高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件.doc

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的关系与真假的判断1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。2、例题解析例1】(1)(2012苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是_.(2)(2012岳阳模拟)命题“若ab，则a-1b-1”的否命题是_(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_.【解题指导】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再根据四种命题的概念，写出逆命题、否命题.(3)在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【解析】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若ab，则a-1b-1”.(3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数(2)若ab，则a-1b-1(3)1例2以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题内接于圆的四边形的对角互补；已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题解析：对：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”对：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“acbd”是结论所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab或cd”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab或cd”逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab，cd两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理试一试：写出命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接（1）利用定义判断若，则p是q的充分条件；注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件若，则p是q的必要条件；注： “q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除)，即无必然无，可见对于来说必不可少。若且，p是q的充要条件；p是q的必要而不充分条件（2）利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为a、b，则：若若，则p是q的充分不必要条件；若若，则p是q的必要不充分条件；若a=b，则p是q的充要条件；若，且，则是的既不充分也不必要条件。注：p与q之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。2、例题解析例1(1)设集合a=xr|x-20, b=xr|x0,则“xab”是“xc”的( )(a)充分而不必要条件(b)必要而不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件(2012驻马店模拟)已知条件p:(1-x)(x+1)0，条件有意义，则的( )(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充要条件(d)既不充分也不必要条件【解题指导】(1)求出集合c及ab，根据两集合的关系判断.(2)化简条件p、q，求出与后根据集合间的关系判断.解析：(1)选c.集合c的解集是x|x2,ab=x|x2,ab=c，故选c.(2)选b.由(1-x)(x+1)0,得-1x1，即条件p:-1x1，则或x1.由得-1x1.即条件q:-1x1，则或x1. 但是的必要不充分条件，故选b.例2已知p：x1，x2是方程x25x60的两根，q：x1x25，则p是q的 a充分但不必要条件b必要但不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件分析：利用韦达定理转换解析：x1，x2是方程x25x60的两根，x1，x2的值分别为1，6，x1x2165因此选a说明：判断命题为假命题可以通过举反例三、充要条件的证明例1（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a0或a=1.分析：（1）讨论a 的不同取值情况；（2）利用根的判别式求a的取值范围. 解答：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=,方程只有一个负根；当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,方程只有一个负根。当a0,方程有两个不相等的根，且0,方程有一正一负根。必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。当a=0时，适合条件。当a0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则=4（1-a）0，a1,当a=1时，方程有一个负根x=-1.若方程有且仅有一负根，则 a0综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a0或a=1注：（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下的两次证明；（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。例给出下列各组条件：(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：xy0，q：|x|y|xy|；(3)p：m0，q：方程x2xm0