形成学生良好的数学知识结构.pdf

19 84 年 第 五期 犷毒贺篇次贯贾菩 形成学生良好的数学知识结构 周学祁 在学习新知 解答习题活动中 认 知 是一 种 重要的心 理活动 所谓 认知 即 再认 就是 经验过 的事物再度 呈现时 仍能认识 的过程 1 影 响 认 知 质量和速度的因素很多 其中一个重要 因素 就是学生的知识结构是否良好 下面 着重研究三个问题 一 良好 知识结构的要求 学生通 过看书 听讲 作业等教学活动 所获 得的知识 不应当是杂乱无章的堆砌 而应 当根据知识之 间 的内在 联 系 形成一定 的枝形 网络或立体结构 组成相互联系的 完整体系 具体说来 良好的知识 结构应有 下述基本要求 1 纵向结构的 系统性 对于内容方 面 上下紧密联系的知识 应根据其相关性掌握 知识的来龙去脉 弄清排列的 逻辑顺序 例 以现行教材中 二次函 数 部分为 例 应使学生了解如下的知识系统 的数 代数函数 整式函数 函数y ax之的图象与 性 质 特殊 的二次函数 一 函数了 axZ bx 一般的二次函数 对称轴 图象一顶点 开口方向 增减性 质性 最大 小 值 上述 知识系 统 形成了一个枝状的结构 2 横向结构的连通性 在数学的某一 分支中 对 于各部分平行的或相关联的知识 之间 应了解其相互融合 彼 此连通的情况 仍 以二 次函数为例 应让学生对二次函 数 二 次方 程 二次不等式等知识的连通情 况有清楚的了解 具体情况 如下 页图示 上述知识结构 形成了相互联系的知识 网络 3 立向结构的 互贯 性 在一定的学习 阶段结束后 对于某一部分数学知识与其它 数学分支中有关知识之间 应 了解其相互为 2 2 中等数学 一 一一一一 一 一 二次方程 Z飞夕O 0 时 勺 业 一 一 口 图象与 轴 有两个交点 当 x xZ 时 y O 当 xl x O 表 次 不 等式 解 的几何说 明 0 丁 图象与 轴相切于 一 知 图象在 瓤 上 与 轴无公 b L 兰 x 二 下丁网 y户U 步气无叉 乙a 1 二次不等式 ax之 b x e 0 解为 x 0 解为 x 灯 x xZ 空集空集 a x bx e O 用 相互 沟通 彼此贯串的情况 仍以二次 函数为例 在中学阶段学习基 本结束后 对它与 几何 三角 解几等知识 的联系 应有清楚的了解 上述知识内容的相互贯通 形成了跨越 数学分支的立体知识 结构 知识结构是错综复杂的 以上 仅是从几 个基本方 面提 出了 对知识 结构 的一般要求 二 知识结构的形成与展拓 每个新知识 点的 出现 总是和旧知识发生一 定的联系 通过恰当的 思维活动 可把新旧 知识一 起 纳人到一个广泛的体系中去 从 而使知识结构不断形成 不断展拓 在这一 过程中 思维活动主要有 同 化 与 调 们的某些共同点 把新知识纳人到旧知识 的 体系中去 概念的同化 例如在 二次根式部分 教材中有 训a Z 伍洛即 一 0 了 匀 一 o 丹 了 式 nU 0 0 二 a a a 了 a a 0 一 这 里 的 a 节 两种方式 1 同化 当新旧知识相似或类同时 可 以和过去有理数绝 对值的规 一定联系起 来 即与原有的知识发生 同化 接下来学 习侧 m 一4 z 二 时 又可 引导 同学认识到侧 m 一4 2 中的m 一4 就相当于杯a Z 中的a 从而得到训 m 一4 艺 可以抓住它 m 一 4 1984 年 第五期 从这个例子 可以看到新旧概念不断同 化的 过程 定理 的 同化 例 如 两直线平行的判定 在现行部编 教材中 有下述方法 判定方法一 如果两条直线被第三条直 线所截 同位角相等 则两直线平行 判 定方法二 如果两条直线被第三条直 线所截 内错角相等 则两直线平行 判定方法三 如果两条直线被第三条直 线所截 同旁内角互补 则两直线平行 在证明判定方法二 三的过程中 当已 知内错角相等时 可通过对顶角的关系 转 化为同位角相等 从而归 结为判定方法 一 当巴知同旁内角互补时 可通过 补角的 概 念 转化为同位角相等 或内错角相等 从而归结为判定方法一 或二 从本例可以看 出 在数学的公理 定理 体系中 许多衍生 定理或推论都可以 同化于 最初的定理或公理之中 公式的同化 例如 已经证明了公式叭n a 印 二S in a c os 日 e o s sin 日以后 那 么 8 in a 一 日 二 in 一 日 5inaeos 一 日 eo asin 一 p 二5 in aeo s日一eos a sin 日 因而 si n a一 日 的公式 可以同化于 in a 日 的公式之中 从本例可 