6_GCT2011数学强化_一元函数微积分专题讲义.pdf

在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 0 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 GCT 一元函数微积分专题一元函数微积分专题 目录目录 第一节 映射与函数 0 第二节 数列的极限 8 第三节 函数的极限 13 第四节 无穷小与无穷大 18 第五节 极限运算法则 21 第六节 极限存在准则 两个重要极限 25 第七节 无穷小的比较 29 第八节 函数的连续性与间断点 31 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 37 第十节 闭区间上连续函数的性质 39 第一节 映射与函数 一 基本概念 1 区间区间 是指介于某两个实数之间的全体实数 这两个实数叫做区间的端点 baRba 且 开区间 bxaxba 闭区间 bxaxba X 半开区间 bxaxba bxaxba 有限区间 无限区间 xaxa bxxb R xx 无限区间 0 a b 0 区间长度的定义 两端点间的距离 线段的长度 称为区间的长度 邻域 邻域 点 a 的 邻域 axxaxaxa 去心 邻域 0 U axxa 其中 a 称为邻域中心 称为邻域半径 左 邻域 aa 右 邻域 aa 0 axax 意味着注意 二 映射 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 1 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 1 映射的概念 映射的概念 引例 引例 1 某校学生的集合 按一定规则查号 学号的集合 某班学生的集合 按一定规则入座 某教室座位的 集合 引例 引例 2 R x xxysin R y 引例 引例 3 1 22 yxyxC点集 11 0 yyY CP 点 向 y 轴投影 YQ 投影点 1 定义 设 X Y 是两个非空集合 若存在一个对应规则 f 使得 Xx 有唯一确定的 Yy 与之相对应 则称 f 为从 X 到 Y 的映射 记作YXf 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像 记作 xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 集合 X 称为映射 f 的定义域 记作 Df X Y 的子集X xxfXfRf称为 f 的值域 注意的问题 注意的问题 映射具备三要素 XDa f 定义域 YRXfb f 值域 fc 对应法则 映射的特点 中都有像在任一YXx 必须唯一的像 yx 不一定唯一的原像 xy YRYR ff 不一定值域 2 定义 对映射YXf 满射 若YXf 则称 f 为满射 引例 2 3 单射 若 2121 xxXxx 有 21 xfxf 则称 f 为单射 引例 2 双射 若 f 既是满射又是单射 则称 f 为双射或一一映射 引例 2 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 2 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 例 例 1 RDxxxfRRf f R 2 RyyRf 0 非满射 外原像都不唯一除0 y 非单射 例 例 2 YXf 其中 1 22 yxyxX 1 0 xxY YXfXDf 满射但非单射 例 例 3 xxffsin 1 1 2 2 1 1 2 2 ff RD 一一映射单射 满射 注意 注意 定义域到值域的映射必为满射 YXf 即是映射但不一定是满射 必是满射但 RfXfX 对单射 f 而言 元素 y 的原像 x 一定唯一 单射 满射前提条件首先是映射 说明 说明 映射 f 算子 在不同数学分支中的惯用名称 泛函 X f Y 数集 例如 实变函数与泛函分析 变换 X f X 例如 线性代数 中的线性变换 矩阵变换 变换群等 函数 X 数集或点集 f R 例如 高等数学 中的函数 2 逆映射与复合映射 逆映射与复合映射 逆映射 逆映射 是单射设YXf XXfg 定义 称映射 g 为映射f的逆映射 1 f记作 注 注 只有 f 是单射才存在逆映射 XfX 是满射且单射 故而是双射 的映射到是指从值域逆映射XXff 1 不一定是映射到从XY 如以上三例中 只有例如以上三例中 只有例 3 存在逆映射存在逆映射 复合映射 复合映射 引例 引例 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 3 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 D 复合映射复合映射 2 D 2121 YYZYfYXg 且设有两个映射 ZXgf 定义 构成的复合映射和为映射称fggf XxZxgfxgf 注意 注意 不可少 构成复合映射的条件 R 1 gf DXg 2 是有区别的与fggf 三 函数概念 1 函数定义 设数集 D 包含于 R 则称映射 f D R 为定义在 D 上的函数 通常简记为 Dxxfy 000 处的函数值为函数在点称时当xxfDx 称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyRf 2 几个特殊的函数举例 1 常数函数 常数函数 为常数ccy 2 绝对值函数 绝对值函数 0 0 xx xx xy 3 符号函数 符号函数 