzdx 222 1 2cos sin 3 21 xx eyzeyzx x 2323 1 2cos 1 3 sin 1 21 x exxxxx x P86 练习 2 设函数 2 0 sin 1 xy t F x ydt t 则 2 2 0 2 x y F x 2011 解 2222 222222 sincos 1 2sin 1 1 FyxyFyxyx yxyxy y xx yxx y 故 2 2 0 2 4 x y F x P86 练习 3 设 22 yxfz 其中f有二阶导数 求 2 2 x z 2 2 y z 2006 解 22 zx f x xy 222 3222 22 2 zxy ff xxy xy 同理可求 222 222222 zyx ff yxyxy P87 练习 4 设 x y g y x xyfz 其中f有二阶连续偏导数 g有二阶导数 求 yx z 2 2000 解 根据复合函数求偏导公式 12 2 1 zy fyfg xyx 2 12 2 1111222122 22 2 111222 233 232 2 1 111 11 zy fyfg yxyyx xxy fy fxfff z x y xy fxyfffgg yyx xfgg yyyyxx x P87 练习 5 设函数 zf xy yg x 其中函数f具有二阶连续偏导数 函数 g x可 导且在1x 处取得极值 1 1g 求 2 1 1 x y z x y 2011 解 由题意 1 0 g 因为 12 z yfyg x f x 2 1111222122 z fy xfg x fg x fyg xxfg x f x y 所以 2 11121 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z fff x y P88 练习 6 设 xyyxyxfz 其中f具有二阶连续偏导数 求dz yx z 2 2009 解 123123 zz ffyfffxf xy 123123 zz dzdxdyffyfdxffxfdy xy 123 1112132122233313233 2 11132223333 1 1 1 ffyf y z x y fxy ffxy fxyf fffxfffxff f y ffx 3 P89 练习 7 设函数 zz x y 由方程0 x z x y F确定 其中F为可微函数 且 0 2 F 则 y z y x z x 2010 解 12 12 22 2 0 z xz yFzFyz x FF xxx xF 1 12 2 11 0 Fzz FF xxyy F 则 zz xyz xy P92 练习 8 设函数 f x具有二阶连续导数 且 0f x 0 0 f 则函数 ln zf xf y 在点 0 0 处取得极小值的一个充分条件是 A 0 1f 0 0 f B 0 1f 0 0 f C 0 1f 0 0 f D 0 1f 0 0 f 2011 解 ln zzfy fxf yf x xyf y 22 2 ln zzfy fxf yfx xx yf y 2 2 22 fy f yfyz f x yfy 在点 0 0 处 2222 2 2 222 0 ln 0 0 ln 0 zzzz ffff xx yxy 当 0 ln 0 0ff 且 2 0 ln 0 0ff 时 即 0 1f 0 0 f 时 ln zf xf y 在点 0 0 处取得极小值 故选 A 4 P93 练 习9 已 知 平 面 曲 线0 yxfL 其 中 yxf可 微 分 且 0 y fx y 00 yxA是曲线L外一个固定点 试证 如果点 B在曲线L上且是 L到A的最近或最远的点 则 0 0 y x f f y x 解 在L上任取一点 P x ydAP 则 22 00 dxxyy 约束条件 0f x y 考虑 222 00 dxxyy 在条件 0f x y 下的极值问题 作 22 00 Fxxyyfx y 则 0 0 2 0 2 0 xx yy Fxxfx y Fyyfx y AB 取极值 B 为驻点 故有 0 0 0 0 2 0 2 0 x x y y xf xf yfyf P94 练习 10 某工厂要利用钢板做一个容积为定值V的无盖长方体水箱 问该水长 宽 高分别为多少时 所用材料最省 解 设该水箱的长 宽 高分别为 x y z 长方体水箱的表面积为S 由条件知 2 Sxyxzyz 而Vxyz 考虑 2 Sxyxzyz 在Vxyz 条件下的条件极值 作2 xyxzyzxyzFV 令 20 20 2 0 yzyz xzxz xyxy xyzV 得驻点为 333 1 2 2 2 2 VVV 故当水箱的长 宽 高分别为 333 1 2 2 2 2 VVV时 所用材料最省 5 P97 练习 11 设向量 