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高一数学讲义（61期） 第六讲 平面向量（一） 向量的基本概念：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. A(起点) B（终点）a2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；向量的大小长度称为向量的模，记作|. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.例1、判断：（1）平行向量的方向一定相同；（ ）（2）共线向量一定相等；（ ） （3）相等向量一定是共线向量，不相等的向量一定不是共线向量；（ ） （4）与是两平行向量；（ ） （5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形（ ） （6）四边形ABCD是平行四边形，则必有；（ ） （7）若，则；（ ） （8）若，则（ ）变式：下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行例2、如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、相等的向量. 向量的运算、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、加法三角形法则（“首尾相接，首尾连”）ABC注意：首尾相接如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a， 规定 a + 0-= 0 + aABCD 3、加法平行四边形法则：+探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|0时与方向相同；0时与方向相反；=0时=2运算定律结合律：()=() ；分配律：(+)=+， (+)=+ 3. 向量共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=.4、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2.探究：(1) 我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底、的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被，唯一确定的数量例4、已知非零向量，不共线（1）如果，求证：A、B、D三点共线。（2）欲使和共线，试确定实数k的值。变式练习1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a =e1+e2(、R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =e1+ue2(、uR)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )A.3 B.-3 C.0 D.24.已知a、b不共线，且c =1a+2b(1，2R)，若c与b共线，则1= .5.已知10，20，e1、e2是一组基底，且a =1e1+2e2，则a与e1_，a与e2_(填共线或不共线).巩固练习：1.在ABC中， =a， =b，则等于( )A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .4、如图所示，D是ABC的边AB上的中点，ABCD则向量等于（ ）ABCD5、在ABC中，必有等于（ ）A0BC任一向量D与三角形的形状有关6、向量化简后等于（ ）ABCD7、在四边形ABCD中，=，则（ ）A四边形ABCD一定是矩形B四边形ABCD一定是菱形C四边形ABCD一定是正方形D四边形ABCD一定是平行四边形8、在平行四边形ABCD中，等于（ ）ABCD9、四边形ABCD中，则四边形ABCD是（ ）A平行四边形B梯形C菱形D矩形10、等于（ ）ABCD11、若0为 ABCD的中心，则等于（ ）ABCD12、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d. 高一数学(新课)讲义第六讲参考答案（61期）例1、（4）（6）正确，其它错误。例2、=，= =例3、A 变式1：7， 3 变式2：F1=7 F2=3思考题：（1）|a| = |b| （2）a， b互相垂直 （3）不可能， 对角线方向不同例4、（1），共线，且有公共