01 00 01 sgn x x x xy 当 当 当 xxxxxx sgnsgn或 4 取整函数 取整函数 y x x 表示不超过 x 的最大整数 该函数是数论中一个极为重要的函数 xy x y o 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 4 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 阶梯曲线 5 狄利克雷函数 狄利克雷函数 是无理数时当 是有理数时当 x x xDy 0 1 6 取最值函数 取最值函数 max xgxfy min xgxfy 7 分段函数 分段函数 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中 对应法则用不同的式子来表示的函数对应法则用不同的式子来表示的函数 称为称为分段函数分段函数 0 1 0 12 2 xx xx xf例如 y x o xf xg y x o xf xg 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 5 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 四 函数的特性四 函数的特性 1 函数的有界性 函数的有界性 1 定 义 定 义 11 KxfXxKDX 有若数集 1是其中的一个上界 上有上界在称函数KXxf 222 是其中的一个下界上有下界在 称函数使得若KXxfKxfK MxfXxMDX 0 有若数集 则称函数 f x 在 X 上有界 否则称无界 f x 在 X 上无界MxfXxM 0 11 使得 结论 界上既有上界又有下在上有界在 XxfXxf 2 函数的单调性 函数的单调性 DIDxf 区间的定义域为设函数 1 2121 xfxfxx 恒有时当 则 称 函 数 f x 在 区 间I上 是 单 调 增 加 的 DIDxf 区间的定义域为设函数 2121 时当及上任意两点如果对于区间xxxxI 2 21 xfxf 恒有则称函数 f x 在区间 I 上是单调减少的 3 函数的奇偶性 函数的奇偶性 xfxfDxD 有对于关于原点对称设 称 f x 为偶函数 偶函数偶函数 图像关于图像关于 y 轴对称轴对称 为奇函数称有对于关于原点对称设 xfxfxfDxD xfy 1 xf 2 xf x y o I 12 xy 1 2 xy 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 6 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 图像关于原点对称图像关于原点对称 4 函数的周期性 函数的周期性 定义 定义 为周期 为周期函数 称 则称若且lxfxflxfDlxlDx 0 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 周期为 2 注 周期函数不一定存在最小正周期 例如 例如 常量函数常量函数Cxf 狄里克雷函数狄里克雷函数 是无理数时当 是有理数时当 x x xDy 0 1 例 2 C Qx Qx xD 0 1 设 21 5 7 的性质并讨论求xDDDD 解 1 0 21 1 5 7 xDDDD 为单值函数 有界函数 偶函数 不是单调函数 特别注意 周期函数 无最小正周期 五 反函数五 反函数 定义 定义 的反函数 为 则称次映射为单射 则存在逆映射若函数ffDDffDfDf 11 六 复合函数六 复合函数 1 复合函数 复合函数 复合映射的特例复合映射的特例 2 l 2 l 2 3l 2 3l t o tf 2 2 o x y 1 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 7 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 22 1 1 xyxuuy 设 1 定义 设有函数链 定义 设有函数链 1 Duufy 1 DDgDxxgu 且 Dxxgfy 则称为由 确定的复合函数 u 称为中间变量 说明 通常 f 称为外层函数 g 称为内层函数 2 注意 注意 1 构成复合函数的条件 不可少 1 DDg 即 内层函数在复合函数定义域 D 内的值域 g D 一定包含在外层函数的定义域 D1 内 2arcsin 2 arcsin 22 xyxuuy 例如 2 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成 2 cot 2 cot x vvuuy x y 例如 三重复合函数三重复合函数 2 初等函数 初等函数 定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数 称为初等函数 否则称为非初等函数 例 1 0 1 0 2 1 1 2 xf xx xx x xx xe xf x 求设 解 1 1 xx xe xf x 1 10时当 x 1 12 0 xxxx 或 20 11 0 2 xxxx 或 1 20时当 x 01 12 0 xxxx 或 2 11 0 2 xxxx 或 综上所述 2 1 20 01 1 2 2 1 2 2 xx x x x e x e xf x x 3 非初等函数举例 非初等函数举例 符号函数 符号函数 01 00 01 sgn x x x xy 当 当 当 取整函数 取整函数 Znnxnnxy 1 当 狄里克雷函数 狄里克雷函数 C Qx Qx