数列讲义四.doc

中小学1对1课外辅导专家毅帆教育学科培训师辅导讲义讲义编号 学员编号年 级高 一课时数2学员姓名辅 导 科 目数 学学科培训师吴维民学科组长签字 教务长签字课 题常见递推数列的求解方法备课时间：2013年3月18日授课时间： 2 013年3月27日教学目标一、掌握递推数列的通项公式解法。重点、难点一、递推数列的通项公式解法的利用。考点及考试要求一、求常见递推数列的通项公式。教学内容类型一：（可以求和）累加法例1、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。解析： 上述个等式相加可得： （评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。）类型一专项练习题1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式 解答：，故可用“叠加法”得 2、 已知数列满足，求数列的通项公式。解答：用“叠加法”得3、已知数列满足，求。 解答： ，可用“叠加法”得可用“叠加法”得4、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则5；当时，（用表示）解答：条直线()的交点个数有以下规律： 这条直线交点的个数（上式显然对时也成立）类型二： （可以求积）累积法例1、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。解析：又也满足上式； 评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。类型二专项练习题：1、 已知，()，求。 解答：（本解采用“累乘法”）（ . 将上述等式相乘，便得 数列的通项公式2、已知中，且，求数列的通项公式. 解答：同上题，采用“累乘法”.（）3、已知数列，满足, (n2)，则的通项公式_解答： 两式相减便得（，则（） 注意到，由“累乘法”得（） 的通项公式4、设是首项为1的正项数列, 且，求它的通项公式. 解答：且 ，这可看作关于的一元二次方程 ，但， 5、数列的前n项和为，且，求数列的通项公式. 解答： ， 故用 “累乘法”得 数列的通项公式 . 类型三：待定常数法可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。例1 在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。解析：设，则 ，于是 是以为首项，以3为公比的等比数列。 类型三专项练习题：1、已知数列a中，a=1，a= a+ 1求通项a 解答：令，则，数列是公比为的等比数列2、在数列中,且,求数列的通项公式. （用待定系数法）3、在数列an中，求. （用待定系数法）类型四： （且）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例1 设在数列中， ，求数列的通项公式。解析：设 展开后比较得这时 是以3为首项，以为公比的等比数列 即， 例2 在数列中， ，求数列的通项公式。解答： ， 令，则（），则例3 在数列中， ，求数列的通项公式。解析： 评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。 ， ，令则 数列的通项公式 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解答：用“待定系数法”（双系数） 令 则 ， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列故 类型4专项练习题：1、设数列的前n项和，求数列的通项公式。 得 ， 数列是首项为，公比为的等比数列 2、已知数列中，点在直线上，其中（1） 令求证：数列是等比数列；（2） 求数列的通项 ； （1）解答：点在直线上，但， 数列是等比数列 .（2） ， .则数列的首项 故 以下用“叠加法”得3、已知，求。 解答：， 令 ，则，以下用“待定系数法”可得 4、设数列：，求.（）解答：用“待定系数法” 令 ，则 ，故知数列是首项为，公比为的等比数列 类型五：（）倒数法例1 已知，求。 （ ）解答：知， 令，则，以下用“待定系数法”可得 ， 评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。类型五专项练习题1、已知数列满足时，求通项公式。 解答： ， ，则数列是首项为，公差为的等差数列 2、已知数列an满足：，求数列an的通项公式。解答:用取“倒数法”，可得3、设数列满足求 （用取“倒数法”）类型六： 例1 已知数列前n项和.求与的关系； （2）求通项公式. ，两式相减得 令，则 ，从而 数列的通项公式为类型六专项练习题：1、已知数列an的前n项和为, 求数列的通项公式. 解答：, 故有（） 数列的通项公式为2、设正整数的前n项和，求数列an的通项公式. ， 即 ， 只能 是等差数列. ，则数列的通项公式为类型七： 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列中，求数列解答： 令，则以下用“待定系数法”可得 变式:（06山东理）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1）证明数列lg(1+an)是等比数列；（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；（3）记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 （1）证明：点在函数的图象上， 数列 是等比数列；（2） ， ；（3） ， ，故但， 课后作业1数列满足且，求数列的通项公式；2数列满足且，求数列的通项公式。翰林汇9.已知数列满足 ，且 ，求。 10.数列中，,求数列的通项公式。 13. 已知数列满足，求数列的通项公式。17.已知数列an的前n项和为，求an的通项。25.设在数列an中，求an的通项公式。 26.在数列中，求通项公式an1 数列满足且，求数列的通项公式； 数列满足且，求数列的通项公式。 【解】：由已知可得从而可得，这个式子两边相加，即得，。 【解】：由已知可得从而可得，这个式子两边相加，即得：2.数列满足且，求数列的通项公式；化归法）令，展开整理并与原式比较系数得，从而可将原数列转化为等比数列，设，则，从而，则，所以。9.数列中，,求数列的通项公式。【解】：设，则，解得：1、，运用累差迭加法可得10. 数列是首项为1的正项数列且满足：），求数列的通项。解析:由于得由