2 xyyx 是某函数 yxfz 的梯度 其中 x 有连续 导数且 0 0 求 x 及 yxf 解 取 2 PxyQyx 若向量 2 xyyx 是某函数 yxfz 的梯度 则 有 QP xy 即 2 2 2 yxxyxxxxC 由 0 0 得 2 0 Cxx 且 2 zz xyyx xy 22 1 2 zx yC y 而 22 xxC z yy y y 知 C yC 所以 22 1 2 f x yx yC P98 练习 12 求曲线 3 2 tz ty tx 与平面42 zyx平行的切线方程 解 设切点为 0000 P xyz 0 P对应于 0 t 则切线向量 00 2 1 2 3stt 平面的法向量 1 2 1n 由题意知 0nsn s 即 2 00 1430tt 解得 0 1t 或 0 1 3 t 0 1t 对应的切点为 0 1 1 1 P 1 2 3s 切线方程为 111 123 xyz 0 1 3 t 对应的切点为 0 111 39 27 P 2 1 1 3 3 s 切线方程为 111 3927 21 1 33 xyz 6 P101 练习 13 试证 抛物面1 22 1 yxz上任意点处的切平面与抛物面 22 2 yxz 所围成的立体体积与切点坐标无关 证明 设 0000 P xyz是 1 上的任意一点 1 在 0000 P xyz处的切平面 的方程为 000 222zx xy yz 由 22 000 222 zxy zx xy yz 消去z 得 22 00 1xxyy 注意 22 000 1zxy 2 与 所围成的立体在xoy面上的投影区域为 D 22 00 1xxyy 则立体体积为 2222 00000 2221 2 DD x xy yzxydxydVxy 因为 0000 P xyz是任意的 所以抛物面1 22 1 yxz上任意点处的切平面 与抛物面 22 2 yxz 所围成的立体体积与切点坐标无关 1 P104 练习 1 设 03 01 Dxy 则 min D x y d 解 12 113 000 4 min 3 y y DDD x y dxdyddyxdxdyydx P105 练习 2 设 yxf连续 且dudvvufxyyxf D 其中D由0 y 2 xy 1 x围成 求 yxf 解 设 D f u v dudvA 则 f x yxyA 两边在D上二重积分 有 22 11 0000 1 8 xx DD Af x y dxdyxyA dxdydxxydyAdxdyA 则 1 8 f x yxy P105 练习 3 计算 22 1 D Ixyd 其中10 xD 10 y 解 1211 2222222222 1 1 1 1 1 DDDDD Ixydxydxydxydxyd 111 22 2 0000 1 4 2 1 1 3 dr rdrdrrdr P105 练习 4 计算 2 2 2 2 2 0 2 sin sin x xx xx Idy dxdy dx yy 解 2 2 0 2 sin y y x Idx dy y 2 1 2 P106 练习 5 设函数 yxf连续 则 2224 11 y xy dxf x y dydyf x y dx A 24 11 x dxf x y dy B 24 1 x x dxf x y dy C 24 11 y dyf x y dx D 22 1 y dyf x y dx 解 2224 11 y xy dxf x y dydyf x y dx 24 11 y dyf x y dx P106 练习 6 设平面区域 D 由直线yx 圆 22 2xyy 及y轴所组成 则二重积分 D xyd 2011 解 2sin 356 222 0 444 27 cossin4cos sin sin 312 D xyddr drd P107 练习 7 计算 dyI D D由0 y 2 y 2 x 2 2xyy 所围成 1999 解 D Iyd 11 D DD ydyd 4 2 P108 练习 8 计算 22 1 xy D Iyxed D由1 y 3 xy 1 x围成 解 如图 3 2 D Iyd 3 1 01 2 x ydy dx 1 6 0 1xdx 6 7 3 P108 练 习9 如 图 正 方 形 1 1 yxyx被 其 对 角 线 划 分 为 四 个 区 域 4 3 2 1 kDki 令cos k k D Iyx dxdy 则 k k I 41 max A 1 I B 2 I C 3 I D 4 I 解 由对称性 2 2 cos0 D Iyxdxdy 4 4 cos0 D Iyxdxdy 在 1 D上 cos0yx 所以 1 1 cos0 D Iyxdxdy 在 3 D上cos0yx 所 以 3 3 cos0 D Iyxdxdy 故 1 14 max k k I