xDy 0 1 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 8 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 分段函数 略 一般是非初等函数 分段函数 略 一般是非初等函数 七 小结 1 基本概念 集合 区间 邻域 2 映射与函数的概念 3 函数的特性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 4 反函数 5 复合函数 初等函数 第二节 数列的极限 一 概念的引入 二 数列的定义 三 数列的极限 四 数列极限的性质 五 小结 一 概念的引入一 概念的引入 A1 表示圆内接正 6 边形面积 A2 表示圆内接正 6 2 边形面积 A3 表示圆内接正 6 2 边形面积 An 圆内接正 n 1 6 2 边形面积 显然 n 越大 An 越接近于 S 因此 需要考虑当 n 时 An 的变化趋势 1 21 26 2 sin 2 1 26 S n n R 二 数列的定义二 数列的定义 定义 按自然数编号 1 2 3 依次排列的一列数 12 n x xx 称为无穷数列 简称数列 其中的每个数称为数列的项 n x称为通项 一般项 数列 1 记为 n x 例如例如 2 4 6 8 2 n 2n 1 1 1 11 2 4 6 82n 1 2n 1 1 1 1 1 n 1 1 n 1 3 4 2 1 2 1 n n n 1 1 n n n 注意 在研究数列时 常常以下面两种观点之一看待数列 几何观点 1 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 21 n xxx 函数观点 2 Nnnfxnx nn 的函数可看作自变量为数列 问题问题 的数值是否能接近于某个确定时 n xn 三 数列的极限三 数列的极限 A 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 9 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 1 1 1 时的变化趋势当观察数列 n n n 数列极限的通俗定义 当 n 无限增大时 如果数列 n x 的一般项 n x无限接近于常数 a 则常数 a 称为数列 n x 的极限 或称数列 n x 收 敛 a 记为axn n lim 例如 例如 1 1 lim n n n 0 2 1 lim n n 1 1 lim 1 n n n n 当 n 无限增大时 如果数列 n x 的一般项 n x无限接近于常数 a 则数列 n x 收敛 a 分析 分析 当 n 无限增大时 n x无限接近 即它们的距离可以任意的小 于 a 当 n 无限增大时 n x a 可以任意小 要多小就有多小 1 1 1 1 无限接近于无限增大时如 当 n xn n n nn x n n 11 1 1 1 时只要即要要使100 100 11 100 1 1 n n xn 10000 1 1 10000 10000 1 1 nn xnx有时只要要使 当 n 无限增大时 n x无限接近于 a 当 n 无限增大时 n x a 可以任意小 要多小就有多小 当 n 增大到一定 程度以后 n x a 能小于事先给定的任意小正数 1 1 1 1 无限接近于无限增大时如 当 n xn n n 1 1 11 1 1 1 n x nn x n n n 只要要使 1 1 成立有即 n xn 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 10 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 1 1 1 n xNnN有时 只要取 定义 设 n x 为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当n N 时 不等式 n x a 0 对满足 x X 的一切点 x 其相应的曲线上的点都落在 A 的 邻域当中 2 另两种情形另两种情形 0 0 lim 10 AxfXxXAxfx x 恒有时使当情形 0 0 lim 20 AxfXxXAxfx x 恒有时使当情形 lim lim lim AxfAxfAxf xxx 且定理 例 1 0 sin lim x x x 证明 证明 1 1sin 0 sin x xx x x x 即 0 sin 1 0 x x XxX时恒有则当取 0 sin lim x x x 故 lim 的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义xfycycxf x 三 函数极限的性质 1 有界性 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 17 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 定理 若在某个过程下 xf有极限 则存在过程的一个时刻 在此时刻以后 xf有界 2 唯一性 定理 若 limxf存在 则极限唯一 3 不等式性质 0 lim lim 0 0 00 BAxgxfxUxBxgAxf xxxx 则有若设 保序性定理 0 lim lim 0 0 00 xgxfxUxBABxgAxf xxxx 有则且推论 设 定理 保号性 0 0 0 0 0 lim 0 0 0 xfxfxUxAAAxf xx 或时当则或且若 0 0 0 0 0 lim 0 0 0 