高中数学 第2章 数列 2.2.1 等差数列的概念课件 苏教版必修5.ppt

2 2 1等差数列的概念 目标导航 预习引导 目标导航 预习引导 1 等差数列的概念一般地 如果一个数列从第二项起 每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 预习交流1若把等差数列概念中的 同一个 三字去掉 这个数列还是等差数列吗 提示 不是 没有 同一个常数 该数列就不是 等差 数列了 例如数列1 1 2 4 7 10 13 第2项与第1项差为0 第3项与第2项差为1 所以不是等差数列 目标导航 预习引导 2 等差数列的性质 1 等差数列中相邻三项间的关系为 目标导航 预习引导 预习交流2在等差数列中 项的大小变化规律与公差有何关系 提示 当d 0时 数列中的项随项数的增大而增大 当d 0时 数列中的各项都相同 当d 0时 数列中的项随项数的增大而减小 预习交流3 1 等差数列 5 4 3 2 1的公差d 2 常数列 c 的公差d为 3 数列2 5 a b成等差数列 则a b 提示 1 1 2 0 3 811 一 二 三 一 等差数列的定义及应用活动与探究例1判断下列数列是否为等差数列 1 an 3n 2 2 an n2 n 思路分析 利用等差数列定义 看an 1 an是否为常数即可 解 1 an 1 an 3 n 1 2 3n 2 3 由n的任意性知 这个数列为等差数列 2 an 1 an n 1 2 n 1 n2 n 2n 2 不是常数 所以这个数列不是等差数列 一 二 三 迁移与应用1 以下选项中能构成等差数列的是 2 2 2 2 cos0 cos1 cos2 cos3 3m 3m a 3m 2a 3m 3a a 1 a 1 a 3答案 解析 是公差为0的等差数列 是公差为a的等差数列 是公差为2的等差数列 故选 一 二 三 一 二 三 名师点津判断一个数列是否为等差数列 其关键在于分析所给数列是否满足以下两条 1 是否是从第2项起 2 是否每一项减去它的前一项为同一常数 一 二 三 二 等差中项问题活动与探究例2已知数列 xn 的首项x1 3 通项xn 2np nq p q为常数 且x1 x4 x5成等差数列 求p q的值 思路分析 由x1 x4 x5成等差数列得出一个关于p q的等式 结合x1 3推出2p q 3 从而得到p q 解 由x1 3 得2p q 3 又x4 24p 4q x5 25p 5q 且x1 x5 2x4 得3 25p 5q 25p 8q 由 得q 1 p 1 一 二 三 一 二 三 一 二 三 名师点津利用等差数列的定义巧设未知量 从而简化计算 一般地 有如下规律 当等差数列 an 的项数n为奇数时 可设中间一项为a 再用公差为d向两边分别设项 a 2d a d a a d a 2d 当项数为偶数时 可设中间两项为a d a d 再以公差为2d向两边分别设项 a 3d a d a d a 3d 这样可减少计算量 特别地 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时 可设出首项a1和公差d列方程组求解 也可采用对称的设法 三个数时 设a d a a d 四个数时 设a 3d a d a d a 3d 利用和为定值 先求出其中某个未知项 一 二 三 三 等差数列的判定与证明活动与探究例3已知数列 an 的通项公式为an pn2 qn 常数p q r 1 当p和q满足什么条件时 数列 an 是等差数列 2 求证 对任意的实数p和q 数列 an 1 an 都是等差数列 思路分析 1 由等差数列的定义可知 an 是等差数列 an 1 an是一个与n无关的常数 2 即证明 an 2 an 1 an 1 an 是一个与n无关的常数 一 二 三 1 解 设数列 an 是等差数列 由题意 得an 1 an p n 1 2 q n 1 pn2 qn 2pn p q 上式应是一个与n无关的常数 有2p 0 即p 0 当p 0时 数列 an 是等差数列 2 证明 an 1 an 2pn p q an 2 an 1 2p n 1 p q an 2 an 1 an 1 an 2p n 1 p q 2pn p q 2p 常数 对任意的实数p和q 数列 an 1 an 都是等差数列 一 二 三 迁移与应用1 数列 an 是等差数列 且an an2 n 则实数a 答案 0解析 an 是等差数列 an 1 an 常数 a n 1 2 n 1 an2 n 2an a 1 常数 2a 0 a 0 一 二 三 一 二 三 名师点津判断一个数列是否为等差数列常有以下方法 1 定义法 由等差数列的定义 若对n n 都有an 1 an d 常数 则数列 an 为等差数列 常用于已知或可求出通项公式的情形 2 通项公式法 只要给出形如an pn q的关系 p q为常数 可直接判断数列 an 为等差数列 3 等差中项法 若数列对n n 都有2an 1 an an 2 则 an 为等差数列 常用于未知或不能求出通项公式的情形 2 3 4 5 1 6 2 3 4 5 1 6 2 3 4 5 1 6 答案 0解析 设等差中项为x 2 3 4 5 1 6 4 在等差数列 an 中 a2 9 a3 7 则公差d 答案 2解析 d a3 a2 7 9 2 2 3 4 5 1 6 5 已知数列 an 的通项公式是an 7n 2 求证 数列 lgan 是等差数列 证明 设bn lgan 则bn 1 bn lgan 1 lgan n 3 lg7 n 2 lg7 lg7 常数 所以数列 bn 是等差数列 即数列 lgan 是等差数列 2 3 4 1 6 5 6 若数列 an 的通项公式