广东省湛江一中高二数学上学期第二次月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省湛江一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1“至多有三个”的否定为（）a至少有三个b至少有四个c有三个d有四个2如果命题“（pq）”是假命题，则下列说法正确的是（）ap、q均为真命题bp、q中至少有一个为真命题cp、q均为假命题dp、q中至少有一个为假命题3“x1”是“x2x”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4已知椭圆的焦点是f1、f2，p是椭圆上的一个动点，如果延长f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那么动点q的轨迹是（）a圆b椭圆c双曲线的一支d抛物线5“1t4”是“方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件6已知f是抛物线y2=x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|+|bf|=3，则线段ab的中点到y轴的距离为（）ab1cd7已知双曲线c：的焦距为10，点p（2，1）在c的渐近线上，则c的方程为（）abcd8若圆心在x轴上，半径为的圆c位于y轴左侧，且被直线x+2y=0截得的弦长为4，则圆c的方程是（）abc（x5）2+y2=5d（x+5）2+y2=59已知f（x）=x+2（x0），则f（x）有（）a最大值为0b最小值为0c最大值为4d最小值为410以o为中心，f1，f2为两个焦点的椭圆上存在一点m，满足，则该椭圆的离心率为（）abcd11已知p为椭圆上的一点，m，n分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x3）2+y2=4上的点，则|pm|+|pn|的最小值为（）a5b7c13d1512点p在直线l：y=x1上，若存在过p的直线交抛物线y=x2于a，b两点，且|pa|=|ab|，则称点p为“点”，那么下列结论中正确的是（）a直线l上的所有点都是“点”b直线l上仅有有限个点是“点”c直线l上的所有点都不是“点”d直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分13设x，y满足约束条件，则z=x2y的取值范围为14已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 15过焦点为f的抛物线y2=4x上一点p向其准线作垂线，垂足为q，若qpf=120，则|pf|=16若关于x的不等式0对任意nn*在x（，恒成立，则实常数的取值范围是三.解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知命题p：x，x2a0，命题q：x0r，x02+2ax0+2a=0；若命题（pq）是假命题，求实数a的取值范围18在abc中，sin（ca）=1，sinb=（）求sina的值；（）设ac=，求abc的面积19已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点点m（3，m）在双曲线上（1）求双曲线方程；（2）求证：mf1mf2；（3）求f1mf2的面积20设数列an前n项和为sn，数列sn的前n项和为tn，满足tn=2snn2，nn*（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式21如图，直线y=x与抛物线y=x24交于a、b两点，线段ab的垂直平分线与直线y=5交于q点（1）求点q的坐标；（2）当p为抛物线上位于线段ab下方（含a、b）的动点时，求opq面积的最大值22如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的标准方程为+=1，直线l与x轴交于点e，与椭圆c交于a，b两点（1）若点e的坐标为，点a在第一象限且横坐标为，连结点a与原点o的直线交椭圆c于另一点p，求pab的面积；（2）是否存在点e，使得为定值？若存在，请指出点e的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由2015-2016学年广东省湛江一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1“至多有三个”的否定为（）a至少有三个b至少有四个c有三个d有四个【考点】命题的否定【专题】阅读型【分析】根据命题的否定命题的解答办法，我们结合至多性问题的否定思路：至多n个的否定为至少n+1个，易根据已知原命题“至多有三个”得到否定命题【解答】解：至多n个的否定为至少n+1个“至多有三个”的否定为“至少有四个”故选b【点评】本题考查的知识是命题的否定，其中熟练掌握多性问题的否定思路：至多n个的否定为至少n+1个，是解答本题的关键2如果命题“（pq）”是假命题，则下列说法正确的是（）ap、q均为真命题bp、q中至少有一个为真命题cp、q均为假命题dp、q中至少有一个为假命题【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】（pq）是假命题，则pq为真命题，再根据或命题为真的规则判断【解答】解：因为命题（pq）为假，所以（pq）为真，所以p或q中至少一个为真故选b【点评】本题考查了命题的否定与原命题真假的关系，或命题为真的条件属于基础题3“x1”是“x2x”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】由题意解不等式x2x，提出公因式x，根据因式分解法，解出不等式的解，再判断是不是必要条件，判断此解和x1的关系【解答】解：由x2x，可得x1或x0，x1，可得到x2x，但x2x得不到x1故选a【点评】注意必要条件、充分条件与充要条件的判断4已知椭圆的焦点是f1、f2，p是椭圆上的一个动点，如果延长f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那么动点q的轨迹是（）a圆b椭圆c双曲线的一支d抛物线【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程【专题】探究型【分析】已知椭圆的焦点和椭圆上的一个动点，由椭圆定义有|pf1|+|pf2|=2a，又|pq|=|pf2|，代入上式，可得|f1q|=2a再由圆的定义得到结论【解答】解：|pf1|+|pf2|=2a，|pq|=|pf2|，|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a即|f1q|=2a动点q到定点f1的距离等于定长2a，动点q的轨迹是圆故选a【点评】本题主要考查椭圆和圆的定义的应用，在客观题中考查较多，题目很灵活，而在多步设的大题中，第一问往往考查曲线的定义，应熟练掌握5“1t4”是“方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】椭圆的标准方程【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知条件利用椭圆的性质求解【解答】解：1t4，04t3，0t13，当t=时，4t=