AAxfxfxUxAxf xx 或则或时当且推论 若 4 子列收敛性 函数极限与数列极限的关系 定义定义 21 000 时的子列当为函数即 则称数列时使得中有数列或可以是设在过程 axxfxfxfxfxf axnaxxxxaax nn nn 定理定理 lim limAxfaxxfxfAxf n n n ax 则有时的一个子列当是数列若 证明 证明 0 0 0 lim 0 0 AxfxxAxf xx 恒有时使当 0 0 0 lim 000 xxNnNxxxx nnn n 恒有时使当对上述且又 lim AxfAxf n x n 故从而有 例如例如 1 1 sin 1 lim 1 1 sinlim 1 1 sinlim1 sin lim 2 2 0 n n n n n n n n x x nnnx 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在 且相等 例 7 1 sinlim 0 不存在证明 x x 证明 0 0lim 1 nn n n xx n x且取 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 18 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 0 0lim 2 14 1 nn n n xx n x且取 0sinlim 1 sinlim n x n n n 而 11lim 2 14 sinlim 1 sinlim nn n n n x 而 二者不相等 1 sinlim 0 不存在故 x x 四 小结四 小结 函数极限的统一定义函数极限的统一定义 lim lim limAxfAxfAxf xxx lim lim lim 00 0 AxfAxfAxf xxxx xx 0 lim AxfAxf恒有从此时刻以后时刻 第四节 无穷小与无穷大 一 无穷小 二 无穷大 三 无穷小与无穷大的关系 四 小结 一 无穷小 1 定义 极限为零的变量称为无穷小 定义 1 如果对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正数 或正数 X 使得对于适合不等式 0 0 xx 或 xX 的一切x 对应的函数值 xf都满足不等式 xf 那么称函数 xf当 0 xx 或 x 时为无穷小 记作 0 lim 0 lim 0 xfxf xxx 或 例如 0sin 0sinlim 0 时的无穷小是当函数 xxx x 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 19 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 1 0 1 lim时的无穷小是当函数 x xx x 1 0 1 lim时的无穷小是当数列 n nn nn n 注意 1 无穷小是变量 不能与很小的数混淆 2 零是可以作为无穷小的唯一的数 2 无穷小于函数极限的关系 定理 1 lim 0 xAxfAxf xx 其中 x 是当 0 xx 时的无穷小 0 0 0 0 xx当证明 0 lim lim 00 x x xAxfAxf xxxx 意义 1 该定理的主要作用是用普通的函数式替代极限式 AxfAxf xxx lim lim 0 或 2 0 xAxfxxf 误差为附近的近似表达式在给出了函数 二 无穷大 绝对值不断增大的变量称为无穷大 定义 极限为无穷大的变量称为无穷大 定义 2 如果对于任意给定的正数M 不论它多么大 总存在正数 或正数X 使得对于适合不等式 0 0 xx 或 xX 的一切x 所对应的函数值 xf都满足不等式 Mxf 则称函数 xf当 0 xx 或 x 时为无穷大 记作 lim lim 0 xfxf xxx 或MxfxxMxf xx 0 0 0 lim 0 0 当 MxfXxXMxf x 0 0 lim当 例 1 1 1 lim 1 x x 证明 证明 M M 1 0 取 M x x 1 1 1 10当 1 1 lim 1 x x lim 0 0 的图形的铅直渐近线是函数则直线如果定义xfyxxxf xx 一 无穷小 1 定义 极限为零的变量称为无穷小 定义 1 如果对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正数 或正数X 使得对于适合不等式 0 0 xx 或 xX 的一切x 对应的函数值 xf都满足不等式 xf 那么称函数 xf当 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 20 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 0 xx 或 x 时为无穷小 记作 0 lim 0 lim 0 xfxf xxx 或 二 无穷大 绝对值不断增大的变量称为无穷大 定义 极限为无穷大的变量称为无穷大 定义 2 如果对于任意给定的正数M 不论它多么大 总存在正数 或正数X 使得对于适合不等式 0 0 xx 或 xX 的一切x 所对应的函数值 xf都满足不等式 Mxf 则称函数 xf当 0 xx 或 x 时为无穷大 记作 lim lim 0 xfxf xxx 或 注意 1 无穷大是变量 不能与很大的数混淆 lim 2 0 认为极限存在切勿将 xf xx 3 无穷大是一种特殊的无界变量 但是无界变量未必是无穷大 无穷大是其绝对值不断增大的变量 0 否则称无界上有界在则称函数成立有若XxfMxfXxMDX 0 否则称无界上有界在则称函数成立有若XxfMxfXxMDX 