线性代数讲义-01行列式.doc

第一章 行列式第一节 行列式的定义.一 排列的逆序数 将数按照某个顺序排成一行, 称为一个阶排列. 记作. 共有种不同的阶排列. 按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列称为标准排列.定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数. 在阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列的逆序数最大, 等于. 定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列). 例如, 共有6个三阶排列, 其中, , 是偶排列, 而, , 是奇排列. 定义1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换. 定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性. 证 如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变.考虑排列, 其中. 为完成与的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将与对换, 再将与对换, 继续进行, 直至与相邻. 在这个过程中, 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行次对换, 得到排列. 然后将与对换, 再将与对换, 继续进行, 直至向前移动到的左边为止. 此时恰好得到排列.如此又进行次相邻对换. 总计进行次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性. 如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑的一个排列, 任取一个数, 如果有个比大的数排在的前面, 则称是的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数. 例1.1 求排列32514的逆序数. 解 按照上面的方法, 得逆序数为. 例1.2 设, 求证: 在阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半. 证 将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等. 二 行列式定义以前学过二阶与三阶行列式: ;.为了将他们推广, 首先研究三阶行列式的结构. 行列式中的数称为它的元素. 其中元素组成行列式的第行, 元素组成行列式的第列, 元素组成行列式的主对角线. 每个元素有两个下标. 第一个是行标, 表示该元素属于第行. 第二个是列标, 表示该元素属于第列.在形式上, 三阶行列式是一个数表. 而实质是其元素的一个多项式. 这个多项式由六项组成, 每项包含三个元素的乘积. 这三个元素分别属于不同的行, 不同的列. 现在每一项中元素的行标组成标准排列, 则其列标恰组成所有的三阶排列. 而且, 如果列标排列是奇排列, 则前面是负号. 如果列标排列是偶排列, 则前面是正号. 于是, 可以将三阶行列式写作,其中是列标排列的逆序数, 求和遍及所有三阶排列.按照三阶行列式的结构进行推广, 得到阶行列式的定义. 定义1.4 称为阶行列式, 其中是列标排列的逆序数, 而求和遍及所有阶排列. 常将行列式简记作. 如果需要明确行列式的阶, 则将阶行列式记作. 一个阶行列式有项. 当时, 其中正项与负项各占一半. 与三阶行列式类似，阶行列式也是其元素的多项式. 因此, 如果行列式的元素都是数, 则行列式也是数. 如果行列式的元素是某些字母的多项式, 则行列式也是这些字母的多项式. 注意 一阶行列式与数的绝对值的符号相同, 但意义不同. 作为行列式,而作为数的绝对值. 因此必须用文字严格区分这两种不同对象. 例1.3 求四阶行列式中包含元素的所有负项.解 在四阶排列中, 数3在第二个位置的共有6个. 其中的奇排列为1324, 2341与4312. 于是, 四阶行列式中包含元素的负项为, , . 当较大时, 阶行列式中的项很难一一列举. 不过, 如果一个行列式的许多元素等于0, 则不等于0的项数将大大减少. 例1.4 求证：行列式.证 为了得到非零项, 在第行中只能取. 此后不能再取第列的其他元素. 因此,在第行只能取. 继续这个讨论可得: 行列式只有一个正项.