第7章热传导.doc

第 七 章 1. 试由傅立叶定律出发，导出单层平壁中进行一维稳态导热时的温度分布方程。已知 x = 0，t = t1；x = b，t = t2 。解：傅立叶定律为稳态导热时=常数，故即 （1）边界条件为, , 分别代入式（1）得：， 2. 试由傅立叶定律出发，导出单层筒壁中沿r方向进行一维稳态导热时的温度分布方程。已知r = r1，t = t1；r = r2，t = t2；圆筒长度为L。解：傅立叶定律为稳态导热时导热速率为常量，即或 积分之，得 （1）边界条件为 , , 将边界条件代入式（1），并联立求解，得： ， + 3. 在一无内热源的固体热圆筒壁中进行径向稳态导热。当时，时，其导热系数为温度的线性函数，即式中为基准温度下的导热系数，其值为，为温度系数，其值为，试推导出导热速率的表达式并求单位长度的导热速率。解：导热速率的表达式为 （1）对于本问题，其中为圆筒壁的长度。稳态热传导情况下，将上述情况代入式（1），并分离变量，可得 （2）边界条件为，积分得将边界条件代入式(2)，可得 K于是导热速率方程为 （3）将边界条件代入式(3)，可得单位长度的导热速率为 4. 有一具有均匀内热源的平板，其体积发热速率为，平板厚度（x方向）为0.4m。已知平板内只进行x方向上的一维稳态导热，两端面温度维持70 ，平均温度下的导热系数k=377 ，试求(1) 此情况下的温度分布方程；(2) 距离平板中心面处的温度值。解：(1) 此情况下的温度分布方程选用直角坐标系的热传导方程为式（7-1），即 稳态导热， 一维导热，于是式（7-1）变为 （1）取中心面为，则边界条件为，。式（1）积分两次，可得 （2）将边界条件、及已知、k数据分别代入式（2），可得，于是此情况下的温度分布方程为（2）距离平板中心面处的温度值 5. 有一自然冷却的金属圆筒形导体，其外径为100 mm、壁厚为20 mm。导体内有均匀内热源产生，其值为。已知导体内只进行一维径向导热，达稳态后，测得外表面温度恒定为100，平均导热系数为50 。(1) 试选用适当的一般化热传导方程，简化后导出此情况下的温度分布方程；(2) 求圆筒内表面处的温度值。解：（1）选用柱坐标系的热传导方程（7-2），即 稳态导热， 一维径向导热， ， ，则方程变为 积分之，可得 （1）边界条件为 , ，将边界条件、及题设有关数据分别代入式（1）可得 , (2) 求圆筒内表面处的温度值 6. 有一具有均匀发热速率的球形固体，其半径为R 。球体沿径向向外对称导热。球表面的散热速率等于球内部的发热速率，球表面上维持恒定温度不变。试从一般化球坐标系热传导方程出发，导出球心处的温度表达式。解：球坐标系的热传导方程为式(7-3)，即 球表面的散热速率等于球内部的发热速率，球表面上维持恒定温度不变，故为稳态导热， 一维径向对称导热， ，于是式（7-3）变为 （1）边界条件为，式（1）积分两次，得 （2）将边界条件、分别代入式（2）可得，于是球体内的温度分布方程为 （3）令式（3）中的，即得球心处的温度表达式，即7. 有一半径为R的热圆球物体悬浮在大量不动的流体中，设此问题中自然对流的影响可略，有关的物性为常数。（1）试从球坐标系的能量方程出发，简化为流体在此种情况下能量方程的特殊形式，并写出简化过程的依据；（2）假定圆球表面的温度为，流体主体的温度为，为自球心算起的距离，试写出上述能量方程的边界条件；（3）由上述边界条件，求解该方程，写出温度分布表达式；（4）求的值。解：（1）因为忽略自然对流，故均为零，同时传热仅沿方向且为轴对称，故、，又传热为稳态，故，于是球坐标系的能量方程（6-32）简化为 或 （1） （2）边界条件为， ， （3） 式(1)积分两次，可得 （2）代入边界条件，可得温度分布表达式为 （3） （4）根据傅立叶定律，可知 由对流传热系数定义式，对于球体传热 ，得于是 12345678911绝热绝热X空气tb400K10习题8 附图8. 附图所示为一炉壁传热的示意图，炉壁的内壁面温度恒定为400K，炉壁外空气的温度为300K，外壁面与空气之间的对流传热系数h，导热系数，若取 m，试建立炉壁温度场的结点温度方程组并求各点的温度值。解：针对各结点列出结点温度分布方程，即K4点：5点：6点：7点：8点：9点：10点：11点：其中： ， 求解得：K K, K, K K, K, K K, K9. 有一长度为0.2m、直径为0.05 m的不锈钢锭，其导温系数，导热系数k =20，初始温度为363 K。