大 是否有界 是否为无穷时当例如 xx yx 1 sin 1 0 1 sin 1 0但不是无穷大是一个无界变量时当 xx yx 0 否则称无界上有界在则称函数成立有若XxfMxfXxMDX 大 是否有界 是否为无穷时当例如 xx yx 1 sin 1 0 3 2 1 0 2 2 1 1 0 k k x 取 无界充分大时当 2 2 00 Mxykkxy 3 2 1 0 2 1 2 0 k k x 取 不是无穷大但充分大时当 02sin2 Mkkxyxk kk 三 无穷小与无穷大的关系 定理 2 在同一过程中 无穷大的倒数为无穷小 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 21 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 分析 lim 0 xf xx 设 时 使得当 0 0 0 0 xxM Mxf Mxf 1 1 1 即恒有 1 0 为无穷小时当 xf xx 证明 lim 0 xf xx 设 1 0 0 1 0 0 MxfxxM时 恒有使得当取对 1 0 为无穷小时当 xf xx 0 0 lim 0 xfxf xx 且设反之 1 0 0 0 0 M xfxxM 时 恒有使得当 1 0 为无穷大时当 xf xx 意义 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小的讨论 例 2 0 1 lim 1 x x 1 1 lim 1 x x 四 小结 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1 主要内容 两个定义 两个定理 2 几点注意 1 无穷小 大 是变量 不能与很小 大 的数混淆 零是唯一的无穷小的数 2 无界变量未必是无穷大 思考题 若0 xf 且Axf x lim 问 能否保证有0 A的结论 试举例说明 思考题解答 不能保证 例 x xf 1 有0 1 0 x xfx 0 1 lim lim A x xf xx 第五节 极限运算法则 一 无穷小的运算性质 二 极限运算法则 三 求极限方法举例 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 22 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 四 小结 重点 扎实 熟练掌握极限运算法则 一 无穷小的运算性质 定理 1 有限个无穷小的和仍是无穷小 考虑两个无穷小的和 时的无穷小 也是当则时的两个无穷小是当及设 00 xxxx 注意注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 例如 2 321 lim n n n 求 解法一 222 lim 2 lim 1 lim n n nn nnn 0000 解法二 2 1 2 1 lim n nn n 2 1 2 1 lim n n n 思考 对比解 1 解 2 判断哪种解法正确 并分析原因 注意 极限的运算法则只能推广到有限多项 当项数无限时 要先求和 或积 再求极限 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 都是无穷小 时当例如 x x x xx 1 arctan 1 sin 0 2 解解 1 1 1 sin 0lim 0 x x x 而 1 sin 0是有界量是无穷小量 时即当 x xx 0 1 sinlim 0 x x x 是有界变量 是无穷小量 由于 x x 1 arctan 2 0 1 arctanlim 2 0 x x x 思考 对比解 1 解 2 判断哪种解法正确 并分析原因 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 二 极限运算法则 定理定理 3 5 则设 lim limBxgAxf lim 1 BAxgxf lim 2 BAxgxf 0 lim 3 B B A xg xf 其中 注意 只有在两极限存在的前提下 才有和 差 积 商极限等与极限的和 差 积 商 思考题思考题 在某个过程中 若 f x 有极限 g x 无极限 那么 f x g x 是否有极限 为什么 思考题解答思考题解答 没有极限 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 23 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 有极限 有极限 假设 xfxgxf 由极限运算法则可知 必有极限 xfxgxfxg 与已知矛盾 故假设错误 推论推论 1 lim lim limxfcxcfcxf 则为常数而存在如果 常数因子可以提到极限记号外面 推论推论 2 lim lim lim nn xfxfnxf 则是正整数而存在如果 定理定理 6 则设 lim limByAx n n n n 数列极限的运算法则数列极限的运算法则 lim 1 BAyx nn n lim 2 BAyx nn n lim0 2 10 3 B A y x Bny n n n n 时 且 当 定理 7 保序性 lim lim 00 BxAx xxxx 设 0 0 o BAxxxUx 则有若 三 求极限方法举例三 求极限方法举例 小结小结 lim 1 0 1 10 xfaxaxaxf xx n nn 则设 n n xx n xxxx axaxaxf 1 10 lim lim lim 000 0 1 0100 xfaxaxa