在这个行列式中, 主对角线下面的元素都等于0, 称为上三角行列式. 类似定义下三角行列式, 且有相同结果. 例1.5 求证: 行列式.证 仿照例1.4的推理, 这个行列式也只有一个非零项. 当该项的行标组成标准排列时, 它的列标排列为. 逆序数为. 例1.6 求证：行列式. 证 因为行列式的每一项需要在前两行取不同列的元素， 所以行列式的每一项都至少包含一个等于0的元素. 因此该行列式等于0.前面将行列式中每项的行标组成标准排列, 由列标排列的逆序数决定符号. 现在考虑列标组成标准排列时的情形. 定理1.2 行列式. 其中是行标排列的逆序数.证 行列式定义中的一般项为. 对换它的两个元素, 该项中的元素乘积不变. 考虑该项前面的符号. 原来的符号是, 其中是行标组成标准排列时, 列标排列的逆序数. 经过对换两个元素, 根据定理1.1, 其行标排列与列标排列同时改变奇偶性. 然而, 行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性. 继续这个过程, 使列标组成标准排列. 由于标准排列的逆序数等于0, 此时行标排列的奇偶性与原来列标排列的奇偶性相同. 即. 定理1.2说明行标排列与列标排列的地位是相同的. 从定理1.2的证明中还可以看到: 当行标排列与列标排列都不是标准排列时, 行列式的项的符号可以由行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性决定. 习题1-11. 求下列九阶排列的逆序数，从而确定其奇偶性.(1) 135792468; (2) 219786354.2. 选择与使下列九阶排列(1) 为偶排列; (2) 为奇排列.3. 求证: 用对换将奇(偶)排列变成标准排列的对换次数为奇(偶)数. 4. 已知排列的逆序数为，求排列的逆序数.5. 在六阶行列式中, 确定下列项的符号.(1) ; (2) .6. 计算下列行列式.(1) ; (2) .7. 计算下列行列式.(1) ; (2) .8. 求证: . 9. 设一个阶行列式至少有个元素等于0，求证：这个行列式等于0.第二节 行列式的性质 用行列式定义计算一般的高阶行列式非常困难. 而计算三角行列式特别简单. 本节研究行列式的性质, 以寻找简单的计算方法. 定义1.5 将行列式的行列互换, 而不改变行与列的先后顺序(第一行变成第一列, 第二行变成第二列等等), 所得到的行列式称为原行列式的转置, 记作. 例如, 行列式的转置是. 性质1.1 行列式的转置与原行列式相等. 即. 证 设行列式的元素为, 转置的元素为, 则有. 根据定理1.2, 有.注意 在行列式中, 行与列的地位是相同的. 因此, 对行列式的行成立的命题, 对列也同样成立. 性质1.2 交换行列式的两行(列), 行列式改变符号.证 交换的第行与第行产生的新行列式记作. 设的元素为, 则有, , 而的其他行的元素与相同. 设阶行列式的一般项为, 其中是列标排列的逆序数. 在的定义中与上面的一般项具有相同元素的项为,其中是列标排列的逆序数. 根据定理1.1, 这两个排列的奇偶性不同, 因此相应的两项符号相反. 因为与的具有相同元素的项符号都相反, 所以. 推论1.1 如果行列式中有两行的元素对应相等, 则.证 设行列式的第行与第行相同, 交换这两行产生的行列式记作, 则. 然而根据性质1.2, 又有. 于是.性质1.3 用数乘以行列式的一行的每个元素，相当于用乘以原行列式. 即有.证 设阶行列式, 用数乘以其第行的每个元素产生的新行列式记作, 根据定义, 有.这个性质可以看作提取行列式的一行(或一列)元素的公因数. 推论1.2 如果行列式的某两行的元素对应成比例, 则. 证 设行列式第行的每个元素是第行的对应元素的倍, 提取第行元素的公因数, 根据性质1.3, 原行列式等于数乘以一个新行列式. 由于这个新行列式中有两行相同, 根据推论1.1, 有.性质1.4 如果行列式的一行的每个元素都是两个数的和，则原行列式等于两个行列式的和. 即有.证 设阶行列式, 其中只有第行不同. 将两个行列式的第行求和, 其他行不变产生的新行列式记作, 根据行列式定义, 有.可以将性质1.3看作行列式的数乘运算, 而将性质1.4看作行列式的加法. 行列式的加法与数乘都是对一行进行, 而不是对整个行列式. 此外, 性质1.4可以推广为: 如果行列式的一行中所有元素都是个数的和, 则它等于个行列式的和. 性质1.5 将行列式的某一行的每个元素加上另一行对应元素的倍, 行列式不变. 证 设阶行列式, 将第行的元素加上第行的对应元素的倍产生的新行列式记作, 根据性质1.4与推论1.2, 有. 例1.7 求证: 行列式.