t1，曲线为圆，由“1t4”，推导不出“方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；“方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”，解得，“1t4”是“方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件故选：d【点评】本题考查充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用6已知f是抛物线y2=x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|+|bf|=3，则线段ab的中点到y轴的距离为（）ab1cd【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出a，b的中点横坐标，求出线段ab的中点到y轴的距离【解答】解：f是抛物线y2=x的焦点，f（）准线方程x=，设a（x1，y1），b（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|af|=，|bf|=，|af|+|bf|=3解得，线段ab的中点横坐标为，线段ab的中点到y轴的距离为故选c【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离7已知双曲线c：的焦距为10，点p（2，1）在c的渐近线上，则c的方程为（）abcd【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线c：的焦距为10，点p（2，1）在c的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程【解答】解：双曲线c：的焦距为10，点p（2，1）在c的渐近线上，a2+b2=25， =1，b=，a=2双曲线的方程为故选：a【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题8若圆心在x轴上，半径为的圆c位于y轴左侧，且被直线x+2y=0截得的弦长为4，则圆c的方程是（）abc（x5）2+y2=5d（x+5）2+y2=5【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】设圆心坐标为（a，0）（a0），利用半径为的圆被直线x+2y=0截得的弦长为4，可得弦心距为1，求出a，即可求出圆c的方程【解答】解：设圆心坐标为（a，0）（a0），则半径为的圆被直线x+2y=0截得的弦长为4，弦心距为1，=1，a=，圆c的方程是，故选：b【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求圆的标准方程，属于中档题9已知f（x）=x+2（x0），则f（x）有（）a最大值为0b最小值为0c最大值为4d最小值为4【考点】函数的最值及其几何意义【分析】因为x0，可得x0，然后利用不等式的基本性质进行放缩，从而求解【解答】解：x0，x0，x+2=（x+）222=4，等号成立的条件是x=，即x=1故选c【点评】此题考查函数的最值及其几何的意义，利用不等式的性质进行求解，是一道基础题，主要是符号的变化10以o为中心，f1，f2为两个焦点的椭圆上存在一点m，满足，则该椭圆的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】延长mo与椭圆交于n，由已知条件能推导出四边形mf1nf2是平行四边形，再由平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，结合椭圆的性质求出椭圆的离心率【解答】解：延长mo与椭圆交于n，mn与f1f2互相平分，四边形mf1nf2是平行四边形，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，mn2+f1f22=mf12+mf22+nf12+nf22，mf1+mf2=2mf2+mf2=3mf2=2a，nf1=mf2=a，nf2=mf1=a，f1f2=2c，（a）2+（2c）2=（a）2+（a）2+（a）2+（a）2，=，e=故选：c【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，熟练掌握椭圆的性质，是中档题11已知p为椭圆上的一点，m，n分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x3）2+y2=4上的点，则|pm|+|pn|的最小值为（）a5b7c13d15【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x3）2+y2=4的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案【解答】解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x3）2+y2=4的圆心，所以根据椭圆的定义可得：（|pm|+|pn|）min=2512=7，故选b【点评】本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用12点p在直线l：y=x1上，若存在过p的直线交抛物线y=x2于a，b两点，且|pa|=|ab|，则称点p为“点”，那么下列结论中正确的是（）a直线l上的所有点都是“点”b直线l上仅有有限个点是“点”c直线l上的所有点都不是“点”d直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【考点】两点间距离公式的应用【专题】计算题；压轴题；创新题型【分析】根据题设方程分别设出a，p的坐标，进而b的坐标可表示出，把a，b的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合【解答】解：设a（m，n），p（x，x1）则，b（2mx，2nx+1）a，b在y=x2上n=m2，2nx+1=（2mx）2消去n，整理得关于x的方程 x2（4m1 ）x+2m21=0=8m28m+50恒成立，方程恒有实数解，故选a【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断二填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分13设x，y满足约束条件，则z=x2y的取值范围为【考点】简单线性规划【专题】作图题【分析】作出不等式组对应的可行域，平移目标直线可知，当直线过点a（3，0），点b（1，2）时，函数z分别取最值，计算可得【解答】解：作出不等式组对应的可行域，（如图阴影）平移目标直线z=x2y可知，当直线过点a（3，0）时，z取最大值3，当直线过点b（1，2）时，z取最小值3，故z=x2y的取值范围为：故答案为：【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题14已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】先根据焦点坐标求出待定系数a，从而得到双曲线的方程，在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得该双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的右焦点为，9+a=13，a=4，双曲线的方程为：=1，该双曲线的渐近线方程为 