n nn lim lim lim 0 2 0 0 0 0 0 0 0 xf xQ xP xQ xP xfxQ xQ xP xf xx xx xx 则有且设 0 0 则商的法则不能应用若 xQ 多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限 例 1 53 1 lim 2 3 2 xx x x 求 解 035232 53 lim 22 2 xx x 3 7 3 12 53 1 lim 3 2 3 2 xx x x 例 2 32 14 lim 2 1 xx x x 求 解 0 32 lim 2 1 xx x 03 14 lim 1 x x 又 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 24 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 0 3 0 14 32 lim 2 1 x xx x 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系 得得 32 14 lim 2 1 xx x x 例 3 32 1 lim 2 2 1 xx x x 求 0 0 型 因式分解后消去零因子因式分解后消去零因子 解 1 3 1 1 lim 32 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 2 1 3 1 lim 1 x x x 例 4 147 532 lim 23 23 型求 xx xx x 解 3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用x 7 2 14 7 53 2 lim 147 532 lim 3 3 23 23 xx xx xx xx xx 无穷小因子分出法无穷小因子分出法 小结小结 为非负整数时有和当nmba 0 0 00 0 lim 0 0 1 10 1 10 mn mn mn b a bxbxb axaxa n nn m mm x 当 当 当 无穷小分出法 以分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限 例 5 21 lim 222 n n nn n 求 解 是无限多个无穷小之和时 n 先变形再求极限 2222 21 lim 21 lim n n n n nn nn 2 1 1 1 2 1 lim 1 2 1 lim 2 nn nn nn 例 6 sin lim x x x 求 解 1 为无穷小时当 x x sin 是有界函数而x 0 sin lim x x x 利用无穷小运算性质求极限 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 25 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 例 7 lim 0 1 0 1 0 2 xf xx xx xf x 求设 利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限 解 1 1 lim lim 0 00 xxfx xx 两个单侧极限为是函数的分段点 1 1 lim lim 2 00 xxf xx 左右极限存在且相等左右极限存在且相等 1 lim 0 xf x 故 时的极限存在且等于当运算法则 设函数定理 复合函数的极限axxxu 0 则复合函数 又的某去心邻域内 但在点即Aufaxxax auxx lim lim 0 0 lim lim 0 0 Aufxfxxxf auxx 时的极限也存在 且当 意义 变量替换求极限的依据 lim lim lim 00 ufxaxuxf auxxxx 则令 例 x x x sin lnlim 0 求 解 01lnlnlim sin 1 u x x u u 令 四 小结 1 极限的四则运算法则及其推论 2 极限求法 a 多项式与分式函数代入法求极限 b 消去零因子法求极限 c 无穷小因子分出法求极限 d 利用无穷小运算性质求极限 e 利用左右极限求分段函数极限 下面极限的求法是否正确 为什么 0 6 5 lim 3 1 lim 6 5 3 1 lim 2 33 2 3 xxxxxx xxx 此题的正确解法应是 通分 有理化 5 1 2 1 lim 2 3 52 lim 6 5 3 1 lim 33 2 3 xxx x xxx xxx 不定式 00 0 1 0 0 0 第六节 极限存在准则 两个重要极限一 极限存在准则一 极限存在准则 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 26 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 1 夹逼准则 准则 如果数列 nn yx 及 n z满足下列条件 lim lim 2 3 2 1 1 azay nzxy n n n n nnn 那末数列 n x的极限存在 且axn n lim 准则 如果当 0 0 xx 或Mx 时 有 lim lim 2 1 00 AxhAxg xhxfxg x xx x xx 那末 lim 0 xf x xx 存在 且等于A 例 1 1 2 1 1 1 lim 222 nnnn n 求 解 1 1 1 1 2222 n n nnnnn n n nn n nn 1 1 1 limlim 2 又 1 