证 先用性质1.4将等式左边分成两个行列式, 再用性质1.5, 得.例1.8 计算行列式.解 用性质1.5, 得 . 注意 用性质将行列式变成三角行列式, 再用定义计算. 这种方法称为消元法. 例1.9 计算行列式.解 先将下面各行加到第一行, 提取第一行的公因数6， 再用下面各行分别减去第一行. 得.注意 如果行列式的列和(或行和)相等, 常使用上述技巧. 例1.10 计算行列式.解 用第一列减第二列, 提取; 第三列减第四列, 提取. 再用第二列, 第四列分别减第一列与第三列, 得.有时需要仔细观察行列式的结构, 才能找到最简捷的方法. 计算行列式时, 往往有多种方法. 应该考察各种路线, 从中选择最佳方案. 习题1-21. 求证: .2. 计算行列式.3. 计算下列行列式.(1) ; (2) .4. 求的值, 使得行列式.5. 计算下列行列式(1) ; (2) . 6. 计算行列式, 其中. 7. 用两种方法计算行列式， 从而证明因式分解: .8. 计算行列式, 其中.9. 计算行列式.10. 计算行列式，其中未写出的元素都等于0. 第三节 行列式的展开 在本节中研究行列式按照一行或一列展开的公式, 从而可以将一个高阶行列式的计算转化为若干低阶行列式的计算.定义1.6 考虑阶行列式. 将行列式的元素所在的行与列删除(其余元素保持原来的相对位置), 得到的阶行列式称为元素的余子式, 记作. 而称为元素的代数余子式. 例如，行列式中元素的余子式为， 而代数余子式为. 注意 左上角元素的代数余子式取正号, 其余正负相间. 特别, 主对角元素的代数余子式全取正号.引理1.1 如果一个阶行列式的第行中只有不等于0, 则这个行列式等于与其代数余子式的乘积. 即.证 先考虑的特殊情况. 根据定义, 为了产生非零项, 在行列式的第行只能取. 于是, 有,其中是列标排列的逆序数, 求和遍及的所有排列. 然而排列与排列的逆序数相等, 因此, 上式右边的和式为.于是, 有.现在考虑一般情况, 设行列式的第行中只有不等于0. 将的第行与第行交换, 再将所得行列式的第行与第行交换, 继续进行, 直到的第行移到最后一行, 而其他行的上下顺序不变. 在这个过程中, 共进行次交换行. 用同样的方法, 将所得的行列式的第列逐步移到最后一列, 而其他列的左右顺序不变. 在这个过程中, 共进行次交换列. 最后得到的行列式记作, 则在的最后一行中只有最后一个元素不等于0, 而且在中的代数余子式就是在中的余子式. 由前面证明的特殊情况, 有. 另一方面, 根据性质1.2, 有, 即. 于是, 有.定理1.3 对于阶行列式, 有;.证 将行列式的第行的每个元素改写成个数的和, 其中由改写成的和中的第个加数等于, 其他元素等于0. 用性质1.4的推广, 则等于个行列式的和. 在第个行列式的第行中, 只有属于第列的元素等于, 其他元素等于0. 对这个行列式分别用引理1.1, 得. 注意 用定理1.3, 可以将一个阶行列式的计算转化为个阶行列式的计算. 不过, 当行列式的阶数较大时, 计算量仍然相当大. 除非在行列式中有很多元素等于0. 联合使用消元与按照一行(列)展开, 常能得到最简捷的计算路线. 例1.11 计算行列式.解 先按照第四行展开, 得.有时用数学归纳法计算阶行列式是比较方便的. 不过此时需要行列式与, 之间的关系.例1.12 求证: .证 计算可得, . 设命题对于阶与阶行列式成立. 考虑阶行列式, 按第一行展开, 得 . 例1.13 求证: .解 当时, 有. 设命题对于阶行列式成立. 考虑阶行列式, 从下边开始, 下面一行减去上面一行的倍, 得 .与前面的例题不同, 这里不是下面各行减去第一行, 而是下面一行减去其上面一行. 当然现在必须从第行开始, 逐行向上做. 这个行列式称为范德蒙行列式. 易见, 当两两不同时, 范德蒙行列式不等于0. 这个性质产生了范德蒙行列式的许多应用. 例1.14 求证: .解 当, . 设命题对于阶行列式成立. 考虑阶行列式, 按照最后一行分成两个行列式的和, 得 =.推论1.3 行列式的任意一行(列)的元素与另一行的元素的代数余子式的乘积之和等于零. 即当时, 有;.证 只证第一个等式. 反向用定理1,3, 则等于一个阶行列式. 这个行列式的第行与第行相同, 根据推论1.1, 该行列式等于0. 习题1-31. 计算行列式的第二行所有元素的余子式与代数余子式. 2. 计算行列式. 3. 求证: . 4. 求证: .5. 设常数两两不等, 解方程.6. 求证: .7. 求证: , 其中.补充材料一 拉普拉斯展开前面是行列式按一行或一列展开. 这个结果可以推广为按若干行展开. 行列式中任意行与列交叉处的元素,