以看出 不仅许 多特殊的公式 可以同化于更 一般的公式之 中 如中点坐标 公式之同化于定比分 点的 坐标公式 而且 并列甚至相反 的公式 也可以在某种意义 上 得到同化 法则 性质的同化 例如根式变形这个新概念 在引人了分 追根 溯源 则根式的基本性质可与分 式的基本性质相同化 根式 的基本性质 妙 a 粼a m a 0 分数指数 幂的定义 峨 一一 分式的基本 性质 Pn n Pmm P今 从上述例 子可以看出 经过同化 原有 的知识结构往往由于加人和容纳 了新的知识 而扩大 了它的内涵 需要说明的是 处理同一个问题 可以 采取不同的同化途径 即采 用不同的方式将 新知转化 归结 为旧知 2 调节 当新知识和旧知识不相一致或不完全一 致 从而原有的知识结构不足 以容纳所学的 新知识时 就需要引进新的概念 定理 公 式 法则等等 以调节原来的知识结构 例1 当研究 范围从平面扩展到空间以 后 两直线的位置关系从原来在同一平面内 的相交 平行两种情况 调节为 空 间二直线 f 位 置关系 l 或 二直线在同一平面内 相交 平行 二 直线不在同 一平面内 异面 二直线 有且仅有一个公共点 至 闭二f 霏纂 二 线没 公共 鬓 馨 相交 有 例2 在R t ABC 乙C 90 中 8 1l lA 砰 一 C 5in B 二 互 C 5in C l a 8 1nA 二C b 8 1l lB C 痴五亡 二 c 数指数幂的定义 a 二 令a n a m n 均为正整数 m 1 以后 立即变成了 学生熟悉的约分 和通分问题 从而根式 中被开方式的 指数与根指数的 约简 即可与过去的分式约分相同化 而化 异 次根式 为 同次根式 可与分式的通分相同 化 在一般 A BC中 a b 蔽瓦入 二 若1五百 则有 5in C 二 ZR 这 里 乙C由直角变为一般的任意角后 比值由斜 边c调节为一般 的外接圆直径 解 直角三角形时几个孤立的公式 则统一为 用 连等式表示的正弦定理 24 中等数学 上述二例说明 经过调节 原来的知识 结构进行了部分的变动与更新 得到了展拓 与完善 在知识结构的形成与展拓过程中 同化 与调节常常是相互交错 同时发生的 例 如 原来正整指数幂的运算法则有 5 条 1 a m a n a m 2 a 令a n a l n 一 a荞 m n 3 a 位 n 二a m n 4 ab 二 a n b n Ia n a n 5 灭百尹 一伊 在引进负整指数幂的概念以后 由于 a口 令a n 二am a n am 一 n 从而 1 2 两条法则可以归并为一条 a m an 二a m n 为整数 同理 4 5 两条法则也可以归 并为一条 ab 几 anb n n为整数 这样 整数指数幂的运算法则最后合并 为三条 在这个过程中 一方面某些幂运算法则 得到了统一与合并 这是同化 另一方面幂指 数从原来的正整数扩大为整数 这是调节 在这里 指数的扩展是法则同化的前提 法 则同化是指数扩展的结果 二者是相 辅相 成 互为因果的 三 形成学生知识结构中应注意的几 个问题 l 注意引导学生整理学过的知 识 在一章或一个单元结束以后 可要求学 生将所学过的知识进行系统的整理 通过画 枝形图 列表等形式 理清知识的脉络 以 知识间的内在联系为线索 将所学的知识加 以串连 将分散零碎的知识进行集装 当学 生整 理 知识有困难 时 教师可进行适当的 引 导 如 本单元学过哪些知识 哪些 在 前 哪些在后 每一部分包括哪些内容 哪 些是一般情况 哪些是特例 各部分之间的 关联情况怎样 以帮助学生进 行梳理归纳 2 注意教学的阶段性 一套较为完整的知识结构 不可能毕其 功于一役 例如 关于 数 和 点 的对 应问题 在初一时 只讲了有理数在数轴上的 表示 引人 无理数以后 才讲了实数和数轴 上 点的一一对 应 到高中学习复数以后 又讲了复数和直角坐标平面上点 的一一对 应 在引人极坐标以后 更进一步研究了极 坐标平面内的点和有序实数对之间的另一种 对应关系 由此可见 知识结构的展拓是和 一定的教学阶段相联系的 切不可超越教学 的实际片面追求知识结构的完整性 3 注意知识的前后呼应 在学习概念 定理 公式 的初始阶段 就应当从完整的知识结构着眼 给将来学习 的知识留下一定的 框架 给知识结构的 发展 留下余地 随着学习的进展 当某一知识结构展拓 以后 应当回过来联系原有知识 进行回 味 对比 以使前后知识相吻合 衔接 在 教材编写中 这种周到的前后呼应 对于形 成学生良好的知识结构是有益的 当知识结构展拓以后 应使学生了解原 有知识在新的知识中的位置 如数的