y=x，故答案为y=x【点评】本题考查双曲线的标准方程和简单性质，先求出双曲线的标准方程，就可得到渐近线方程15过焦点为f的抛物线y2=4x上一点p向其准线作垂线，垂足为q，若qpf=120，则|pf|=【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】通过设p（m，n）（不妨令m、n均为正数），利用qpf为等腰三角形及锐角三角函数的定义计算即得结论【解答】解：由题可知：抛物线y2=4x的焦点为：f（1，0），抛物线y2=4x的准线方程为：x=1，不妨设p（m，n）（m、n均为正数），则4m=n2，|pq|=1+m，|fq|=，由抛物线的定义可知：|pf|=|pq|=1+m，qpf为等腰三角形，又qpf=120，|fq|=|pf|sin60，即=（1+m），化简得：3m2+2m1=0，解得：m=，即m=或0（舍），|pf|=1+=，故答案为：【点评】本题以抛物线为载体，考查求线段长度，注意解题方法的积累，属于中档题16若关于x的不等式0对任意nn*在x（，恒成立，则实常数的取值范围是（，1【考点】函数恒成立问题【专题】综合题；压轴题【分析】关于x的不等式0对任意nn*在x（，恒成立，等价于对任意nn*在x（，恒成立，由=，知对 x（，恒成立由此能求出的范围【解答】解：关于x的不等式0对任意nn*在x（，恒成立，等价于对任意nn*在x（，恒成立，=，对 x（，恒成立设，它的图象是开口向上，对称轴为x=的抛物线，当x时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则2+，解得1，或（舍）当x，左边的最小值就是在x=时取到，达到最小值时， =，不满足不等式因此的范围就是 1故答案为：（，1【点评】本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化三.解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知命题p：x，x2a0，命题q：x0r，x02+2ax0+2a=0；若命题（pq）是假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】先求出命题p，q为真命题时a的范围，据复合函数的真假得到p，q中均为真，即可求出a的范围【解答】解：p真，则a1，q真，则=4a24（2a）0，即a1或a2，命题（pq）是假命题，pq为真命题，p，q均为真命题，a2，或a=1实数a的取值范围为a2，或a=1【点评】本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于基础题18在abc中，sin（ca）=1，sinb=（）求sina的值；（）设ac=，求abc的面积【考点】解三角形【专题】计算题【分析】（i）利用sin（ca）=1，求出a，c关系，通过三角形内角和结合sinb=，求出sina的值；（ii）通过正弦定理，利用（i）及ac=，求出bc，求出sinc，然后求abc的面积【解答】解：（）因为sin（ca）=1，所以，且c+a=b，又sina0，（）如图，由正弦定理得，又sinc=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb=【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力19已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点点m（3，m）在双曲线上（1）求双曲线方程；（2）求证：mf1mf2；（3）求f1mf2的面积【考点】双曲线的简单性质【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）先求出a，b的关系，设出双曲线的方程，求出参数的值，从而求出双曲线方程即可；（2）先表示出mf1和mf2的斜率，从而求出m的值，进而求出斜率的乘积为1，证出结论；（3）分别求出mf1和mf2的长度，从而求出三角形的面积即可【解答】解：（1），c2=b2+a2a2=b2（1分）可设双曲线方程为x2y2=（0） （2分）双曲线过点，1610=，即=6（3分）双曲线方程为x2y2=6（4分）（2）由（1）可知，在双曲线中， （5分），（6分）又点m（3，m）在双曲线上，9m2=6，m2=3（7分）mf1mf2（8分）（3）由（2）知mf1mf2，mf1f2为直角三角形又，或，由两点间距离公式得，（10分），=即f1mf2的面积为6（12分）【点评】本题考察了双曲线问题，考察斜率问题，考察学生的计算能力，是一道中档题20设数列an前n项和为sn，数列sn的前n项和为tn，满足tn=2snn2，nn*（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）当n=1时，t1=2s11由t1=s1=a1，所以a1=2a11，能求出a1（2）当n2时，sn=tntn1=2snn2=2sn2sn12n+1，所以sn=2sn1+2n1，sn+1=2sn+2n+1，故an+1=2an+2，所以=2（n2），由此能求出数列an的通项公式【解答】解：（1）当n=1时，t1=2s11因为t1=s1=a1，所以a1=2a11，求得a1=1（2）当n2时，所以sn=2sn1+2n1所以sn+1=2sn+2n+1得 an+1=2an+2所以an+1+2=2（an+2），即（n2）求得a1+2=3，a2+2=6，则所以an+2是以3为首项，2为公比的等比数列所以所以，nn*【点评】本题考查数列的首项和数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用21如图，直线y=x与抛物线y=x24交于a、b两点，线段ab的垂直平分线与直线y=5交于q点（1）求点q的坐标；（2）当p为抛物线上位于线段ab下方（含a、b）的动点时，求opq面积的最大值【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题【分析】（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点a，b的坐标，则ab中点m的坐标可得，利用ab的斜率推断出ab垂直平分线的斜率，进而求得ab垂直平分线的方程，把y=5代入求得q的坐标（2）设出p的坐标，利用p到直线0q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得qo的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形opq，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值【解答】解：（1）解方程组得或即a（4，2），b（8，4），从而ab的中点为m（2，1），由kab，直线ab的垂直平分线方程y1=2（x2）令y=5，得x=5，q（5，5）（2）直线oq的方程为x+y=0，设p（x， x24）点p到直线oq的距离d=，sopq=|oq|d=p为抛物线上位于