广东省潮州市庵埠中学高三数学上学期摸底试卷 理（含解析）.doc

广东省潮州市庵埠中学2015届高三上学期摸底数学试卷（理科 ）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1（5分）设z=，则z的共轭复数为（）a1+3ib13ic1+3id13i2（5分）有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）a大前提错误b小前提错误c推理形式错误d非以上错误3（5分）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）a方程x2+ax+b=0没有实根b方程x2+ax+b=0至多有一个实根c方程x2+ax+b=0至多有两个实根d方程x2+ax+b=0恰好有两个实根4（5分）由曲线y=x2，y=0，x=1所围成图形的面积为（）abcd5（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）a192种b216种c240种d288种6（5分）函数y=x1nx+2的单调增区间是（）a（0，）b（0，e）c（，+）d（e，+）7（5分）设（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+anxn，当a0+a1+a2+an=254时，n等于（）a5b6c7d88（5分）已知f（x），g（x）都是定义在r上的函数，g（x）0，f（x）g（x）f（x）g（x），且f（x）=axg（x）（a0且a1，对于有穷数列，任取正整数k（1k10），则前k项和大于的概率是（）abcd二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）随机变量服从正态分布n（40，2），若p（30）=0.2，则p（3050）=10（5分）计算定积分（ex+2x）dx的值为11（5分）已知离散型随机变量xb（n，p），ex=4，dx=2，则n=12（5分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）13（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为14（5分）如图，在平行四边形abcd中，点e在ab上且eb=2ae，ac与de交于点f，则=三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15（12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，得到如下列联表：文艺节目新闻节目总计20至40岁401656大于40岁202444总计6040100（1）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名？（2）是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关？说明你的理由16（12分）某产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）求回归直线方程，并计算x=6时的残差；（残差公式=yi）（2）据此估计广告费用为10时销售收入y的值17（14分）已知（nn*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1（1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含的项18（14分）pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国pm2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即pm2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标某城市环保局从该市市区2012年全年每天的pm2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（）从这15天的pm2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到pm2.5监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望；（）根据这15天的pm2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级19（14分）设数列an的前n项和为sn，满足sn=2nan+13n24n，nn*，且s3=15（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列an的通项公式20（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（x），x0，其中f（x）是f（x）的导函数（）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x），nn+，求gn（x）的表达式；（）若f（x）ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）设nn+，比较g（1）+g（2）+g（n）与nf（n）的大小，并加以证明广东省潮州市庵埠中学2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1（5分）设z=，则z的共轭复数为（）a1+3ib13ic1+3id13i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求解答：解：z=，故选：d点评：本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）a大前提错误b小前提错误c推理形式错误d非以上错误考点：演绎推理的基本方法；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：阅读型分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”的推理过程，不难得到结论解答：解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直故大前提错误故选a点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合m的所有元素都具有性质p，s是m的子集，那么s中所有元素都具有性质p三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论3（5分）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）a方程x2+ax+b=0没有实根b方程x2+ax+b=0至多有一个实根c方程x2+ax+b=0至多有两个实根d方程x2+ax+b=0恰好有两个实根考点：反证法与放缩法 专题：证明题；反证法分析：直接利用命题的否定写出假设即可解答：解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根故选：a点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查4（5分）由曲线y=x2，y=0，x=1所围成图形的面积为（）abcd考点：定积分在求面积中的应用 分析：作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x2在区间0，1上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案解答：解：曲线y=x2和直线l：x=2的交点为a（1，1），曲线c：y=x2、直线l：x=1与x轴所围成的图形面积为：s=x2dx=x3=故选b点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题5（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）a192种b216种c240种d288种考点：排列、组合及简单计数问题 专题：应用题；排列组合分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种故选：b点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题6（5分）函数y=x1nx+2的单调增区间是（）a（0，）b（0，e）c（，+）d（e，+）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：先求函数的定义域，然后求函数的导数，解导数不等式f（x）0，得相应的单调增区间解答：解：要使函数有意义，则x0即函数的定义域为（0，+）函数的导数为函数的导数为f（x）=1+lnx，由f（x）=1+lnx0，解得，即增区间为故选c点评：本题考查函数的单调性与导数之间的关系，判断函数的单调性首先要求函数的定义域，然后解导数不等式f（x）0得函数的递增区间要熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则7（5分）设（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+anxn，当a0+a1+a2+an=254时，n等于（）a5b6c7d8考点：数列的求和；二项式定理的应用 专题：计算题分析：观察已知条件a0+a1+a2+an=254，可令（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+anxn中的x=1，可得254=2n+12，解之即可解答：解：（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+anxn令x=1得2+22+23+2n=a0+a1+a2+an，而a0+a1+a2+an=254=2n+12，n=7故答案为：c点评：本题主要考查了二项式系数的性质，以及赋值法的应用，属于基础题8（5分）已知f（x），g（x）都是定义在r上的函数，g（x）0，f（x）g（x）f（x）g（x），且f（x）=axg（x）（a0且a1，对于有穷数列，任取正整数k（1k10），则前k项和大于的概率是（）abcd考点：等比数列；函数的单调性与导数的关系；概率的应用 