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n nn 1 由夹逼定理得 1 1 2 1 1 1 lim 222 nnnn n 2 单调有界准则 满足条件如果数列 n x 121 nn xxxx单调增加 121 nn xxxx单调减少 单调数列例 4 333 极限的极限存在 并计算其 重根式证明数列nxn 证证 1 是单调递增的 n x 3 1nn xx 显然 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 27 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 33 2 x 3 1 x 1 kk xxkn时假设 kk xxkn3 1 1 时则 3 1kk xx n x 2 有界 n x 33 1 x 3 k x假定 kk xx 3 1 则 33 3 有界 n x lim 2 1 存在得 和由 n n x 3 1nn xx 3 2 1nn xx 3 limlim 2 1n n n n xx 3 2 AA 2 131 2 131 AA解得 2 131 lim n n x 二 两个重要极限二 两个重要极限问题的引入 计算下列极限 x x x x x xx x x x sin lim 3 11 lim 2 2 6 lim 1 0 2 2 0 2 2 1 1 sin lim 0 x x x 1 sin lim 0 x x x 1 sin lim 0 x x x 或 应用时注意 应用时注意 1 sin lim ax 1 sin lim x 1 sin lim ax 1 sin lim x 对吗 问题 1 3 9sin lim 2 0 x x x 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 28 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 例 3 cos1 lim 2 0 x x x 求 解解 2 2 0 2 sin2 lim x x x 原式 2 2 0 2 2 sin lim 2 1 x x x 2 0 2 2 sin lim 2 1 x x x 2 1 2 1 2 1 Ex Ex x x x sin lim 0 1 x x x sin lim0 x x x 1 sinlim 0 0 x x x 1 sinlim t t t sin 1 lim 0 1 2 e x x x 1 1 lim 2 718 281 828 45 记作e 即 无理数e是自然对数的底 在数学和其他科学技术中经常用到它 e n n n 1 1 lim e x x x 1 1 lim e x x x 1 1 lim 例 5 1 1 lim x x x 求 解 1 1 1 lim x x x 原式 x x x 1 1 1 lim e 1 例 6 2 3 lim 2x x x x 求 解 x x x 2 2 1 1 lim 原式 422 2 1 1 2 1 1 lim xx x x 2 e 例 7 1 lim 2 0 x x x x 求 解 2 0 1 1 lim x x x 原式 2 0 1 1 lim x x x 2 e 三 小结三 小结 1 两个准则 夹逼准则 单调有界准则 2 两个重要极限 为某过程中的无穷小设 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 29 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 1 sin lim10 某过程 1 lim2 1 0 e 某过程 思考题 求极限 x xx x 1 93lim 思考题解答 x xx x 1 93lim x x x x x 1 1 1 3 1 9lim x x x x x 3 1 3 3 1 1lim9 99 0 e 第七节 无穷小的比较 一 无穷小的比较一 无穷小的比较例如 1 sin sin 0 23 都是无穷小时当 x xxxxx x x x 3 0 lim 0 3 要快得多比xx x x x sin lim 0 1 sin大致相同与xx x x x x 1 sin lim 0 x x 1 sinlim 0 不存在 不可比 问题 如何刻画两个无穷小在同一过程中趋于零的 快慢 速度 定义 0 且穷小是同一过程中的两个无设 记作高阶的无穷小是比 就说如果 0lim 1 o 低阶的无穷小 是比 就说如果 lim 0lim 3 是同阶的无穷小与就说如果 C 1lim 记作是等价的无穷小与则称如果特殊地 0 0lim 4 阶的无穷小的是就说如果kkC k 例如 0lim 3 0 x x x 0 3 xxox即 0 3 高阶的无穷小是比时 当xxx 1 sin lim 0 x x x 0 sin xxx即 是等价无穷小与时 当xxxsin0 注意 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 30 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 lim0lim 00 1 时 由于 当 所以 是比 高阶的无穷小量 等价于 是比 较低阶无穷小量 2 同样 与 是同阶无穷小量 等价于 与 是同阶无穷小量 3 与 是等价无穷小量 等价于 与 是等价无穷小量 例 1 的四阶无穷小为时当证明xxxx 3 tan4 0 解 4 3 0 tan4 lim x xx x 3 0 tan lim4 x x x 3 0 tan lim 4 