高中数学总复习之要点必备数_列.pdf

保护原创权益 净化网络环境 3 3 3 3 数数数数数数数数 列列列列列列列列知识要点知识要点知识要点知识要点知识要点知识要点知识要点知识要点 1 等差 等比数列 看数列是不是等差数列有以下三种方法 2 1 为常数dndaa nn 2 11 nnn aaa 2 n bknan kn 为常数 看数列是不是等比数列有以下四种方法 0 2 1 且为常数qnqaa nn 11 2 nnn aaa 2 n 0 11 nnn aaa 注 i acb 是a b c成等比的双非条件 即acb a b c等比数列 ii acb ac 0 为a b c等比数列的充分不必要 iii acb 为a b c等比数列的必要不充分 iv acb 且0fac 为a b c等比数列的充要 注意 任意两数a c不一定有等比中项 除非有ac 0 则等比中项一定有两个 n n cqa qc 为非零常数 正数列 n a 成等比的充要条件是数列 nx alog 1fx 成等比数列 等差数列等比数列 定义daa nn 1 0 1 qq a a n n 递推公式daa nn 1 mdaa nmn qaa nn1 mn mn qaa 通项公式dnaan 1 1 1 1 n n qaa 0 1 qa 中项 2 knkn aa A 0 ffknNkn 0 f knknknkn aaaaG 0 ffknNkn 前n项和 2 1nn aa n S d nn naSn 2 1 1 2 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 重要性质 qpnm Nqpnmaaaa qpnm qpnmNqpnmaaaa qpnm 保护原创权益 净化网络环境 数列 n a 的前 n项和 n S与通项 n a的关系 2 1 1 11 nss nas a nn n 注 danddnaan 11 1 d可为零也可不为零 为等差数列充要条件 即常数列也是等 差数列 若d不为 0 则是等差数列充分条件 等差 n a 前n项和n d an d BnAnSn 22 1 22 2 d 可以为零也可不为零 为等差的充要条 件 若d为零 则是等差数列的充分条件 若d不为零 则是等差数列的充分条件 非零 常数列既可为等比数列 也可为等差数列 不是非零 即不可能有等比数列 2 等差数列依次每k项的和仍成等差数列 其公差为原公差的k2倍 232kkkkk SSSSS 若等差数列的项数为 2 Nnn 则 奇偶 ndSS 1 n n a a S S 偶 奇 若等差数列的项数为 Nnn12 则 nn anS12 12 且 n aSS 偶奇 1 n n S S 偶 奇 得到所求项数到代入12 nn 3 常用公式 1 2 3 n 2 1 nn 6 121 321 2222 nnn nL 2 2 1 321 3333 nn nL 注 熟悉常用通项 9 99 999 110 n n a 5 55 555 110 9 5 n n a 4 等比数列的前n项和公式的常见应用题 生产部门中有增长率的总产量问题 例如 第一年产量为a 年增长率为r 则每年的产量成等比数列 公比为r 1 其中第n年产量为 1 1 n ra 且过n年后总产量为 1 1 1 1 1 1 12 r raa rararaa n n 银行部门中按复利计算问题 例如 一年中每月初到银行存a元 利息为r 每月利息按复利计算 则 每月的a元过n个月后便成为 n ra 1 元 因此 第二年年初可存款 1 1 1 1 101112 rararara 1 1 1 1 1 12 r rra 分期付款应用题 a为分期付款方式贷款为a元 m为m个月将款全部付清 r为年利率 11 111 11 111 21 m mm mmmm r rar x r rx raxrxrxrxra 5 数列常见的几种形式 nnn qapaa 12 p q为二阶常数 用特证根方法求解 具体步骤 写出特征方程qPxx 2 2 x对应 2 n a x对应 1 n a 并设二根 21 x x 若 21 xx 可设 保护原创权益 净化网络环境 nn n xcxca 2 211 若 21 xx 可设 n n xncca 121 由初始值 21 a a确定 21 c c rPaa nn 1 P r为常数 用 转化等差 等比数列 逐项选代 消去常数n转化为 nnn qaPaa 12 的形式 再用特征根方法求 n a 1 21 n n Pcca 公式法 21 c c由 21 a a确定 转化等差 等比 1 11 P r xxPxPaaxaPxa nnnn 选代法 rrPaPrPaa nnn 21 xPxa P r P P r aa nn n 1 1 1 1 1 1 L rrPaP nn Pr 2 1 1 L 用特征方程求解 相减 rPaa rPaa nn nn 1 1 1 n a 111 1 nnnnnn PaaPaPaPaa 由选代法推导结果 P r P P r acPca P r ac P r c nn n 1111 1 11 1 2121 6 几种常见的数列的思想方法 等差数列的前n项和为 n S 在0pd时 有最大值 如何确定使 n S取最大值时的n值 有两种方法 一是求使0 0 1 p nn aa 成立的n值 二是由n d an d Sn 2 2 1 2 利用二次函数的性质求n的值 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积 求此数列前n项