专题：计算题；压轴题分析：根据导数可知函数的单调性，从而确定a的取值范围，然后根据条件求出a的值，从而可判定是等比数列，求出前n项和，然后求出满足条件的n，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可解答：解：f（x）g（x）f（x）g（x）即单调递减，又=ax，故0a1所以由，得a=是首项为=，公比为的等比数列，其前n项和sn=1n5所以p=故选d点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及等比数列的前n项和，同时考查了运算求解能力，考查计算能力和转化得思想，属于基础题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）随机变量服从正态分布n（40，2），若p（30）=0.2，则p（3050）=0.6考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=40，且p（30）=0.2，依据正态分布对称性，即可求得答案解答：解：根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=40，利用正态分布的对称性可得p（50）=p（30）=0.2，所以p（3050）=1p（50）+p（30）=10.4=0.6故答案为：0.6点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题10（5分）计算定积分（ex+2x）dx的值为e考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：根据积分公式直接进行计算即可解答：解：（ex+2x）dx=（ex+x2）|=e+11=e，故答案为：e；点评：本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础11（5分）已知离散型随机变量xb（n，p），ex=4，dx=2，则n=8考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：利用二项分布的性质求解解答：解：离散型随机变量xb（n，p），ex=4，dx=2，解得n=8，p=0.5故答案为：8点评：本题考查实数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用12（5分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题 专题：排列组合分析：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张解答：解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种故答案为：60点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题13（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2考点：归纳推理 专题：规律型分析：观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图的火柴棒比图的多6根，图的火柴棒比图的多6根，而图的火柴棒的根数为2+6解答：解：由题意知：图的火柴棒比图的多6根，图的火柴棒比图的多6根，而图的火柴棒的根数为2+6，第n条小鱼需要（2+6n）根，故答案为：6n+2点评：本题考查了规律型中的图形变化问题，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要的火柴棒的根数14（5分）如图，在平行四边形abcd中，点e在ab上且eb=2ae，ac与de交于点f，则=3考点：三角形的面积公式 专题：解三角形分析：证明cdfaef，可求解答：解：四边形abcd是平行四边形，eb=2ae，abcd，cd=3ae，cdfaef，=3故答案为：3点评：本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15（12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，得到如下列联表：文艺节目新闻节目总计20至40岁401656大于40岁202444总计6040100（1）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名？（2）是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关？说明你的理由考点：独立性检验；分层抽样方法 专题：计算题；概率与统计分析：（1）采用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名观众，而收看新闻节目的共有40人，做出每个个体被抽到的概率，得到结果（2）由已知中的列联表，代入计算出k2的值，与临界值比较后可得有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关解答：解：（1）应抽取大于40岁的观众人数为5=3（名）4分（2）根据列联表中的数据，得k2=6.9266.63510分所以，有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关12分点评：本题考查分层抽样方法，独立性检验是统计较为综合的题型，难度中档16（12分）某产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）求回归直线方程，并计算x=6时的残差；（残差公式=yi）（2）据此估计广告费用为10时销售收入y的值考点：线性回归方程 专题：应用题；概率与统计分析：（1）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程，计算x=6时的残差；（2）由回归直线方程，计算当x=10时，可求对应的销售收入y的值解答：解：（1），（2分），b=6.5，（5分），（7分）所以回归直线方程为（8分）当x=6时，=56.5 又=50，从而=6.5 （10分）（2）x=10时，预报y的值为y=6.510+17.5=82.5（12分）点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，考查学生的运算能力17（14分）已知（nn*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1（1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含的项考点：二项式系数的性质 专题：计算题分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出第五项的系数与第三项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值，将n的值代入二项式，给二项式中的x赋值1，求出展开式中各项系数的和（2）令二项展开式的通项中的x的指数为，求出r的值，将r的值代入通项求出展开式中含的项解答：解：由题意知，展开式的通项为则第五项系数为cn4（2）4，第三项的系数为cn2（2）2则有，化简，得n25n24=0解得n=8或n=3（舍去） （1）令x=1，得各项系数的和为（12）8=1 （2）令，则r=1故展开式中含的项为点评：求二项展开式的特定项问题一般借助的工具是二项展开式的通项公式；求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察，通过赋值的方法来解决18（14分）pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国pm2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即pm2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标某城市环保局从该市市区2012年全年每天的pm2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（）从这15天的pm2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到pm2.5监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望；（）根据这15天的pm2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级考点：概率的应用；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（）从15天的pm2.5日均监测数据中，随机抽出三天，共有c种情况，恰有一天空气质量达到一级，共有种情况，由此可求概率；（）服从超几何分布：其中n=15，m=5，n=3，的可能值为0，1，2，3，故可得其分布列和数学期望；（）一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为p=，一年中空气质量达到一级或二级的天数b（360，），求出期望，即可得到结论解答：解：（）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天记“从15天的pm2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件a则（3分）（）的可能值为0，1，2，3，（4分），（8分）所以的分布列为0123p（9分）（10分）（）15天的空气质量达到一级或二级的频率为（11分），所以估计一年中有天的空气质量达到一级或二级（13分）（说明：答243天，244天不扣分）点评：本题考查等可能事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题19（14分）设数列an的前n项和为sn，满足sn=2nan+13n24n，nn*，且s3=15（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列an的通项公式考点：数列递推式；数列的函数特性 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把s3变为s2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合s3=15联立方程组求得a1，a2；（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明解答：解：（1）由sn=2nan+13n24n，nn*，得：s2=4a320 又s3=s2+a3=15 联立解得：a3=7再在sn=2nan+13n24n中取n=1，得：a1=2a27 又s3=a1+a2+7=15 联立得：a2=5，a1=3a1，a2，a3的值分别为3，5，7；（2）a1=3=21+1，a2=5=22+1，a3=7=23+1由此猜测an=2n+1下面由数学归纳法证明：1、当n=1时，a1=3=21+1成立2、假设n=k时