x x x 4 tan4 0 3 的四阶无穷小为时故当xxxx 例 2 xxx 1ln 0 时当 解 x x x 1ln lim 0 x x x 1 0 1ln lim 1ln e 1ln xx 的主要部分 是称为 要条件是等价无穷小的充分必与定理 1 o 二 等价无穷小替换二 等价无穷小替换定理 等价无穷小替换定理 limlim lim 则存在且设常用等价无穷小 0时当 x 1ln arctan tan arcsin sin xxxx xxxxxx 2 1 cos1 2 xx 0 1 1 aaxx a xex 1 xx 2 1 11 特别地 例 3 1 lim 0 x ex x 求 解 1uex 令 0 0 ux有时则当 1 uex 1ln ux 即 1ln lim 1 lim 00 u u x e u x x u uu 1ln 1 lim 0 eln 1 1 1 0 x exx时 即 当 例 4 cos1 2tan lim 2 0 x x x 求 解 2 2tan 2 1 cos1 0 2 xxxxx 时当 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 31 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 2 2 0 2 1 2 lim x x x 原式 8 例 5 2sin sintan lim 3 0 x xx x 求 解 0时当 x 2 2sinxx cos1 tansintanxxxx 2 1 3 x 3 3 0 2 2 1 lim x x x 原式 16 1 例 6 0 1 1 lim 0 a ax x a x 求 解 1 lim 1 lim 1 1 lim 1ln 0 1ln 00 ax e ax e ax x xa x x x a x a ax xa x 1ln lim 0 1 xex ax ax x0 lim 1ln xx 1 例 7 1 sin lim 1 x x e x 求 1 1sin e 意义 用等价无穷小可给出函数的近似表达式 例如 0时当 x 2 1 cos1 sin 2 xxxx sinxoxx 2 1 cos1 22 xoxx 2 2 1 x x 三 小结三 小结 1 无穷小的比较 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 高 低 阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 2 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法 注意适用条件 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗 不能 例当 x时 1 x xf x x xg sin 都是无穷小量 但 lim xf xg x x x sinlim 不存在且不为无穷大第八节 函数的连续性与间断点一 函数的连续性一 函数的连续性 1 连续的 定义 定义 1 设函数 xf在 0 x 内有定义 若 lim 0 0 xfxf xx 那末就称函数 xf在点 0 x连续 定义 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 联考英语 GCT 法律 会计 教育 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 32 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 0 0 00 xfxfxx恒有时使当 问题 函数在点 x0 连续与存在极限的区别 f x 在 0 xx 必须有定义 2 0 xfA 2 函数的增量 00 xUxxUxf 内有定义在设函数 00 的增量称为自变量在点 xxxx 0 的增量相应于称为函数xxfxfxfy 定义 1 设函数 xf在 0 x 内有定义 若 lim 0 0 xfxf xx 那末就称函数 xf 在点 0 x连续 定义 2 设函数 xf在 0 x 内有定义 如果0lim 0 y x 那末就称函数 xf 在点 0 x 连续 0 x称为 xf 的连续点 0 lim 00 0 xfxxf x 例 1 0 0 0 0 1 sin 处连续 在试证函数 x x x x x xf 证 0 1 sinlim 0 x x x 0 0 f又 0 lim 0 fxf x 由定义 1 知 0 处连续在函数 xxf 3 单侧连续 0 0 000 处左连续在点则称 且内有定义在若函数 xxf xfxfxaxf 0 0 000 处右连续在点则称 且内有定义在若函数 xxf xfxfbxxf 定理 00 处既左连续又右连续 在是函数处连续在函数xxfxxf 左右极限与函数值相等处连续在函数 0 xxf lim lim 0 00 xfxfxf xxxx 例 2 0 0 2 0 2 连续性 处的在讨论函数 x xx xx xf 解 2 lim lim 00 xxf xx 2 0 f 2 lim lim 00 xxf xx 2 0 f 在职硕士在职硕士 全国联考全国联考 通关保过通关保过 工商管理 公共管理 公共卫生 在职硕士金牌保过在职硕士金牌保过 33 42 报名咨询电话 报名咨询电话 0537 4456166 4456177 右连续但不左连续 0 处不连续在点故函数 xxf 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如 sin内是连续的在区间函数