现将钢锭放入温度为1473 K的炉中加热。钢锭表面与周围环境的联合传热系数（包括对流和辐射）为100，试求使钢锭升温至1073 K所需的时间。解：由于值较小，值较大，估计可以采用集总热容法，为此首先计算数。 可应用集总热容法。 由 得 h10. 有一半径为25 mm的钢球，其导热系数为433 ，密度为7849 kg/m3，比热容为0.4609 kJ/kg，钢球的初始温度均匀，为700 K。现将此钢球置于温度为400 K的环境中，钢球表面与环境之间的对流传热系数为11.36。试求1小时后钢球所达到的温度。解：由于值较小，值较大，估计可以采用集总热容法，为此首先计算数。 故可应用集总热容法求解。 K11. 一半无限大固体（， ，其初始温度为。在时刻，通过的表面有一热通量，并保持此通量不变。设有关的物性为常数。（1）试从直角坐标系的能量方程（6-26a）出发，简化为此种情况下的特殊形式，并写出简化过程的依据；（2）将上述方程两侧对求导，从而得到以热通量表示的方程，并写出相应的定解条件；（3）求解该方程，获得温度分布的表达式。解：对于本问题，有 固体热传导， 一维热传导， 无内热源，=0 故能量方程化为 上式两侧对x微分，并同时乘以k，可得或 定解条件为 令，则上式可以化为 定解条件为 解之得 即 于是12. 某地区土壤的温度原为，寒潮来临时会使土壤表面的温度突然降至，并假定维持此温度不变，试求土壤表面1m深处降至0时所经历的时间，并求每土壤表面导出的热量。已知土壤的导热系数和导温系数分别为,。解：本题为半无限固体的冷却问题，可应用式（7-44）和（7-47）求解。由题设：，x =1 m，由式（7-44），得故由附录B查得即故得 此情况下通过每土壤表面导出的热量可由式（7-47）计算，即13. 有一根很长的钢棒，其初始温度各处均匀，为600，除垂直于轴向的两个端面外，其余表面均绝热。现骤然将钢棒一个端面的温度降至300，并维持此温度不变。已知钢棒的平均导温系数，导热系数k =。（1）试计算距降温表面50mm处，温度降至400 时所需的时间；（2）计算出在上述时间内通过单位降温面的传热量。解：本题为半无限固体的冷却问题，可应用式（7-44）和（7-47）求解。由题设：， ，m，m2/s，k= 故 由附录B查得即 从而 14. 将厚度为0.3 m的平砖墙作为炉子一侧的衬里，衬里的初始温度为30 。墙外侧面绝热。由于炉内有燃料燃烧，炉内侧面的温度突然升至600并维持此温度不变。试计算炉外侧绝热面升至100时所需的时间。已知砖的平均导热系数k =1.125，导温系数。解：将平砖墙视为一维导热，则其温度分布式为式中 对于此题，。为了计算方便计，只取级数的第一项，即 解之，此时，级数的第二项 所以只取级数的第一项是合理的。由，得s15. 有一厚度为0.45 m的铝板，其初始温度均匀，为500 K。突然该铝板暴露在340 K的介质中进行冷却。铝板表面与周围环境之间的对流传热系数为455，试求铝板中心面温度降至470 K时所需的时间。已知铝板的平均导温系数，导热系数k = 208。解：本问题属于平板一维不稳态导热问题，可采用简易图算法求解。查图7-7，得 故 16. 直径为12 cm、长度为12 cm的铝圆柱体，开始时被加热到200 ，然后浸入装有温度为90 液体的大槽中。由于槽中液体不断更换，故槽中液体温度可保持不变。已测得柱体表面与液体之间的对流传热系数h =570，物体的平均导温系数和导热系数分别为和k =208。试求经历1分钟后，柱体中心的温度。 解：此题为沿x和r方向的二维不稳态导热问题，铝圆柱体内某点的瞬时温度可由式（7 - 82）求解，即其中，由图7-7查得，则由图7-8查得。方向由图7-7查得 r方向 由图7-8查得 根据牛曼法则 即 17. 将直径为60 mm的钢球加热至760后，浸入温度为30 的水槽中进行淬火处理，如槽中水温维持30 不变，试问欲使球心温度降至93时需时若干？已知钢球表面与水之间的对流传热系数h=710，钢球的平均导热系数和导温系数分别为k = 45、。解：为确定是否能用集总热容法计算，首先计算数。 所以不能用集总热容法计算，改用图解法求解。 查图7-9得18. 有一厚度为300 mm的砖墙，其初始温度均匀为293 K。由于环境温度的变化，使得砖墙两侧表面的温度每隔2500 s上升10 K，试求s秒后砖墙内各处温度的变化值。已知砖的平均导温系数。解：为使计算