高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 3.2解三角形.doc

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：3.2解三角形一、正弦定理和余弦定理（一）正弦定理、余弦定理的简单应用相关链接1、已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断；2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷；3、三角形中常见的结论（1）a+b+c=；（2）在三角形中大边对大角，反之亦然；（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（4）三角形内的诱导公式 （5）在abc中，tana+tanb+tanc= tanatanbtanc.例题解析例1在abc中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinc解答：由已知得acb,a为最大角。由余弦定理得：。又。方法一：由正弦定理得，因此最大角a为，。方法二：。c为三角形的内角，c为锐角。sinc=,所以最大角为，sinc=。例2在abc中，（1）若b=,c=1,b=450o,求a及c的值；（2）若a=600，a=7,b=5,求边c。思路解析：（1）可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解；（2）题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理理解，但本题不求b，并且求出sinb后发现b非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解。解答：（1）方法一：由由正弦定理得，所以sinc=.因为cb,所以cb,故c一定是锐角，所以c=，所以a=，所以，所以方法二：根据得，解得。解角c方法同上。（2）因为，所以，解得c=8.（二）三角形形状的判定相关链接依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用a+b+c=这个结论。注：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。例题解析例在abc中，若试判断abc的形状思路解析：三角形形状的判断方法是首先边化角或角化边，再整理化简即可判断解答：方法一：由得， 2a=2b或2a+2b=,即a=b或abc是等腰三角形或直角三角形方法二：由已知得，即a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)，(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，a=b或a2+b2=c2,abc是等腰三角形或直角三角形（三）正、余弦定理在几何中的应用相关链接正、余弦定理在几何中的应用（1）首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形；（2）其次确定与未知量相关联的量；（3）最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。例题解析例1如图，在四边形abcd中，已知adcd，ad=10，ab=14，bda=600，bcd=1350，求bd及bc的长。解答：在bad中，由余弦定理，得，例2如图所示，在梯形abcd中，adbc，ab=5，ac=9，bca=300，adb=450，求bd的长。思路解析：由于ab=5，adb=450，因此要求bd，可在abd中，由正弦定理求解，关键是确定bad的正弦值。在abc中，ab=5，ac=9，acb=300，因此可用正弦定理求出sinabc,再依据abc与bad互补确定sinbad即可。解答：在abc中，ab=5，ac=9，bca=300，由正弦定理，得注：（1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用；（2）条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理；（3）在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角；（4）正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视。二、应用举例（一）与距离有关的问题相关链接1、一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。2、解斜三角形应用题常有以下几种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。例题解析例1如图所示，a、b、c、d都在同一个与水平面垂直的平面内，b、d为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75，30，于水面c处测得b点和d点的仰角均为60，ac=0.1 km.（1）求证：ab=bd.（2）求bd.思路解析：（1）由已知角度不难求得bcd，且易得ac，dc关系，利用三角形全等可得ab=bd.（2）求bd只需将其转化在某一三角形中利用已知条件即可求.解答：（1）在acd中，dac=30，adc=60-dac=30，所以cd=ac=0.1 km.又bcd=180-60-60=60，acbdcb所以bd=ba.（2）在abc中，即例2如图，公路mn和pq在p处交汇，且qpn=300，在a处有一所中学，ap=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路mn上沿pn方向行驶时，学校是否会受影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/小时，那么学校受影响的时间为多少？解答：作abmn，b为垂足，在rtabp中，abp=900，apb=300，ap=160，ab=。点a到直线mn的距离小于100米，所以这所中学会受到噪声的影响。如图所示，若以a为圆心，100米为半径画圆，那么圆a和直线mn有两个交点，设交点分别为c、d，连接ac和ad，则ac=ad=100米，根据勾股定理和垂径定理得：cb=db=米，cd=120米，学校受噪声影响的时间为t=3600=24秒（二）与高度有关的问题相关链接1、在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图；3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用。例题解析例1测量河对岸的塔高ab时，可选取与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，现测得bcd=75，bdc=60，cd=s，并在点c处测得塔顶a的仰角为30，求塔高ab.思路解析：在bcd中求得cb，在acb中，求出ab.解答：在bcd中，cbd=180-75-60=45，由正弦定理得在rtabc中，ab=bctanacb= 例2某人在山顶观察地面上相距2500m的a、b两个目标，测得a在南偏本570，俯角为300，同时测得b在南偏东780，俯角是450，求山高（设a、b与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1m）.解答:画出示意图(如图所示):设山高pq=h,则apq、bpq均为直角三角形，在图（1）中，paq=300，pbq=450。aq=pq=h。在图（2）中，aqb=570+780=1350，ab=2500m，所以由余弦定理得：即所以山高约984.4m.（三）与角度有关的问题相关链接1、测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义；2、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。例题解析例在海岸a处，发现北偏东450方向，距a处n mile的b处有一艘走私船，在a处北偏本750的方向，距离a处2n mile的c处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船。此时，走私船正以10n mile/h的速度从b处向北偏东300方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路解析：本例考查正弦、余弦定理的建模应用。如图所示：注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在d处相遇，则可先在abc中求出bc，再在bcd中求bcd。解答：设缉私船用 h在d处追上走私船，则有cd=10，bd=10，在abc中，ab=，ac=2，bac=1200，由余弦定理，得，bc=，且sinabc=abc=450,bc与正北方向垂直。cbd=900+300=1200，在bcd中，由正弦定理，得bcd=300。即缉私船沿东偏北300方向最快追上走私船。（四）与三角形面积有关的问题例在abc中，内角a、b、c对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,c=。（1）若abc的面积等于，求a,b;(2)若sinc+sin(b-a)=2sin2a,求abc的面积。思路解析：（1）利用余弦定理与已知条件确定a,b的一个关系式利用